1、22 一元二次不等式的应用学习目标1.掌握分式不等式，高次不等式的解法2能把一些简单实际问题转化为不等式进行处理 课堂互动讲练 知能优化训练 2.2 一元二次不等式的应用课前自主学案 课前自主学案 温故夯基 一元二次不等式的解法一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：(1)ax2bxc0(a0)；(2)ax2bxc0)上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax2bxc0的根确定设b24ac，则：0时，方程ax2bxc0有两个_的解x1、x2，设x1x2，则不等式(1)的解集为_，不等式(2)的解集为_；0时，方程ax2bxc0有两个_的解，即x1x2，则不等式(1)的解集为x
2、|xx1，xR，不等式(2)的解集为_；x2或xx1x|x1x0_.(2)fxgx0f(x)g(x)0或 f(x)0.(4)fxgx 0 f(x)g(x)0且g(x)0 _.f(x)g(x)0且g(x)0f(x)g(x)a(a0)的不等式？提示：形如fxgxa(a0)的不等式，通常先把右边化为 0 的形式，即fxagxgx0，再化为整式不等式(组)求解问题探究 课堂互动讲练 考点突破 分式不等式的解法 解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解解不等式：(1)(2010 年高考全国改编)x3x20；(2)x12x31；(3)2x11x 0.例1【思路点拨】转化
3、为与之同解的整式不等式求解【解】(1)x3x20(x3)(x2)02x3，原不等式的解集为x|2x3(2)x12x31，x12x310，x42x3 0，即x4x320.此不等式等价于(x4)(x32)0 且 x320，解得 x32或 x4.原不等式的解集为x|x32或 x4(3)由2x11x 0，此不等式等价于(x12)(x1)0，解得 x1，原不等式的解集为x|x1【误区警示】解分式不等式易将fxgxa(a0)转化为 f(x)ag(x)求解，出现这种错误的原因在于没有牢固掌握不等式的性质；将 fxgx0 转化为f(x)g(x)0 求解，出现这种错误的原因是忽略了分母不为 0 这一重要因素自我
4、挑战 1(2009 年高考湖北卷)已知关于 x 的不等式ax1x1 0 的解集是(，1)(12，)，则 a_.解析：ax1x1 0(ax1)(x1)0，又其解集为(，1)(12，)，可知 a0，故(ax1)(x1)0，结合原不等式的解集，有1a12a2.故填2.答案：2高次不等式的解法 一元高次不等式常用穿针引线法求解，其步骤要熟练掌握另外，适合不等式的根在数轴上用“”标出，不适合的根用“。”解不等式：(1)(2010 年高考全国卷改编)x2x23x20；(2)x12xx12x430例2【思 路 点 拨】系数负化正 分式化整式 穿根 求解【解】(1)由x2x23x20 x2x1x20(x1)(
5、x2)(x2)0，分别令各因式为零，可得根依次为1，2,2.在 x 轴上标根并且从右上方引曲线可得图如下：由上图可得不等式的解集为x|2x2(2)原不等式可化为 x1x2x12x430.此不等式等价于(x1)(x2)(x1)2(x4)30，且 x1，x4.分别令各个因式为零，可得根依次为1,2,1，4.在x轴上标根，并从右上方引曲线可得图如下：由上图可得不等式的解集为x|439.5，移项整理，得 x29x71100，显然 0，方程 x29x71100 有两个实数根，即 x188.94，x279.94.所以不等式的解集为x|x79.94在这个实际问题中，x0，所以这辆汽车刹车前的速度大于 79.
6、94 km/h.【名师点评】对于此类实际问题，必须构建出一个符合题意的不等式(组)，同时还要注意变量的实际意义自我挑战2 某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税，为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值？(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值？解：税率为P%时，销
7、售量为(8010P)万件，即工厂收入f(P)80(8010P)，税金g(P)80(8010P)P%，其中0P8.(1)由808010PP%96，0P8，解得 2P6.(2)f(P)80(8010P)(2P6)为减函数，当 P2 时，f(2)4800(万元)(3)0P8，g(P)80(8010P)P%8(P4)2128，当 P4 时，国家所得税金最多，为 128 万元1解分式不等式时，不能随便地去分母，一般的作法是移项、通分、化为整式不等式去解2高次不等式的解法(1)对于“0”或“0”型的高次不等式，在标根时，应将其标为“空心点”，代表这些根不在解集之中；对于“0”或“0”型的高次不等式，在标根时，应将适合的标为“实心点”代表这些根应在解集之中方法感悟(2)有些根可能为奇次重根或偶次重根，那么画线时的原则是：奇数重根“一次穿过”，偶次重根“穿而不过”例如(xa1)(xa2)2(xa3)3(xan)0，设a1a2a3an，画线方法如图所示(3)有些分式不等式在等价转化后有可能成为高次不等式，此时可采用“穿根法”求解(4)解简单的高次不等式还可用“转化法”，即运用实数乘法的运算性质，把高次不等式转化为低次的不等式组进行求解此法相对“穿根法”略显麻烦，因此并不经常使用3解决有关二次不等式的实际应用问题时，要读懂题意，建立不等式的数学模型，在解不等式时，要注意变量的实际意义
