1、2020-2021年高三第一学期数学期中试卷（文科）第卷 （选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】联立，解方程组，即可求出与的交点个数，即中元素的个数.【详解】联立，解得或.即与相交于两点，故中有两个元素.故选：C【点睛】本题考查集合的元素个数，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2. 设条件p：a2a0，条件q：a0，那么p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】条件 即为 且，根据充要条件的定义即
2、可【详解】条件 即为 且，故条件是条件的充分不必要条件也可利用逆否命题的等价性解决【点睛】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题3. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. “”是“”的必要不充分条件C. 命题“，”的否定是“，”D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】【分析】利用四种命题之间的关系可判断A；利用充分条件，必要条件的定义可判断B；根据全称命题的否定变换形式可判断C；根据原命题与逆否命题的等价性可判断D.【详解】A中，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故A不正确；B中，由，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B
3、不正确；C中，“，”的否定是“，”，故C不正确；D中，命题“若，则”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D正确，故选：D4. 设函数，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先列出满足条件的不等式，再求解集详解：复合函数的定义域满足且，即是，解得，故选B点睛：在抽象函数中，若已知的定义域，那么复合函数的定义域指的是关于的解集若已知复合函数的定义域，的值域为的定义域5. 设b,函数的图象可能是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】，由得，当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负故选C6. f (x)x24xa，x0,1，若f (x)有最小值2，则f (x)
4、的最大值( )A. 1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】因为对称轴，所以 选C.7. 设，则、的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把化为的形式，再根据幂函数的单调性，得到的大小关系【详解】由题意得：，在上是增函数且本题正确选项：【点睛】本题主要考查利用幂函数的单调性比较大小问题.比较大小类问题常用的解决方法有构造函数统一的函数模型，利用函数单调性来进行比较.8. 函数f(x)axb的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）A. a1，b0B. a1，b0C 0a1，b0D. 0a1，b0【答案】D【解析】【分析】由函数的单调性得到0a1，再根
5、据函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，分析出的范围.【详解】由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.故选：D.【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查图象变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9. 设函数f(x)=若，则实数取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由于的范围不确定，故应分和两种情况求解.【详解】当时，由得，所以，可得：，当时，由得，所以，即，即，综上可知：或.故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数
6、，解不等式的关键是对的范围讨论，分情况解，属于中档题.10. 将函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】写出图象变换后的解析式，根据对称性求出，然后由正弦函数性质求得最小值【详解】将函数f(x)(2x)的图象向左平移个单位长度后对应解析式为，它的图象关于原点对称，则，又，所以，所以，当时，所以故选：A【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查图象变换以及函数的对称性（奇偶性），掌握正弦函数的性质是解题关键11. 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，则函数的零点个数是（ ）A. 9B.
7、 10C. 11D. 18【答案】B【解析】【详解】零点个数就是图象交点个数，作出图象，如图。由图可得有个交点，故有个零点,故选B. 【点晴】本题考查函数的周期性、函数与方程、函数的零点，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 先利用转化化归思想将零点问题转化为函数与的交点问题，再作出两函数的图象，观察它们的图象的交点个数，就是函数的零点个数.12. 的定义域为 ， ，对任意 ，则不等式 解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令g（x）exf（x）ex1，利用导数可判断函数g（x）的单调性
8、，由已知条件可得函数g（x）的零点，由此可解得不等式【详解】解：令g（x）exf（x）ex1，则g（x）exf（x）+exf（x）exexf（x）+f（x）1，f（x）+f（x）1，f（x）+f（x）10，g（x）0，即g（x）在R上单调递增，又f（0）2，g（0）e0f（0）e012110，故当x0时，g（x）g（0），即exf（x）ex10，整理得exf（x）ex+1，exf（x）ex+1的解集为x|x0故选A【点睛】本题考查函数单调性的性质及其应用，考查抽象不等式的求解，考查导数与函数单调性的关系，综合性较强，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知是定义
9、在上的偶函数，且在上为增函数，则不等式的解集为_.【答案】.【解析】【分析】根据的奇偶性和单调性，以及零点，画出的示意图，然后由，得到或，从而解出的范围，得到答案.【详解】是上的偶函数，的图象关于轴对称，在上为增函数，在上为减函数，作出函数的大致图象如图所示.由得到或或，的解集为.故答案为：【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性，根据函数的性质解不等式，解对数不等式，属于中档题.14. 已知，则值是_【答案】【解析】【分析】利用诱导公式可求，从而可求三角函数式的值.【详解】因为，所以.所以故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式的应用，注意对已知的角和未知的角的关系进行分析，从而选择合适的诱导公式进
10、行化简，本题属于基础题15. 的内角的对边分别为.若，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算16. 关于函数有下述四个结论：是偶函数；在区间单调递增；在有4个零点；的最大值为2；其中所有正确结论的编号是_.【答案】【解析】【分析】结合题意，得出函数的奇
11、偶性，根据奇偶性研究函数在时的性质对结论逐一判断即可【详解】解：，定义域为，函数是偶函数，故对；当时，由正弦函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，故错；当时，由得，根据偶函数的图象和性质可得，在上有1个零点 ，在有3个零点，故错；当时，根据奇偶性可得函数的图象如图，当时，函数有最大值，故对；故答案为：【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知a为实数，函数（1）若，求，的值；（2）求的解析式；（3）若，求a的取值范围【答案】（1）
12、0；2；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）把代入解析式，利用解析式特点赋值可得答案；（2）令，则，代入解析式可得答案；（3）由得，解不等式可得答案.【详解】（1）若，则，（2）令，则，（3），或，或的取值范围为18. 已知，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式可得，再由，利用两角差的正弦公式即可求解.（2）根据切化弦以及二倍角公式即可求解.【详解】解：（1），即，因为，所以，所以，所以（2）因为，所以，又由（1）知，所以所以19. 已知函数，且函数的图象在点处的切线斜率为（1）求b的值；（2）求函数的最值；【答案】（1）1；（2
13、）当时，没有最值；当时，的最大值为，无最小值【解析】【分析】（1）对求导，又，进而求出b的值（2）对进行讨论，利用导函数求函数的单调性，进一步求出最值.【详解】（1）由题意，得，又，（2）当时，在R上单调递减，没有最值；当时，令，得，令，得，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处取得唯一的极大值，即为最大值，且综上所述，当时，没有最值；当时，的最大值为，无最小值【点睛】本题考查的是导函数的知识点，涉及到利用导函数求函数的最值，以及分类讨论的思想，属于常见的题型.20. 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保
14、持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散设表示学生注意力指标该小组发现随时间t（分钟）的变化规律（越大，表明学生的注意力越集中）如下：（且）若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：（1）求a的值；（2）上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？【答案】（1）；（2）上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中理由见解析；（3）分钟.【解析】【分析】（1）由时对应的函数值为140，得的方程，解方程可得的值；（2）先求时对应的函数值，再与140比较大小；（3）实际上解不等式，分三
15、段依次求解，最后将三段解集求并集.【详解】（1）由题意得，当时，即，解得（2）因为，所以，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中（3）当时，由（1）知，解得；当时，恒成立；当时，解得综上所述，故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持分钟【点睛】本题考查函数的应用，比较基础，第三问关键点是注意对t的分类讨论，最后合成并集.21. 已知函数.（1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间；（2）若(0，)，且f()，求tan()的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，即可求出最小正周期及单调递减区间；（2）根据条件可以求出，代入即可计算tan()
16、.【详解】（1）f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin(4x)，f(x)的最小正周期T，令，得，f(x)的单调递减区间为；（2），(0，)，故，因此.【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，属于中档题.22. 设函数f（x）ln x，kR（1）若曲线yf（x）在点(e，f（e）)处的切线与直线x20垂直，求f（x）的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；（2）若对任意的x1x20，f(x1)f(x2)0)在(0，)上单调递减，接着转化为0在(0，)上恒成立，即，kx2x恒成立，利用二次函数求出最大值可得答案.【详解】（1）由题意，得，曲线yf（x）在点(e，f（e）)处的切线与直线x20垂直，即，解得ke，由 0，得0x0，得xe，f（x）在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增当xe时，f（x）取得极小值，且f（e）ln e2f（x）的极小值为2（2）由题意知，对任意的x1x20，f(x1)x10)，则h（x）在(0，)上单调递减，0在(0，)上恒成立，即当x0时，kx2x恒成立，k故k的取值范围是【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了减函数的定义，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.