1、提能专训(七)不等式与线性规划计数原理与二项式定理A组一、选择题1(2014淄博一中模拟)不等式0的解集为()A.1，) B.C. D.1，)答案C解析0等价于即x1，所以不等式0的解集为，故选C.2(2014宜春二模)在R上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)0的实数x的取值范围为()A(2,1) B(0,2)C(，2)(1，) D(1,2)答案A解析x(x2)x(x2)2xx2x2x20，即(x1)(x2)0，解得2x1，故选A.3(2014山西联考)实数x，y满足若zkxy的最大值为13，则实数k()A2 B. C. D5答案C解析设直线x2y40与2xy40、直线x2y40与x2
2、的交点分别为A，B，则A(4,4)，B(2,3)，zkxy可化为ykxz.当k0时，显然不符合题意当k0，即k0时，A，B两点都可能是最优点，但代入后检验都矛盾；当k0时，显然点A(4,4)是最优解，代入后可得k.4(2014辽宁三校联考)变量x，y满足约束条件若使zaxy取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是()A3,0 B3，1 C0,1 D3,0,1答案B解析作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示易知直线zaxy与xy2或3xy14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即a1或a3，a1或a3.故选B.5(2014上海奉贤区二模)下列命题正确的是()A若xk，kZ，则
3、sin2x4B若a0，则a4C若a0，b0，则lg alg b2D若a0，b0，则2答案D解析当sin2x1时，1124，所以A错；若a0，则a4，B错；因为lg a，lg b可以小于零，C错；由a0，b0，所以，都大于零，D正确6(2014威海一模)函数f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在(0，)单调递增，则f(2x)0的解集为()Ax|x2或x2 Bx|2x2Cx|x0或x4 Dx|0x4答案C解析f(x)ax2(b2a)x2b为偶函数，b2a0，即b2a，f(x)ax24a.f(x)2ax.又f(x)在(0，)单调递增，a0.由f(2x)0，得a(x2)24a0，a0，|x2|2，解
4、得x4或x0.7(2014武威凉州区二诊)设集合Anx|(x1)(xn24ln n)0，当n取遍区间(1,3)内的一切实数，所有的集合An的并集是()A(1,13ln 3) B(1,6)C(1，) D(1,2)答案A解析n(1,3)，n24ln n1.Anx|(x1)(xn24ln n)0x|1xn24ln n令g(n)n24ln n，则g(n)2n，当n(1,3)时，g(n)0，g(n)为增函数，且g(n)(5,13ln 3)A1A2An(1,13ln 3)8(2014北京西城区期末)在平面直角坐标系xOy中，记不等式组所表示的平面区域为D.在映射T：的作用下，区域D内的点(x，y)对应的象
5、为点(u，v)，则由点(u，v)所形成的平面区域的面积为()A2 B4 C8 D16答案C解析由映射T：得代入不等式组得画出可行域如图所示，所以由点(u，v)所形成的平面区域的面积为448.9(2014合肥二检)在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线2xy0上任意一点，O为坐标原点，则|的最小值为()A. B. C. D1答案A解析在直线2xy0上取一点Q，使得，则|，其中P，B分别为点P，A在直线2xy0上的投影，如图所示因为|，因此|min，故选A.10设对任意实数x0，y0，若不等式xa(x2y)恒成立，则实数a的最小值为()A. B. C. D.答案A解
6、析原不等式可化为(a1)x2ay0，两边同除以y，得(a1)2a0，令t，则(a1)t2t2a0，由不等式恒成立知，a10，14(a1)2a0，解得a，amin，故选A.11(2014宁德质检)设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量m(1,1)，n(2,1)，若mn(，R)，则的最大值为()A3 B. C0 D1答案A解析设P的坐标为(x，y)，因为mn，所以解得xy.题中不等式组表示的可行域是如图所示的阴影部分，由图可知，当目标函数xy过点G(3,0)时，取得最大值为303，故选A.二、填空题12(2014济南模拟)设变量x，y满足约束条件则的最大值是_答案2解析二元一次不等式组表示
7、的区域如图阴影部分所示，表示阴影部分内一点与原点连线的斜率，最大斜率在点A，即的交点(2,4)处，取最大值2.13(2014沈阳质量检测)定义运算：xy例如：343，(2)44，则函数f(x)x2(2xx2)的最大值为_答案4解析依题意得，当x2(2xx2)0，即0x2时，f(x)x2的最大值是224；当x2(2xx2)0，即x0或x2时，f(x)2xx2(x1)210.因此，函数f(x)的最大值是4.14(2014皖南八校联考)已知实数x，y满足：则z的取值范围是_答案(，124，)解析由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z2的取值范围转化为点(x，y)与(1，1)所在直线的斜率
8、加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(，1)，则点(1，1)与(，1)所在直线的斜率为22，点(0,0)与(1，1)所在直线的斜率为1，所以z的取值范围为(，124，)15(2014云南第一次检测)已知a0，b0，方程为x2y24x2y0的曲线关于直线axby10对称，则的最小值为_答案74解析该曲线表示圆心为(2，1)的圆，由题意得，直线axby10经过圆心，则2ab10，即2ab1，所以(2ab)72774(当且仅当a2，b23时等号成立)16(2014南通期末)给出以下三个关于x的不等式：x24x30，1，2x2m2xm0.若的解集非空，且满足的x至少满足和中的一个，则m的取值范围是_
9、答案1,0)解析由解得x(1,3)，由解得x(1,2)，则和的并集为(1,3)，根据题意可得的解集是(1,3)的子集，令f(x)2x2m2xm，则解得m1,0)17(2014北京顺义一模)设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为8，则ab的最大值为_答案2解析画出可行域，如图所示，目标函数变形为yx，由已知得0，且纵截距最大时，z取到最大值，故当直线l过点B(2,4)时，目标函数取到最大值，即2a4b8，因a0，b0，由基本不等式，得2a4b84，即ab2(当且仅当2a4b4，即a2，b1时等号成立)，故ab的最大值为2.18(2014南通二调)若不等式(mx1)3m2
10、(x1)m10对任意m(0，)恒成立，则实数x的值为_答案1解析当x0时，mx10恒成立，此时3m2(x1)m10对任意m(0，)恒成立，这不可能，所以x0舍去当x0时，当m时，3m2(x1)m10，当m时，3m2(x1)m10，所以当m时，3210，解得x1(负值舍去)19(2014厦门5月适应性考试)设不等式组表示区域为D，且圆x2y24在D内的弧长为，则实数a的值等于_答案1解析依题意知，可行域为如图所示的阴影部分，因为圆的半径为2，所以AOB，所以点B的坐标为(，)，又直线yax2过点B，所以a2，解得a1.B组一、选择题1(2014合肥质检二)(x2x1)10展开式中x3项的系数为(
11、)A210 B210 C30 D30答案A解析(x2x1)10x2(x1)10C(x2)10C(x2)9(x1)C(x2)(x1)9C(x1)10，所以含x3项的系数为：CCC(C)210，故选A.2(2014太原一模)有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是()A24 B48 C72 D96答案B解析按照物理书的位置可以分成5类，即物理书依次排放在左起第一、二、三、四、五位当物理书放在第一、二、四、五位的时候，都有CCC8种放法；当物理书放在第三位的时候，有CCCC16种放法，一共有841648种符合要求的放法
12、3(2014云南检测)若n的二项展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为()A6 B10 C12 D15答案C解析4(2014浙江名校联考)从正方体ABCDA1B1C1D1的6个表面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()A8种 B12种 C16种 D20种答案B解析事实上，从正方体的6个面中任取3个面，有两种情况：一种是有2个面不相邻，另一种是3个面都相邻，而3个面都相邻就是过同一顶点的3个面，有8个顶点，故有8种取法，而从6个面中任取3个面共有C种选法，因此，有2个面不相邻的选法共有C812种，故选B.5(2014南昌一模)若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)
13、12，则log2(a1a3a5a11)()A27 B28 C7 D8答案C解析取x1，得(1)4(13)8a0a1a2a11a12，取x3，得(3)4(33)8a0a1a2a11a12，与两式左、右两边分别相减，得282(a1a3a5a11)，所以a1a3a5a1127，所以log2(a1a3a5a7a9a11)log2277.6(2014青岛二模)在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有()A34种 B48种 C96种 D144种答案C解析把B和C看作一个元素与除A外的3个元素全排列，有4！种，
14、而A有2种，交换B与C也有2种，所以共有排法4！2296.7(2014绵阳第二次诊断)某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种类为()A1 860 B1 320 C1 140 D1 020答案C解析若有甲无乙，C4！480；若有乙无甲，C4！480；若甲乙都有，C2！A180.所以共有4804801801 140.故选C.8(2014辽宁五校协作体摸底)在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排
15、在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为()A36 B72 C84 D108答案C解析甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，当有两所医院分2人另一所医院分1人时，总数有A种，其中有甲乙二人或丙丁二人在同一组有A4A种；有两所医院分1人另一所医院分3人有CCA种故满足条件的分法共有AA4ACCA906242484种9(2014吉林普通中学摸底)已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为()A1 B1 C2 D2答案C解析由题意二项式系数和为2n32，即n5，二项式展开式的通项为Tr1C()5rra
16、rCx，令0，即r3，所以T4a3C80，即a2.10(2014山西大学附中考试)从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有()A60种 B72种 C84种 D96种答案B解析根据题意，分两种情况讨论：甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有CCA36种选派方案甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有CACA36种选派方案综上可知，共有363672种不同的选派方案，故选B.1
17、1(2014长沙二模)若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有()A12对 B18对 C24对 D30对答案C解析每条面对角线有4条与之异面的面对角线所成的角为60，每个面有2条面对角线，共6个面，共有48对“黄金异面直线对”，因为每对无顺序，所以每对都重复一次，故共有24对12190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是()A1 B1 C87 D87答案B解析原式(190)10(881)108810C889C881，因为前10项均能被88整除，所以余数为1，故选B.二、填空题13(2014
18、济南一模)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为_(用数字作答)答案300解析因为0号实验不能放在第一项，所以第一步是从1,2,3,4,5的五项实验任选一个放在第一项，有A；第二步：从剩下的五项实验中任取三个放在第二、三、四项，有A种不同的方法；第三步：最后剩下两项实验，标号较大的放在第五项，较小的放在第六项，只有这一种方法；根据分步乘法计数原理，实验顺序的编排方法种数为AA1300.14(2014浙江“六市六校”联盟考试)从0,1,2,3,4,
19、5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数，这样的四位数有_个答案96解析依题意，只需组成的四位数各位数字的和能被3整除将这六个数字按照被3除的余数分类，共分为3类：0,3，1,4，2,5，若四位数含0，则另外3个数字为3,4,5(或1,3,5或2,3,4或1,2,3)，且0不在第一位，此时有CA472种；若四位数不含0，则4个数字为1,2,4,5，此时有A24种，由分类加法计数原理，这样的四位数有722496个15(2014安庆二模)如果(1xx2)(xa)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x4项的系数为_答案5解析(1xx2)(xa)5的展
20、开式所有项的系数和为(1112)(1a)50，a1.(1xx2)(xa)5(1xx2)(x1)5(x31)(x1)4x3(x1)4(x1)4，其展开式中含x4项的系数为C(1)3C(1)05.16(2014上海奉贤二模)在(x1)n的二项展开式中，按x的降幂排列，只有第5项的系数最大，则各项的二项式系数之和为_(用数值表示)答案256解析由(x1)n的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第5项的系数最大，即第五项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项，即n8.各项的二项式系数之和为28256.17(2014保定调研)已知集合M1,2,3,4,5,6，集合A，B，C为M的非空子集，若
21、xA，yB，zC，xyz恒成立，则称“ABC”为集合M的一个“子集串”，则集合M的“子集串”共有_个答案111解析由题意可先分类，再分步：第一类，将6个元素全部取出来，可分两步进行：第一步，取出元素，有C种取法，第二步，分成三组，共10种分法，所以共有10C个子集串；第二类，从6个元素中取出5个元素，共C种取法，然后将这5个元素分成三组共6种分法，所以共有6C个子集串；同理含4个元素的子集串数为3C；含3个元素的子集串数为C.集合M的子集串共10C6C3CC111个18给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不
22、同的直线答案6解析如图，阴影部分即为可行域，易得使zxy取得最小值的点仅有(0,1)，使zxy取得最大值的点有无数个，但属于集合T的只有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)用这些点可以组成不同直线的条数为CC16.19(2014合肥一中、安师大附中等六校素质测试)某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x，y正半轴上的整点)，其运动规律为(m，n)(m1，n1)或(m，n)(m1，n1)若该动点从原点出发，经过6步运动到(6,2)点，则有_种不同的运动轨迹答案9解析解法一：如图所示，该动点从原点出发，第一次运动到点K(1,1)，第二次从K点运动到点I(2,2)或者J(2,0)，以此类推，最后到达A(6,2)，则不同的运动轨迹有：OKIGDBA；或OKJHEBA；.一共有9种不同的运动轨迹解法二：每一步向右上或右下，所以只关心在竖直方向上的运动情况，即确定6步运动中哪两步往下即可，其中第一步不能向下，所以不同的运动轨迹种数为CC9.