1、第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第七节 n次独立重复试验与二项分布栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，能解决一些简单的实际问题.主要在选择题、填空题中考查条件概率，对相互独立事件及独立重复试验多在解答题中考查，分值为 5 分左右.1.数学建模2.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1条件概率条件概率的定义条件概率的性质已知 B 发生的条件下，A 发生的概率，称为 B 发生时A 发生的条件概率，记为 1 _.当 P(B)0
2、时，我们有 P(A|B)P（AB）P（B）(其中，AB也可以记成 AB).类似地，当 P(A)0 时，A 发生时 B 发生的条件概率为P(B|A)2 _(1)0P(B|A)1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则 P(BC|A)3 _P(A|B)P（AB）P（A）P(B|A)P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义：设 A，B 为两个事件，若 P(AB)4 _，则称事件 A 与事件 B 相互独立(2)性质若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)5 _，P(A|B)P(A)，P(AB)6_如果事件 A 与 B 相互独立，那么 7 _，8 _，9 _也相互独立P(A)P(B)P(B)P(A)
3、P(B)A 与 BA 与 BA 与 B3独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 10 _，并称 p 为 11 _ 计算公式Ai(i1，2，n)表示第 i次试验结果，则 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(Xk)Cknpk(1p)nk(k0，1，2，n)XB(n，p)成功概率基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确
4、(请在括号中打“”或“”)(1)若事件 A，B 相互独立，则 P(B|A)P(B)()(2)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，P(AB)表示事件 A，B 同时发生的概率，一定有 P(AB)P(A)P(B)()(3)相互独立事件就是互斥事件()(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(Xk)Cknpk(1p)nk，k0，1，2，n表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件 A发生的次数的概率分布()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修 23P55T3 改编)根据天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是 0.2，乙地的降雨概率是 0.3.假设
5、在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()A0.2B0.3C0.38D0.56答案：C3(选修 23P54T2 改编)已知盒中装有 3 个红球、2 个白球、5 个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A 310B13C38D29答案：B三、易错自纠4两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为23和34，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为()A12B 512C14D16解析：选 B 因为两人加工成一等品的概率分别为23和3
6、4，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率 P23141334 512.5从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B 为“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)等于()A18B14C25D12解析：选 B P(A)C23C22C2525，P(AB)C22C25 110，P(B|A)P（AB）P（A）14.课 堂 考 点 突 破2考点 条件概率|题组突破|1(2019 届石家庄一模)袋子中装有大小、形状完全相同的 2 个白球和 2 个红球，现从中不放回地摸取 2 个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为()A
7、16B13C12D15解析：选 B 设“第二次摸到红球”为事件 A，“第一次摸到红球”为事件 B，P(A)21224312，P(AB)24316，P(B|A)P（AB）P（A）13，在第二次摸到红球的条件下，第一次摸到红球的概率为13，故选 B2(2019 届广东汕头模拟)如图所示，半径为 1 的圆 O 是正方形 MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形 MNPQ 内，用 A 表示事件“豆子落在圆 O 内”，B 表示事件“豆子落在扇形 OEF(阴影部分)内”，则 P(B|A)()A4B14C 12D18解析：选 B 由已知得 P(A)1222 4，P(AB)141222 16，P(B|A
8、)P（AB）P（A）16414，故选 B3(2019 届江西南昌模拟)口袋中装有大小形状完全相同的红球 2 个，白球 3 个，黄球 1 个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为_解析：设事件 A 表示“第一次取得红球”，事件 B 表示“第二次取得白球”，则P(A)2613，P(AB)263515，第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为 P(B|A)P（AB）P（A）151335.答案：35名师点津条件概率的 3 种求法定义法先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)P（AB）P（A）求 P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本
9、事件数 n(A)，再求事件AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)n（AB）n（A）缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简考点一 相互独立事件变式探究【例 1】某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率为_解析 依题意，该选手第 2 个问题回答错误，第 3，4 个问题均回答正确，第 1 个问题回答正误均有可能，则所求概率 P10.20.
10、820.128.答案 0.128|变式探究|1(变问题)保持本例条件不变，则该选手恰好回答了 5 个问题就晋级下一轮的概率为_解析：依题意，该选手第 3 个问题的回答是错误的，第 4，5 个问题均回答正确，第1，2 个问 题 回 答均 错 误 或有 且 只 有 1 个 错 误，则 所 求概 率 P 0.23 0.82 20.20.80.20.820.005 120.040 960.046 08.答案：0.046 082(变问题)保持本例条件不变，则该选手回答了 5 个问题(5 个问题必须全部回答)就结束的概率为_解析：依题意，设答对的事件为 A，则可分为第 3 个回答正确与错误两类若第 3个回
11、答 正 确，则 有 AAAA 或 A A AA 两 类 情况，其 概率为 0.80.20.80.20.20.20.80.20.025 60.006 40.032；若该选手第 3 个问题的回答是错误的，则第 1，2 个问题回答均错误或有且只有 1 个错误，则所求概率 P0.2320.20.80.20.0080.0640.072.所以所求概率为 0.0320.0720.104.答案：0.104名师点津利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件(3)代入概率的积公式求
12、解|跟踪训练|1(2019 年全国卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场排队依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_解析：由题意可知七场四胜制且甲队以 41 获胜，则共比赛了 5 场，且第 5 场甲胜，前 4 场中甲胜 3 场第一类：若第 1 场、第 2 场中甲胜 1 场，第 3 场、第 4 场甲胜，则P1C120.60.40.522352514 325；第二类：若第 1 场、第 2 场甲胜，第 3 场、第 4 场中甲胜
13、1 场，则 P20.62C120.50.5352214 950.所以甲队以 41 获胜的概率为 P325 950 0.60.18.答案：0.18考点二 独立重复试验与二项分布【例 2】九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了 40 只统计质量，得到的结果如下表所示：质量/g5，15)15，25)25，35)35，45)45，55数量4121185(1)若购进这批九节虾 35 000 g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑
14、选 4 只，记质量在5，25)间的九节虾的数量为 X，求 X 的分布列解(1)由表中数据，可以估计每只九节虾的质量为140(41012201130840550)29.5(g)因为 35 00029.51 186(只)，所以这批九节虾的数量约为 1 186 只(2)由表中数据知，任意挑选 1 只九节虾，质量在5，25)间的概率 P41240 25，X的所有可能取值为 0，1，2，3，4，则 P(X0)354 81625，P(X1)C1425353216625，P(X2)C24252352216625，P(X3)C3425335 96625，P(X4)254 16625.所以 X 的分布列为X01
15、234P816252166252166259662516625名师点津独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略(1)在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确利用公式求概率(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，求得概率|跟踪训练|2挑选飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是 0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概
16、率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数 X 的分布列解：(1)设 A，B，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率 PP(A B C)P(AB C)P(A BC)0.5(10.6)(10.75)(10.5)0.6(10.75)(10.5)(10.6)0.750.275.(2)甲被录取的概率 P 甲0.50.60.3，同理 P 乙0.60.50.3，P 丙0.750.40.3.甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为 0.3，故可看成
17、是独立重复试验，即 XB(3，0.3)，X 的可能取值为 0，1，2，3，其中 P(Xk)Ck3(0.3)k(10.3)3k，k0，1，2，3.故 P(X0)C030.30(10.3)30.343，P(X1)C130.3(10.3)20.441，P(X2)C230.32(10.3)0.189，P(X3)C330.330.027.故 X 的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027考点 二项分布与统计交汇问题【例】从某市的高一学生中随机抽取 400 名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过 60 kg 的概率；(2)假设
18、该市高一学生的体重 X 服从正态分布 N(57，2)利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于 5557 kg 之间的概率；从该市高一学生中随机抽取 3 人，记体重介于 5457 kg 之间的人数为 Y，利用(1)的结论，求 Y 的分布列解(1)这 400 名学生中，体重超过 60 kg 的频率为(0.040.01)514，由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过 60 kg 的概率为14.(2)XN(57，2)，由(1)知 P(X60)14，P(X54)14.P(54X60)121412.P(54X57)121214，即高一某个学生体重介于 5457 kg 之间的概率为14.该市高一学
19、生总体很大，从该市高一学生中随机抽取 3 人，可以视为独立重复试验其中体重介于 5457 kg 之间的人数 YB3，14，P(Yi)Ci314i1143i，i0，1，2，3.Y 的分布列为Y0123P27642764964164名师点津求解与二项分布与统计知识交汇问题的关键在于分析条件，确立事件类型|跟踪训练|一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取 50 个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为5，15)，15，25)，25，35)，35，45，由此得到如图所示的样本的质量频率分布直方图(1)求 a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平
20、均数；(2)从盒子中随机抽取 3 个小球，其中质量在5，15)内的小球个数为 X，求 X 的分布列和期望(以直方图中的频率作为概率)解：(1)由题意，得(0.020.032a0.018)101，解得 a0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为 20 克，50 个样本中小球质量的平均数为 x0.2100.32200.3300.184024.6(克)故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的众数为 20 克，平均数为 24.6 克(2)由题意知，该盒子中小球质量在5，15)内的概率为15，则 XB3，15.X 的可能取值为 0，1，2，3，则 P(X0)C03150453 64125，P(X1)C13151452 48125，P(X2)C23152451 12125，P(X3)C33153450 1125.X 的分布列为X0123P6412548125121251125E(X)0 641251 481252 121253 112535或E（X）31535.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
