2013届数学竞赛教案讲义（14）——极限与导数.doc

1、第十四章 极限与导数一、 基础知识1极限定义：（1）若数列un满足，对任意给定的正数，总存在正数m，当nm且nN时，恒有|un-A|f(a)且f(c)=m，则c(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。14Lagrange中值定理：若f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则存在(a,b)，使证明 令F(x)=f(x)-,则F(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在(a,b)使=0，即15曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意xI,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意xI,则y=f(x)在I内是

2、上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴生不等式：设1,2,nR+，1+2+n=1。（1）若f(x)是a,b上的凸函数，则x1,x2,xna,b有f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn).二、方法与例题1极限的求法。例1 求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）例2 求下列极限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)(1+)(|x|0且)。5用导数讨论函数的单调性。例6 设a0，求函数f(x)=-ln(x+a)(x(0,+)的单调区间。6利用导数证明不等式。例7 设，求证：sinx+tanx2x.7.利用导数讨论极值。例8 设f(x)=a

3、lnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。例9 设x0,y0,1，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。三、基础训练题1=_.2已知，则a-b=_.3_.4_.5计算_.6若f(x)是定义在(-,+)上的偶函数，且存在，则_.7函数f(x)在(-,+)上可导，且，则_.8若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_.9函数f(x)=x-2sinx的单调递增区间是_.10函数的导数为_. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11若曲线在

4、点处的切线的斜率为，求实数a.12.求sin290的近似值。13设0ba0时，比较大小：ln(x+1) _x.9.函数f(x)=x5-5x4+5x3+1,x-1,2的最大值为_，最小值为_.10曲线y=e-x(x0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，则S(t)的最大值为_.11若x0，求证：(x2-1)lnx(x-1)2.12函数y=f(x)在区间(0,+)内可导。导函数是减函数，且0，x0(0,+).y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程，另设g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),表示m；（2）证明：当x(0,+)时，g

5、(x)f(x)；（3）若关于x的不等式x2+1ax+b在(0,+)上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满足的关系。13.设各项为正的无穷数列xn满足lnxn+,证明：xn1(nN+).五、联赛一试水平训练题1设Mn=（十进制）n位纯小数0只取0或1（i=1,2,n-1），an=1，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则_.2若(1-2x)9展开式的第3项为288，则_.3设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)0)，若对任意xln(3a),ln(4a)，不等式|m-f-1(x)|+ln0恒成立，则实

6、数m取值范围是_.9.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0ab，证明：0g(a)+g(b)-(b-a)ln2.10.(1)设函数f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0x1)，求f(x)的最小值；（2）设正数p1,p2,满足p1+p2+p3+=1，求证：p1log2p1+p2 log2p2+log2-n.11.若函数gA(x)的定义域A=a,b)，且gA(x)=,其中a,b为任意的正实数，且ab，（1）求gA(x)的最小值；（2）讨论gA(x)的单调性；（3）若x1Ik=k2,(k+1)2,x2Ik+1=(k+1)2,(k+2)2，证明：六、联赛二试水平训练题1证明下列不等式：（1）；（2）。2当01.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )