1、第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第六节 离散型随机变量及其分布列栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.主要考查离散型随机变量的分布列，多在解答题中考查，分值为 7 分左右.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为 1 _，所有取值可以一一列出的随机变量，称为 2 _随机变量随机变量离散型2离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，
2、若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi(i1，2，n)的概率 P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量 X 的 3 _概率分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质pi0(i1，2，n)；4 _1.p1p2pn3常见的离散型随机变量的分布列(1)两点分布列X01P 5 _p若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布，并称 p 6 _为成功概率1pP(X1)(2)超几何分布列在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk)7_，k0，1，2，m，其中 mmin
3、M，n，且 nN，MN，n，M，NN*.X01mP8 _9 _CmMCnmNMCnN如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布CkMCnkNMCnNC0MCn0NMCnNC1MCn1NMCnN常用结论 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类(2)已知各类对象的个数(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的概率分布 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射
4、关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应()(2)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于 1.()(3)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出()(4)如果随机变量 X 的分布列由下表给出，X25P 0.3 0.7则它服从两点分布()(5)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人，其中女演员的人数 X 服从超几何分布()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(选修 23P49 练习 2 改编)抛掷一枚质地均匀的硬币 2 次，则正面向上的次数 X的所有可能值是_答案：0，1，23(选修 23P77A1 改编)已知离散型随机变量 X 的分布列为X012P0.
5、512qq2则常数 q_答案：1 22三、易错自纠4设随机变量 X 的分布列为 P(Xk)a13k，k1，2，3，则 a 的值为()A1B 913C1113D2713解析：选 D 因为随机变量 X 的分布列为 P(Xk)a13k(k1，2，3)，所以根据分布列的性质有 a13a132a1331，即 a1319 127 a13271，所以 a2713.5已知随机变量 X 的分布规律为 P(Xi)i2a(i1，2，3)，则 P(X2)_解析：由分布列的性质知 12a 22a 32a1，a3，P(X2)22a13.答案：136在含有 3 件次品的 10 件产品中，任取 4 件，X 表示取到的次品数，
6、则 P(X2)_解析：由题意知，X 服从超几何分布，其中 N10，M3，n4，故 P(X2)C23C27C410 310.答案：310课 堂 考 点 突 破2考点 离散型随机变量的分布列的性质|题组突破|1离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(Xn)an（n1）(n1，2，3，4)，其中 a 是常数，则 P12X52 的值为()A23B34C45D56解析：选 D 由题意知，112 123 134 145 a1，所以45a1，解得 a54.故 P12X52 P(X1)P(X2)1254165456.2若随机变量 的分布列如下：210123P0.10.20.20.30.10.1则当 P(x)
7、0.8 时，实数 x 的取值范围是()Ax2B1x2C1x2D1x2解析：选 D 由题中给出的分布列，可读出相应的概率值，则 P(2)P(1)P(0)P(1)0.8.又 P(x)0.8，所以 1x2.3设离散型随机变量 X 的分布列为X01234P0.20.10.10.3m(1)求随机变量 Y2X1 的分布列；(2)求随机变量|X1|的分布列解：由分布列的性质知，0.20.10.10.3m1，解得 m0.3.(1)首先列表为X012342X113579从而 Y2X1 的分布列为Y13579P0.20.10.10.30.3(2)列表为X01234|X1|10123P(0)P(X1)0.1，P(1
8、)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3.故|X1|的分布列为0123P0.10.30.30.3名师点津离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)利用“总概率之和为 1”可以求相关参数的取值范围或值(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确考点一 超几何分布【例 1】一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1，3张卡片上的数字是 2，2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相
9、同的概率；(2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列(注：若三个数 a，b，c满足 abc，则称 b 为这三个数的中位数)解(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为 PC34C33C39 584.(2)X 的所有可能值为 1，2，3，且 P(X1)C24C15C34C391742，P(X2)C13C14C12C23C16C33C394384，P(X3)C22C17C39 112，故 X 的分布列为X123P17424384112名师点津求超几何分布的分布列的步骤第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数 N，M，n 的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随
10、机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列|跟踪训练|1(2019 届惠州市第三次调研)某大学生志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的 3 名同学来自互不相同学院的概率；(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列解：(1)设“选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为事件 A，则 P(A)C13C27C03C37C3104960，所以选出的
11、3 名同学来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，3，P(Xk)Ck4C3k6C310(k0，1，2，3)，所以随机变量 X 的分布列是X0123P1612310130考点二 离散型随机变量分布列的求法【例 2】随着人口老龄化的到来，我国的劳动人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究学习小组从某社区随机抽取了 50 人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄20，25)25，30)30，35)35，40)40，45)人数45853年龄45，50)50，55)55，60)60，65)65，
12、70人数67354年龄在25，30)，55，60)的被调查者中赞成人数分别是 3 人和 2 人，现从这两组的被调查者中各随机选取 2 人，进行跟踪调查(1)求从年龄在25，30)的被调查者中选取的 2 人都赞成的概率；(2)求选中的 4 人中，至少有 3 人赞成的概率；(3)若选中的 4 人中，不赞成的人数为 X，求随机变量 X 的分布列解(1)设“年龄在25，30)的被调查者中选取的 2 人都赞成”为事件 A，则 P(A)C23C25 310.(2)设“选中的 4 人中，至少有 3 人赞成”为事件 B，则 P(B)C23C12C11C25C23 C13C12C22C25C23 C23C22C
13、25C2312.(3)X 的可能取值为 0，1，2，3，所以 P(X0)C23C22C25C23 110，P(X1)C13C12C22C23C12C11C25C2325，P(X2)C22C22C13C12C12C11C25C231330，P(X3)C22C12C11C25C23 115.所以随机变量 X 的分布列为X0123P110251330115名师点津求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量 X 的所有可能取值 xi(i1，2，3，n)(2)求出各取值的概率 P(Xxi)pi.(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确|跟踪训练|2为了了解高一学生的体能情
14、况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知次数在100，110)间的频数为 7，次数在 110 以下(不含 110)视为不达标，次数在110，130)间的视为达标，次数在 130 以上视为优秀(1)求此次抽样的样本总数为多少人？(2)在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？(3)将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为 15 分，达标成绩记为 10 分，不达标成绩记为 5 分，现在从该校高一学生中随机抽取 2 人，他们的分值和记为 X，求X 的分布列解：(1)设样本总数为 n，由频率分布直方
15、图可知，次数在100，110)间的频率为0.014100.14，所以7n0.14，解得 n50.(2)记抽中不达标学生的事件为 C，抽中达标学生的事件为 B，抽中优秀学生的事件为 A.P(C)0.006100.014100.20；P(B)0.028100.022100.50；P(A)1P(B)P(C)0.30.(3)在高一学生中随机抽取 2 名学生的成绩和 X 的所有可能取值为 10，15，20，25，30.P(X 10)0.20.2 0.04；P(X 15)20.20.5 0.2；P(X 20)0.52 20.20.30.37；P(X25)20.30.50.3；P(X30)0.320.09.
16、所以 X 的分布列为X1015202530P0.040.20.370.30.09考点 离散型随机变量分布列性质的创新应用【例】已知随机变量 只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差 d 的取值范围是_解析 据题意，设 取 x1，x2，x3 时的概率分别为 ad，a，ad，则(ad)a(ad)1，解得 a13.由题意知，113d0，113d0，解得13d13.答案 13，13名师点津解决此类问题的关键在于抓住离散型随机变量的性质，P1P2Pn1，注意0Pi1 易忽视|跟踪训练|已知随机变量 的概率分布如下表所示：12345678910P23232233234235236237238239m则 P(10)等于_解析：由分布列的性质，得 m123 232 239 1231 139113 139.答案：139点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS