1、第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.主要在选择题、填空题中考查两个原理的应用，分值为 5 分.1.数学建模2.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理两个计数原理完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法N 1 _种不同的方
2、法分步乘法计数原理需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法N 2 _种不同的方法mnmn基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修 23P28B2 改编)现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进
3、行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A24 种B30 种C36 种D48 种答案：D3(选修 23P5 例 3 改编)书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书从书架中任取 1 本书，则不同取法的种数为_答案：9三、易错自纠4小王有 70 元钱，现有面值分别为 20 元和 30 元的两种 IC 电话卡若他至少买一张，则不同的买法共有()A7 种B8 种C6 种D9 种解析：选 A 要完成的“一件事”是“至少买一张 IC 电话卡”，分 3 类完成：买 1张 IC 电话卡，买 2 张 IC 电话
4、卡，买 3 张 IC 电话卡，而每一类都能独立完成“至少买一张 IC 电话卡”这件事买 1 张 IC 电话卡有 2 种方法，买 2 张 IC 电话卡有 3 种方法，买3 张 IC 电话卡有 2 种方法所以不同的买法共有 2327(种)5已知集合 M1，2，3，N4，5，6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为_解析：分两类：一是以集合 M 中的元素为横坐标，以集合 N 中的元素为纵坐标有 326(个)不同的点；二是以集合 N 中的元素为横坐标，以集合 M 中的元素为纵坐标有 428(个)不同的点，故由分类加法计数原理得共有 6814(个)不
5、同的点 答案：14课 堂 考 点 突 破2考点一 分类加法原理|题组突破|1(2019 届河北保定一模)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去 A，B，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少去一人其中甲必须去 A社区，乙不去 B 社区，则不同的安排方法种数为()A8B7C6D5解析：选 B 根据题意，分 2 种情况讨论：乙和甲一起去 A 社区，此时将丙丁二人安排到 B，C 社区即可，有 A222(种)情况乙不去 A 社区，则乙必须去 C 社区，若丙丁都去 B 社区，有 1 种情况；若丙丁中有 1 人去 B 社区，则先在丙丁中选出 1 人，安排到 B 社区，剩下 1 人安排
6、到 A 或 C 社区，有 224(种)情况，则不同的安排方法有2147(种)，故选 B2(2019 届广西桂林、崇左、百色模拟)如图，某货场有两堆集装箱，一堆 2 个，一堆 3 个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是()A6B10C12D24解析：选 B 将题图中左边的集装箱从上往下分别记为 1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为 4，5.分两种情况讨论：若先取 1，则有 12345，12453，12435，14523，14235，14253，共 6 种取法；若先取 4，则有 45123，41235，41523，41253，共 4 种取法
7、，故共有 6410(种)取法3若椭圆x2my2n1 的焦点在 y 轴上，且 m1，2，3，4，5，n1，2，3，4，5，6，7，则这样的椭圆的个数为_解析：若椭圆x2my2n1 的焦点在 y 轴上，则 mn.当 m1 时，n2，3，4，5，6，7，共 6 个；当 m2 时，n3，4，5，6，7，共 5 个；当 m3 时，n4，5，6，7，共 4 个；当 m4 时，n5，6，7，共 3 个；当 m5 时，n6，7，共 2 个 故共有 6543220(个)满足条件的椭圆 答案：20名师点津使用分类加法原理时 2 个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏(2)分类
8、时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复考点二 分类乘法原理|题组突破|4(2019 届湖北黄冈第一次调研)现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是()A56B65C5654322D65432解析：选 A 每名同学有 5 种选法，且相互之间独立，所以共有 55555556(种)选法，故选 A5(2019 届滨州模拟)甲、乙两人从 4 门课程中选修 2 门，则甲、乙所选课程中恰有1 门相同的选法有()A6 种B12 种C24 种D30 种解析：选 C 分步完成：第一步，甲、乙选同一门课程有 4 种方法；第二步，甲从剩
9、余的 3 门课程选一门有 3 种方法；第三步，乙从剩余的 2 门中选出一门课程有 2 种方法 甲、乙恰有 1 门相同课程的选法有 43224(种)6从集合0，1，2，3，4，5，6中任取两个互不相等的数 a，b 组成复数 abi，其中虚数的个数是()A30B42C36D35解析：选 C 因为 abi 为虚数，所以 b0，即 b 有 6 种取法，所以 a 有 6 种取法由分步乘法计数原理知可以组成 6636(个)虚数名师点津需谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成当正面考虑问题比较复杂时，可采用正难则反的原则解题考点 两个原理的综合应用【例】(1)
10、在如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A24B48C72D96(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A48B18C24D36解析(1)分两种情况：A，C 不同色，先涂 A 有 4 种，C 有 3 种，E 有 2 种，B，D 有 1 种，有 43224(种)涂法 A，C 同色，先涂 A 有 4 种，E 有 3 种，C 有 1 种，B，D 各有 2 种，有 432248(种)涂法 故共有 24
11、4872(种)涂色方法(2)第 1 类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有 21224(个)；第 2 类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有 12 个所以正方体中“正交线面对”共有 241236(个)答案(1)C(2)D名师点津1利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类(3)弄清分步、分类的标准是什么(4)利用两个计数原理求解2涂色、种植问题的解题关注点和关键(1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素(2)关
12、键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理|跟踪训练|1如图所示，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A，B，C，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_种解析：按要求涂色至少需要 3 种颜色，故分两类：一是 4 种颜色都用，这时 A 有 4种涂法，B 有 3 种涂法，C 有 2 种涂法，D 有 1 种涂法，共有 432124(种)涂法；二是用 3 种颜色，这时 A，B，C 的涂法有 43224(种)，D 只要不与 C 同色即可，故 D 有 2 种涂法，共有 24248(种)涂法所以不同的涂法共有 244872(种)答案：722.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与
13、正八边形有公共边的三角形有_个(用数字作答)解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有 8432(个)第二类，有两条公共边的三角形共有 8 个由分类加法计数原理知，共有 32840(个)答案：40考点 两个原理的创新交汇应用问题【例】设集合 A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合 A 中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60B90C120D130解析 设 t|x1|x2|x3|x4|x5|，若 t1，说明 x1，x2，x3，x4，x5 中有一个为1 或 1，其他为 0，所以有 C152
14、10(个)元素满足 t1；若 t2，说明 x1，x2，x3，x4，x5 中有两个为1 或 1，其他为 0，所以有 C252240(个)元素满足 t2；若 t3，说明 x1，x2，x3，x4，x5 中有三个为1 或 1，其他为 0，所以有 C3522280(个)元素满足 t3，从而，共有 104080130(个)元素满足 1t3.答案 D名师点津两个原理综合应用的 1 个关键点解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求|跟踪训练|已知两条异面直线 a，b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为()A40B16C13D10解析：选 C 分两类情况讨论：第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定8 个不同的平面；第 2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面根据分类加法计数原理知，共可以确定 8513(个)不同的平面点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS