1、第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第二节 排列组合栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题.主要通过实际生活中的热点问题考查排列、组合的应用，多为选择题，难度中等，分值为 5 分.1.数学建模2.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1排列与排列数(1)排列从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，1 _，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(2)排列数从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的 2 _叫做
2、从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 3 _按照一定的顺序排成一列所有不同排列的个数Amn2组合与组合数(1)组合从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 4 _(2)组合数从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 5 _，记作 6 _组合组合数Cmn3排列数、组合数的公式及性质公式排列数公式Amn 7_ 8 _组合数公式CmnAmnAmm 9_ 10 _n(n1)(n2)(nm1)n！（nm）！n（n1）（nm1）m！n！m！（nm）！性质(1)Ann 11
3、 _；(2)0！12 _(1)C0n 13 _；(2)Cmn 14 _；(3)CmnCm1nCmn1备注n，mN*且 mnn！11Cnmn常用结论(1)CmnCnmn：从 n 个不同元素中取出 m 个元素的方法数等于取出剩余 nm 个元素的方法数(2)CmnCm1nCmn1：从 n1 个不同元素中取出 m 个元素可分以下两种情况：不含特殊元素 A 有 Cmn种方法；含特殊元素 A 有 Cm1n种方法基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 ()(3)若组合式 CxnCmn，
4、则 xm 成立()(4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况，也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修 23P18 例 3 改编)从 4 本不同的课外读物中，买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，则不同的送法种数是()A12B24C64D81答案：B3(选修 23P26 知识改编)计算 C37C47C58C69的值为_(用数字作答)答案：210三、易错自纠4用数字 1，2，3，4，5 组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A8B24C48D120解析：选 C 因为末位数字排法
5、有 A12种，其他位置排法有 A34种，共有 A12A3448(种)排法，所以偶数的个数为 48.5某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数，所以全班共写了 A24040391 560(条)毕业留言 答案：1 5606已知 1Cm5 1Cm6710Cm7，则 m_解析：由已知得，m 的取值范围为m|0m5，mZ，原等式可化为m！（5m）！5！m！（6m）！6！7（7m）！m！107！，整理可得 m223m420，解得 m21(舍去)或 m2.答案：2课
6、堂 考 点 突 破2考点一 排列问题|题组突破|1有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(1)选 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻解：(1)从 7 人中选 5 人排列，有 A57765432 520(种)(2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A37种方法，余下 4 人站后排，有 A44种方法，共有 A37A445 040(种)(3)解法一(特殊元素优先法)：先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A66种排列方法，共有
7、5A663 600(种)解法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另 6 人中的两人，有 A26种排法，其他有A55种排法，共有 A26A553 600(种)(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A44种方法，再将女生全排列，有 A44种方法，共有 A44A44576(种)(5)(插空法)先排女生，有 A44种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位安排男生，有 A35种方法，共有 A44A351 440(种)名师点津求解排列应用问题的 6 种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素
8、一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法考点二 组合问题|题组突破|2某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？(3)恰有 2 种假货在内，不同取法有多少种？(4)至少有 2 种假货在内，不同取法有多少种？(5)至多有 2 种假货在内，不同取法有多少种？解：(
9、1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C234561(种)取法，所以某一种假货必须在内的不同取法有 561 种(2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C3345 984(种)或者 C335C234C3345 984(种)取法所以某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种(3)从 20 种真货中选取 1 种，从 15 种假货中选取 2 种有 C120C2152 100(种)取法所以恰有 2 种假货在内的不同取法有 2 100 种(4)选取 2 种假货有 C120C215种，选取 3 种假货有 C315种，选取方式共有 C120C215C3152 1004552 555(种)所
10、以至少有 2 种假货在内的不同取法有 2 555 种(5)解法一(间接法)：选取 3 种商品的总数为 C335，因此选取方式共有 C335C3156 5454556 090(种)所以至多有 2 种假货在内的不同取法有 6 090 种解法二(直接法)：选取方式共有 C320C220C115C120C2156 090(种)所以至多有 2 种假货在内的不同取法有 6 090 种名师点津组合问题常有的 2 类题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若
11、直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解考点 分组分配问题多维探究命题角度一 整体均分问题【例 1】将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有()A12 种B10 种C9 种D8 种解析 将 4 名学生均分为 2 个小组共有C24C22A22 3(种)分法；将 2 个小组的同学分给2 名教师共有 A222(种)分法，最后将 2 个小组的人员分配到甲、乙两地有 A222(种)分法 故不同的安排方案共有 32212(种)答案 A命题角度二 部分等分问题【例 2】安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至
12、少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有()A12 种B18 种C24 种D36 种解析 因为安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，所以必有 1 人完成 2 项工作先把 4 项工作分成 3 组，即 2，1，1，有C24C12C11A226(种)，再分配给 3 个人，有 A336(种)，所以不同的安排方式共有 6636(种)答案 D命题角度三 不等分问题【例 3】若将 6 名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则有_种不同的分法解析 将 6 名教师分组，分三步完成：第 1 步，在 6 名教师中任取 1
13、 名作为一组，有 C16种取法；第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C25种取法；第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有 C33种取法 根据分步乘法计数原理，共有 C16C25C3360(种)取法 再将这 3 组教师分配到 3 所中学，有 A336(种)分法，故共有 606360(种)不同的分法 答案 360名师点津分组分配问题的三种类型及求解策略类型求解策略整体均分解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 Ann(n 为均分的组数)，避免重复计数部分均分解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应
14、除以 m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数类型求解策略不等分组只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数|跟踪训练|在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别和方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在 a，b，c 三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有()A96 种B124 种C130 种D150 种解析：选 D 五个参会国要在 a，b，c 三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，可以把 5 个参会国分成三组，一种是按照 1，1，3 分；另一种是按照 1，2
15、，2 分 当按照 1，1，3 来分时，共有C35C12C11A22A3360(种)；当按照 1，2，2 来分时，共有C25C23C11A22A3390(种)根据分类加法计数原理，知共有 6090150(种)，故选 D考点 排列、组合的创新应用问题【例】(2019 届山西太原模拟)如图所示，玩具计数算盘的三档上各有 7 个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数 2，右侧的每个算珠表示数 1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为 a，b，c.例如，图中上档的数字和 a9.若 a，b，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有_种解析 根据题意知，a，b，c 的取值范围都是区间
16、7，14中的 8 个整数，故公差 d的范围是区间3，3中的整数当公差 d0 时，有 C188(种)；当公差 d1 时，b 不取 7 和 14，有 2C1612(种)；当公差 d2 时，b 不取 7，8，13，14，有 2C148(种)；当公差 d3 时，b 只能取 10 或 11，有 2C124(种)综上，共有 8128432(种)不同的分珠计数法 答案 32名师点津排列、组合应用题常与数列、立体几何、解析几何等知识交汇命题，主要考查学生的逻辑推理能力，求解时注意两个原理的应用|跟踪训练|(2019 届江西南昌模拟)已知三棱锥的 6 条棱代表 6 种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工
17、产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的现用编号为 1，2，3 的三个仓库存放这 6 种化工产品，每个仓库放 2 种，那么安全存放的不同方法种数为()A12B24C36D48解析：选 D 如图所示的三棱锥中，设 6 条棱为 a，b，c，d，e，f，分析可得 a 与 d，b 与 f，c 与 e 不能分到同一组，分 2 步进行分析：将 6 种化工产品分成 3 组，其中 a 与 d，b 与 f，c与 e 不能分到同一组，有C26C24C22A333218(种)分组方法；将分好的三组全排列，对应 3 个仓库，有 A336(种)情况，则不同的安全存放的种数有 8648(种)，故选 D 点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS