1、2020第一学期高三9月考数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简集合，再根据补集的概念，即可得出结果.【详解】因为，又，则.故选：D.【点睛】本题主要考查求集合的补集，涉及不等式的解法，属于基础题型.2. 已知命题对，成立，则在上为增函数；命题，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的性质分别判断命题的真假再判断各选项的真假即可.【详解】命题当时,因为故；当时,因为故；故随的增大而增大.故命题为真.命题,因为.故命题为假命题.故为真命题.故选：B
2、【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与函数的性质运用,属于基础题.3. 点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义直接求点的坐标.【详解】由题意可知，根据三角函数的定义可知，所以点的坐标是.故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题型.4. 已知向量若与平行，则实数的值是（ ）A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【详解】因为，所以由于与平行，得，解得.5. 在中，且，则（ ）A. 1B. C. -2D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，化简得，再结合，求得的值，
3、即可求解.【详解】由题意在中，根据向量的线性运算法则，可得：，又由，所以，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理得应用，其中解答中熟记平面向量的加法、减法的运算法则，结合平面向量的基本定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6. 在中，若，则为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到，进而判断出正确选项.【详解】由正弦定理得，所以，所以，故三角形为等腰三角形，故选A.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系
4、式，属于基础题.7. 中，内角所对的边分别为.若，则的面积为（ ）A. 6B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件和余弦定理得到，再根据三角形的面积公式计算结果.【详解】由条件可知：，由余弦定理可知：，所以由可知，即，则的面积为.故选：B【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.8. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简已知可得,进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解.【详解】，.故选：D.【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式的综合运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意观察角的特点
5、，再进行配凑.9. 函数（，）的部分图象如图所示，则的值为（ ）A. 2B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据题中条件，先得出周期，求出；再由最大值点求出，进而可得出结果.【详解】由题意可得，则；所以，又，即，则，因此，又，所以，故，因此.故选：C.【点睛】本题主要考查由三角函数的图形求解析式，考查求三角函数值，属于常考题型.10. 下列关于函数说法正确的是（ ）A. 在区间上单调递增B. 最小正周期是C. 图象关于点成中心对称D. 图象关于直线成轴对称【答案】C【解析】【分析】，然后运算正切函数知识可逐一判断.【详解】函数无单调递增区间和对称轴，A、D错误其最小正周期是，故B错误
6、在处无意义，故其图象关于点成中心对称，故C正确故选：C【点睛】本题考查的是正切型函数的图象及其性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.11. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由题意，求出函数的单调递减区间，再由题中条件，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】由题意，令，则，即函数的单调递减区间为，因为函数在区间上单调递减，所以，解得，所以，.故选：D.【点睛】本题主要考查由正弦型函数单调性求参数，熟记正弦函数单调性即可，属于常考题型.12. 已知函数满足，且当时，函数 ，则函数在区间上的零点的个数为（ ）A. 4B. 5C.
7、 6D. 7【答案】C【解析】【分析】由，可得的周期为，结合的解析式，可画出其在上的图像，由图像可得，在上有个交点，在上有个交点，在区间（1,2）需证明总有，即可得到在（1,2）只有一个交点，即可得答案.【详解】因为，所以为周期函数，且周期为，结合时，可得在上的图象（如图所示），又在上的图象如图所示，则在上的图象有个交点，在上有个交点，下面证明：当时，总有.令，则，因为，故，故，又，所以，所以，所以在为增函数，所以时，即总成立.又当时，在上的图象有个交点所以在上有个不同的解，即在上有个不同的零点.故选：C.【点睛】本题考查函数的零点与方程、指对数图像的应用、函数的周期性、利用导数判断函数的单调
8、性等知识，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，考查数形结合的思想，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设，则_【答案】【解析】【分析】先由复数的运算将复数化简整理，再根据复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】，因此.故答案为：.【点睛】本题主要考查求复数的模，涉及复数的运算，属于基础题型.14. 已知正项数列的前项和为，且满足，则数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】根据题中条件，先求出，再判断数列是以为公差的等差数列，进而可求出通项公式.【详解】当时，由得，即，解得或，因为是正项数列，所以；当时，由得，则，整理得，所以，因此数列是以为公差的等差数列，则.故答案
9、为：.【点睛】本题主要考查由递推公式求数列的通项，考查求等差数列的通项，属于常考题型.15. 由直线，曲线以及轴所围成的图形的面积为_【答案】【解析】【分析】先根据题意画出所围图形，求出直线，曲线的交点坐标，再由微积分基本定理，即可求出结果.【详解】做出草图如下， 解方程组 ，得到交点为，直线与轴的交点为，因此，由与，以及轴所求图形面积为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查由定积分求围成图形的面积，熟记微积分基本定理即可，属于常考题型.16. 已知向量，且，则在上的投影是_【答案】【解析】【分析】根据题中条件，得到，再由向量的投影的定义，结合向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，即，
10、则，所以，因此在上的投影是.故答案为：.【点睛】本题主要考查数量积的几何意义，考查向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.三、解答题（本大题共6小题，共72分）17. 已知数列满足：，且，成等差数列；（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用等比数列的定义和构造新数列法求出数列的通项公式.（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和.【详解】解：（1）数列满足：，且，成等差数列；所以，整理得，故，所以（常数），所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.所以，整理得.（2）由（1）得：，所以.【
11、点睛】本题考查等差数列性质、等比数列通项公式、分组求和法，考查运算求解能力.18. 设函数（1）解不等式.（2）若关于x的不等式在R上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分别讨论，去掉绝对值，分别求出每个不等式的解集，再求并集即可.（2）首先将在R上恒成立，等价于，再利用绝对值三角不等式求出，解不等式即可.【详解】（1）当时，解得，当时，解得，当时，综上所述：.（2）在R上恒成立，等价于即可.因为，所以，所以，解得.因此，实数取值范围是.【点睛】本题第一问考查绝对值不等式的解法，第二问考查绝对值三角不等式，属于中档题.19. 如图所示，近日我渔船编队在岛周
12、围海域作业，在岛的南偏西20方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距31海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40方向，以40海里/小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达处，此时观测站测得间的距离为21海里()求的值；()试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？【答案】（）； （）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛.【解析】【分析】() 在中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.()首先利用和差公式计算，中，由正弦定理可得长度，最后得到时间.【详解】()由已知可得，中，根据余弦定理求得，()由已知可得，中，由正弦定理可得
13、，分钟即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20. 己知函数（1）求函数的最小正周期及单调增区间；（2）若，求函数的值域【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式对原式进行化简，进而求出最小正周期和单调增区间.（2）由范围，求出的范围，利用正弦函数的性质求出值域即可.【详解】（1）令即单调增区间为（2），则，所以的值域为【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式和辅助角公式、正弦型函数的最小正周期、单调区间和值域等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.21. 已知正
14、项等比数列满足，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）令求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质得出公比为，从而得出数列的通项公式，由对数的运算性质得出的通项公式；（2）求出，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）正项等比数列的公比为，由，可得，解得（舍）可得，则（2）两式相减可得化简可得【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求和，属于中档题.22. 设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）将代入与
15、，求出切点与斜率，再利用点斜式写出切线方程即可.（2）有两个极值点等价于有两个零点，参变分离，求出新函数的单调性，借助图像，即可得出的取值范围.（3）原不等式等价于.即在在上单调递减，利用在上恒成立，参变分离，借助第（2）问的结论，即可解出的取值范围.【详解】（1）由题意知，所以在点处的切线斜率，则切线方程为.（2）定义域：.有两个极值点.即有两个零点，即有两个不等实根，令，即函数与函数有两个不同的交点又因为，所以在（0，1）上在（0，1）上单调递增，在上单调递减，.如图所示：当时，函数与函数无交点；当时，函数与函数仅有一个交点；当时，因为当时，而在（0，1）上单调递增，所以函数与函数至多在（0，1）上有一个交点；当时，在（0，1）上单调递增，所以函数与函数在（0，1）上仅有一个交点；在上单调递减，.所以函数与函数在上仅有一个交点；即函数与函数有两个不同交点因此.（3）可化为.设，又.在上单调递减，在上恒成立，即.又在（0，1）上单调递增，在上单调递减.在处取得最大值.【点睛】本题考查导函数的应用，属于中档题，需熟练掌握导数的求导规则、基础函数的导数、导数的几何意义；零点问题一般可参变分离后转化为两函数的交点问题来解；解不等式时常利用参变分离将其转化为最值问题来求解.