1、第五章计数原理3组合问题第1课时组合(一)课后篇巩固提升合格考达标练1.下列问题中,组合问题的个数是() 从全班50人中选出5人组成班委会;从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员;从1,2,3,9中任取两个数求积;从1,2,3,9中任取两个数求差或商.A.1B.2C.3D.4答案B解析对于,从50人中选出5人组成班委会,不考虑顺序,是组合问题;为排列问题;对于,从1,2,3,9中任取两个数求积是组合问题;因为乘法满足交换律,而减法和除法不满足,故为排列问题.2.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.
2、60种B.70种C.75种D.150种答案C解析由题意知,选2名男医生、1名女医生的方法有C62C51=75(种).3.C30+C41+C52+C63+C2 0132 010的值为()A.C2 0133B.C2 0143C.C2 0144D.C2 0134答案C解析C30+C41+C52+C63+C2 0132 010=C44+C43+C53+C2 0133=C2 0144.4.若集合M=x|C7x21,则组成集合M的元素共有()A.1个B.3个C.6个D.7个答案C解析C70=C77=1,C71=C76=7,C72=C75=762!=21,C73=C74=76532=3521,x=0,1,2
3、,5,6,7.5.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种(用数字填写答案).答案16解析(方法一)可分两种情况:第一种情况,只有1位女生入选,不同的选法有C21C42=12(种);第二种情况,有2位女生入选,不同的选法有C22C41=4(种).根据分类加法计数原理知,至少有1位女生入选的不同的选法有16种.(方法二)从6人中任选3人,不同的选法有C63=20(种),从6人中任选3人都是男生,不同的选法有C43=4(种),所以至少有1位女生入选的不同的选法有20-4=16(种).6.以下四个式子:Cnm=Anmm!;Anm=nAn-1m-1;CnmCn
4、m+1=m+1n-m;Cn+1m+1=n+1m+1Cnm.其中正确的个数是.答案4解析式显然成立;式中Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1),An-1m-1=(n-1)(n-2)(n-m+1),所以Anm=nAn-1m-1,故式成立;对于式,CnmCnm+1=CnmCnm+1=Anm(m+1)!m!Anm+1=m+1n-m,故式成立;对于式,Cn+1m+1=An+1m+1(m+1)!=(n+1)Anm(m+1)m!=n+1m+1Cnm,故式成立.7.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则mn=.答案12解析m=C42,n=A
5、42,mn=12.8.如图,有A,B,C,D四个区域,用五种不同的颜色给它们涂色,要求共边的两区域颜色互异,每个区域只涂一种颜色,共有多少种不同的涂色方法?解第1步,涂A区域有C51种方法;第2步,涂B区域有C41种方法;第3步,涂C区域和D区域;若C区域涂与A区域相同的颜色,则D区域有4种涂法;若C区域涂A、B剩余3种颜色之一,即有C31种涂法,则D区域有C31种涂法.故共有C51C41(4+C31C31)=260种不同的涂色方法.9.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加
6、;(3)甲、乙、丙三人不能参加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.解(1)从中任取5人是组合问题,共有C125=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需从另外9人中选2人,是组合问题,共有C92=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人,共有C95=126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,可分为两步:先从甲、乙、丙中选1人,有C31=3种选法,再从另外9人中选4人,有C94种选法,共有C31C94=378种不同的选法.等级考提升练10.用0,1,9十个数字组成的三位数中,有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.2
7、61D.279答案B解析所有三位数的个数为91010=900.没有重复数字的三位数有C91A92=648,所以有重复数字的三位数的个数为900-648=252.11.若An3=12Cn2,则n等于()A.8B.5或6C.3或4D.4答案A解析因为An3=n(n-1)(n-2),Cn2=12n(n-1),所以n(n-1)(n-2)=1212n(n-1).又nN+,且n3,所以n=8.12.(2020山东济宁期末)某校开设10门课供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位学生选修三门,则每位学生不同的选修方案种数是()A.120B.98C.63D.35答案B解析根据题
8、意,分2种情况讨论:从A,B,C三门中选出1门,其余7门中选出2门,选法有C31C72=63(种);从除A,B,C三门之外的7门中选出3门,选法有C73=35(种).故不同的选法种数为63+35=98.13.(多选题)若C17x=C172x-1,则正整数x的值是()A.1B.4C.6D.8答案AC解析C17x=C172x-1,x=2x-1或x+2x-1=17,解得x=1或x=6,经检验都满足题意.故选AC.14.(多选题)在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品,从这100件产品中任意抽出3件,则()A.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有C21C982种B.抽出的3件中恰好有1件是
9、不合格品的抽法有C21C982+C22C981种C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C21C982+C22C981种D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C1003-C983种答案ACD解析根据题意,依次分析选项:对于A,抽出的3件中恰好有1件是不合格品,即2件合格品,1件不合格品,有C21C982种抽取方法,A正确,B错误;对于C,抽出的3件中至少有1件是不合格品,即2件合格品,1件不合格品或1件合格品,2件不合格品,有C21C982+C22C981种抽取方法,C正确;对于D,用间接法分析,抽出的3件中没有不合格品的抽取方法有C983种,则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法
10、有C1003-C983种,D正确.故选ACD.15.某餐厅供应饭菜,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上不同的选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜品种种(结果用数值表示).答案7解析设餐厅至少还需准备x种不同的素菜.由题意,得C52Cx2200,从而有Cx220,即x(x-1)40.又xN+,所以x的最小值为7.16.已知集合A=1,2,3,4,5,则至少含一个偶数的集合A的子集个数为.答案24解析(方法一)当子集中含有1个偶数时,共有C21(C30+C31+C32+C33)=16(个);当子集中含有2个偶数时,
11、共有C30+C31+C32+C33=8(个);满足题意的集合A的子集个数为16+8=24(个).(方法二)集合A的子集共有C50+C51+C52+C53+C54+C55=32(个),不符合题意的子集有空集、分别只含有1,2,3个奇数的子集,有C50+C31+C32+C33=8(个),故符合题意的子集个数为32-8=24(个).17.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们一一进行测试,直至找出所有4件次品为止.(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第十次测试才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?解
12、(1)先排前4次测试,只能取正品,有A64种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有A42种测法,再排余下4件的测试位置,有A44种测法.所以共有不同测试方法A64A42A44=103 680(种).(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法C41(C61C33)A44=576(种).新情境创新练18.某次足球比赛中,共有32支球队参加,它们先平均分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组第一、二名晋级16强),这16支球队按确定的程序进行淘汰赛,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三名、第四名,请问这次足球赛总共进行多少场比赛?解可分为如下几类比赛:(1)小组循环赛:每组有C42=6(场),8个小组共有48场;(2)八分之一淘汰赛:8个小组的第一、二名组成16强,根据赛制规则,每两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;(3)四分之一淘汰赛:根据赛制规则,8强中每两个队比赛一次,可以决出4强,共有4场;(4)半决赛:根据赛制规则,4强每两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;(5)决赛:2强比赛1场确定冠、亚军,4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名,共有2场.综上,由分类加法计数原理知,共有48+8+4+2+2=64场比赛.5