1、1 正弦定理与余弦定理11 正弦定理学习目标通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形问题.课堂互动讲练 知能优化训练 1.1正弦定理课前自主学案 课前自主学案 温故夯基 1RtABC 中，a，b 分别为A 与B 所对的直角边的长c 为斜边的长，则 sinA_，cosA_，tanA_.2对于两个向量 a 和 b，有 ab_(其中 为 a 与 b 的夹角)|a|b|cosacbcab知新益能 1正弦定理在一个三角形中，各边和_的比相等，即_2R(其中 R 为ABC 的外接圆半径)它所对角的正弦asinA bsinB csinC2三角形的面积公式对于任意ABC，若
2、 a，b，c 为三角 A，B，C的对边，则ABC 的面积 S_.12aha12absinCabc4R问题探究 1能否利用向量的方法证明正弦定理？提示：当ABC 是锐角三角形时，过 A 点作单位向量 i 垂直于 AB，如图：AC AB BC，iAC i(AB BC)iAB iBC iBC，bcos(90A)acos(90B)，得 bsinAasinB，即 asinA bsinB.同理可得：bsinB csinC.asinA bsinB csinC.当ABC 为钝角三角形时，类似地可证2画ABC，使a14，b16，A45，你能画出几个？提示：作 45角为 A，在 A 的一边上取一点 C，使 AC1
3、6.以点 C 为圆心，14 为半径画弧因为 16sin458 21，所以此三角形无解(2)由正弦定理asin Absin B即1sin B3sin 120，得 sin B12.ba，B30.C30，c1.综上可知，c，B，C 的值分别是 1,30，30.(3)由 asinA bsinB，得 sinBbsinAa2sin 302 22.aA30，B45或 B135.当 B45时，C180(AB)180(3045)105.又 csinC asinA，casinCsinA 2sin105sin302 6 2412 31.当 B135时，C180(AB)15，casinCsinA 2sin15sin3
4、0 2 6 2412 31.综上可得 B45，C105，c 31或 B135，C15，c 31.【名师点评】已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况加以讨论：是否有解，如有解，是一解还是两解，以防止漏解或增解自我挑战 1 已知ABC 中，a 3，b 2，B45，求 A、C 及 c.解：由正弦定理 asinA bsinB，得 sinAasinBb32.ab 且 asinB 62 b，即 asinBba，该题有两解，即 A60或 A120.当 A60时，C180456075，cbsinCsinB 6 22.当 A120时，C1804512015
5、，cbsinCsinB 6 22.A60，C75，c 6 22或 A120，C15，c 6 22.求三角形的面积 求解三角形的面积公式较多，除 S12底高外，S12absinC12acsinB12bcsinA 也应用较广，注意三角形内角和定理的应用(2009 年高考北京卷)在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，B3，cosA45，b 3.(1)求 sinC 的值；(2)求ABC 的面积例3【思路点拨】(1)根据三角形内角和定理，ACB23，即 C23 A，只要再根据cosA45求出 sinA 的值，根据两角差的正弦公式即可求出 sinC 的值；(2)相当于知道了三角形三个内角
6、以及一条边长，只要再求出一条边长就可以根据三角形面积公式求出ABC 的面积.【解】(1)因为角 A，B，C 为ABC 的内角，且 B3，cosA45，所以 C23 A，sinA35.于是 sinCsin(23 A)32 cosA12sinA34 310.(2)由(1)知 sinA35，sinC34 310.又因为 B3，b 3，所以在ABC 中，由正弦定理得 absinAsinB 65.于是ABC 的面积 S12absinC1265 334 310369 350.【名师点评】在三角形中，当已知两个内角的大小或是已知两个内角的三角函数值时，一定能根据三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出第三个内
7、角的大小或其三角函数值.自我挑战 2(2009 年高考安徽卷)在ABC中，sin(CA)1，sinB13.(1)求 sinA 的值；(2)设 AC 6，求ABC 的面积解：(1)由 sin(CA)1，CA，知 CA2.又 ABC，所以 2AB2，即 2A2B,0A4.故 cos2AsinB，即 12sin2A13，sinA 33.(2)由(1)得 cosA 63.又由正弦定理，得 BCsinA ACsinB，BCsinAsinB AC3 2，所以 SABC12ACBCsinC12ACBCsin(A2)12ACBCcosA3 2.方法感悟 1正弦定理表达了三角形的边和角的关系，其作用是解三角形，而且正弦定理有若干变形形式，应用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的互相转换通过应用还应发现它与三角函数、平面向量知识在解三角形中有密切的联系2应用正弦定理，要明确角化边或边化角的方向，正确判断解的个数，特别注意对已知两边及一边对角时三角形解的个数的讨论，防止出现漏解或增解 3涉及求三角形的边、面积等的最值时，应注意使用正弦定理、面积公式等建立函数关系式，通过求三角函数的最值来解决问题