1、3反证法Q 甲、乙、丙三人站成一列，甲在前，丙在后，乙在中间有3红2黑5顶帽子，现在随机抽取3顶分别戴在甲、乙、丙三人头上只有站在后面的人才可以看见前面的人头上帽子的颜色让这三人各自猜自己头上帽子的颜色，结果丙先说不知道，然后乙也说不知道，最后甲猜出自己头上帽子的颜色是红色的你知道甲是怎么推理的吗？X 1间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法反证法就是一种常用的间接证明方法2反证法(1)概念：假定命题结论的反面成立在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定命题结论的反面不可能成立
2、，由此断定命题的结论成立这样的证明方法叫作反证法(有时也叫归谬法)(2)形式：由证明pq转向证明：綈qrt，t与假设或与某个真命题矛盾，綈q为假，推出q为真3反证法的证题步骤包括以下三个步骤：(1)作出否定结论的假设(反设)假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；(2)逐步推理，导出矛盾(归谬)从假设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)否定假设，肯定结论(存真)由矛盾结果，断定假设不真，从而肯定原结论成立Y 1应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(C)原结论的相反判断，即假设原命题的结论公理、定理、定义等原命题的条件ABCD解析由反证法的规则
3、可知都可作为条件使用，故应选C.2用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是(B)A假设a、b、c都是偶数B假设a、b、c都不是偶数C假设a、b、c至多有一个偶数D假设a、b、c至多有两个是偶数解析“至少有一个”的对立面是“一个都没有”3反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为.解析考查反证法的证题步骤4用反证法证明命题“若x2(ab)xab0
4、，则xa且xb”时，应假设为xa或xb.解析对“且”的否定应为“或”，所以“xa且xb”的否定应为“xa或xb”H 命题方向1用反证法证明否(肯)定性命题典例1求证：当x2bxc20有两个不相等的非零实数根时，bc0.思路分析bc0的否定形式为bc0，包括b0，c0；b0，c0；b0，c0三种情况，要注意分类讨论证明假设bc0.(1)若b0，c0，方程变为x20，则x1x20是方程x2bxc20的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾(2)若b0，c0，方程变为x2c20，但c0，此时方程无解，与x2bxc20有两个不相等的非零实根相矛盾(3)若b0，c0，方程变为x2bx0，方程根为x10，
5、x2b，这与方程有两个非零实数根相矛盾综上所述，可知bc0.规律总结1.用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤特别提醒：(1)用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少，直接证明不易入手时常用的方法(2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题，结论的反面比较具体，适于应用反证法(3)注意否定结论时，要准确无误跟踪练习1已知a0，求证：关于x的方程axb有且只有一个根证明假设方程axb(
6、a0)至少存在两个实根，不妨设其中的实根分别为x1，x2，且x1x2，则ax1b，ax2b，ax1ax2，ax1ax20，a(x1x2)0.又x1x2，x1x20，a0，这与已知a0矛盾，故假设不成立，原命题成立命题方向2“至少”“至多”型命题典例2已知f(x)x2axa(aR)，求证：|f(1)|，|f(2)|中至少有一个不小于.思路分析“|f(1)|，|f(2)|中至少有一个不小于”包括三种情况，由条件不易分别证明这三种情况，考虑从反面“|f(1)|，|f(2)|全部小于”证明证明假设|f(1)|，|f(2)|中没有一个大于或等于，即|f(1)|，|f(2)|全部小于，则|f(1)|2a1
7、|，|f(2)|3a4|0，这与abc0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.命题方向3反证法在几何中的应用典例3如图，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径求证：AB，CD不能互相平分思路分析本题要证明的是AB、CD能不能互相平分，能与不能二者必居其一由于不易证明“AB、CD不能互相平分”，不妨假设“AB、CD能互相平分”，以此为出发点，得出与条件“AB，CD不全为直径”矛盾的结论证明假设AB、CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，所以ACBADB，CADCBD.因为四边形ACBD为圆内接四边形，所以ACBADB180，CADCBD180.因此ACB90，CAD90，所以对角线AB，
8、CD均为直径，这与已知中“AB，CD不全为直径”相矛盾因此AB，CD不能互相平分规律总结用反证法证明该几何问题时，反设之后，以反设为出发点，并且结合圆的内接四边形的性质得出与已知相矛盾的结论，从而证明了原命题成立,跟踪练习3如图所示，设SA，SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直证明假设AC平面SOB，连接AB.因为直线SO在平面SOB内，所以SOAC.又因为SO底面圆O，所以SOAB.又因为ACABA，所以SO面SAB.所以平面SAB底面圆O.这显然不成立，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直命题方向4反证法在数列中的应用典例4证明：1，2不能为
9、同一等差数列的三项证明假设1，2是某一等差数列的三项，且这一等差数列的公差为d，则1md，2nd，其中m，n为某两个正整数，由消去d，得n2m(nm).因为n2m为有理数，而(nm)为无理数，所以n2m(nm).推出矛盾，故假设错误所以1，2不能为同一等差数列的三项规律总结当结论为否定形式时，通过反设，转化为肯定形式，可作为条件进行推理，此时应用反证法很方便,跟踪练习4设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，证明：数列cn不是等比数列证明假设cn为等比数列，则当n2时，(anbn)2(an1bn1)(an1bn1)，所以a2anbnban1an1an1bn1bn1an1bn1bn
10、1.设an，bn的公比分别为p，q(pq)因为aan1an1，bbn1bn1，所以2anbnan1bn1bn1an1bnqanp，所以2.因为当pq时，2或2，与2矛盾，所以cn不是等比数列X 适宜运用反证法证明的命题 正难则反是运用反证法的原则，有一些基础命题都是我们在数学中常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明这些题型有：(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限”结论的命题典例5已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx
11、22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点思路分析.解析假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得1(2b)24ac0，且2(2c)24ab0，且3(2a)24bc0.同向不等式求和得：4b24c24a24ac4ab4bc0，所以2a22b22c22ab2bc2ac0.所以(ab)2(bc)2(ac)20.所以abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证规律总结1.反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题
12、的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果2反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定的“结论的反面”是错误的，从而肯定原结论是正确的跟踪练习5若函数f(x)在区间a，b上的图像连续，且f(a)0，f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点解析由于f(x)在a，b上的图像连续，且f(a)0，即f(a)f(b)m，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即00，abbcca0，abc0，求证：a0，b0，c0.错解假设a0，b0，c0，则abc0，abc0与题设条件abc0，abc0矛盾
13、假设不成立，原命题成立辨析错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误“求证：a0，b0，c0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0.”正解证法1：假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a0，若a0，得bc0得，bca0，abbcaca(bc)bc0矛盾又若a0，则abc0与abc0矛盾故“a0”不成立，a0，同理可证b0，c0.证法2：假设a、b、c是不全为正的实数，由于abc0，所以a、b、c中只能是两负一正，不妨设a0，b0，abbcac0，a(bc)bc0，bc0，a0，bc0，abc0矛盾，故假设不成立，原结论成立即a，b，c全
14、为正实数点评含“至多”“至少”“唯一”等的结论，或以否定形式给出的结论，常用反证法证明证明的第一步是写出结论的否定，否定一定要准确，证明时要将全部可能情形一一推证跟踪练习6用反证法证明：若ab0，则.解析假设不大于，即0，b0，所以()2()2ab0矛盾，所以.K 1设a、b、c(，0)，则a，b，c(C)A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2解析假设都大于2，则abc6，但(a)(b)(c)(a)(b)(c)2(2)(2)6，矛盾2设a、b、cR，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是P、Q、R同时大于零的(C)A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件
15、D既不充分又不必要条件解析若P0，Q0，R0，则必有PQR0；反之，若PQR0，也必有P0，Q0，R0.因为当PQR0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P0，Q0，即abc，bca，两式相加得b0，Q0，R0.3有以下结论：已知p3q32，求证pq2.用反证法证明时，可假设pq2.已知a，bR，|a|b|2，故的假设是错误的，而的假设是正确4设a，b，c，dR，且adbc1.求证：a2b2c2d2abcd1.解析假设a2b2c2d2abcd1，则a2b2c2d2abcdadbc0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20，所以ab0且cd0且ad0且bc0，所以abcd0与adbc1矛盾所以假设不成立，原结论成立