1、第二章圆锥曲线3抛物线3.2抛物线的简单几何性质课后篇巩固提升合格考达标练1.抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为()A.14B.-14C.4D.-4答案B解析由y=ax2,变形得x2=1ay,抛物线的准线方程是y=1,-14a=1,解得a=-14.2.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,则点P到抛物线的焦点F的距离为()A.4B.5C.6D.7答案A解析由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,则P(3,23),点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.3.已知点(x,y)在抛物线y2=
2、4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是()A.2B.3C.4D.0答案B解析因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x0,因为z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z最小,其最小值为3.4.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上的一点,则ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48答案C解析不妨设抛物线方程为y2=2px(p0),依题意,lx轴,且焦点Fp2,0,当x=p2时,|y|=p,|AB|=2p=12,p=6,又点P到直线AB的距离为p2+p2=p=6,故SABP=12|AB|
3、p=12126=36.5.抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线相切的圆的个数是()A.1B.2C.0D.无数个答案B解析因为点M(2,2)在抛物线y2=2x上,又焦点F12,0,由抛物线的定义知,过点F,M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点F,M且与l相切的圆有2个.6.抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.答案6解析抛物线的焦点坐标F0,p2,准线方程为y=-p2,代入x23-y23=1得|x|=3+p24.要使ABF为等边三角
4、形,则tan6=|x|p=3+p24p=33,解得p2=36,p=6.7.抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为33的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则AHF的面积是.答案43解析由抛物线的定义可得|AF|=|AH|,直线AF的斜率为33,AF的倾斜角为30.直线AH垂直于准线,FAH=60,故AHF为等边三角形.设Am,m24,m0,过F作FMAH于点M,则在FAM中,|AM|=12|AF|,m24-1=12m24+1,解得m=23,故等边三角形AHF的边长|AH|=4,AHF的面积是1244sin 60=43.8.若抛物线的顶点在原点,开口
5、向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.解设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p0),设A(x0,y0),由题意知M0,-p2,|AF|=3,y0+p2=3,|AM|=17,x02+y0+p22=17,x02=8,代入方程x02=2py0得,8=2p3-p2,解得p=2或p=4.所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.等级考提升练9.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A.(6,+)B.6,+)C.(3,+)D.3,+)答案D解析抛物线的焦点到顶点的距离为3,p2=3,即p=6.
6、又抛物线上的点到准线距离的最小值为p2,抛物线上的点到准线距离的取值范围是3,+).10.已知抛物线C的焦点是双曲线x2-y2=1的焦点中的一个,且顶点在原点,则抛物线C的标准方程是()A.y2=22xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=42x答案D解析由已知可知双曲线的焦点为(-2,0),(2,0).设抛物线方程为y2=2px(p0),则p2=2,所以p=22,所以抛物线方程为y2=42x.故选D.11.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为ABC的重心,则|FA|+|FB|+|FC|的值为()A.1B.2C.3D.4答案C解析依题意,设点A(x1,y1),B(x2
7、,y2),C(x3,y3),又焦点F12,0,所以x1+x2+x3=312=32,则|FA|+|FB|+|FC|=x1+12+x2+12+x3+12=(x1+x2+x3)+32=32+32=3.12.过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程是()A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=-12yD.x2=12y答案D解析由已知条件,过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.13.已知抛物线的方程为y2=2px(p0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若OAB为等边三角形,且面积为
8、483,则p的值为.答案2解析设A(x1,y1),B(x2,y2).|OA|=|OB|,x12+y12=x22+y22.又y12=2px1,y22=2px2,x22-x12+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2与p同号,x1+x2+2p0.x2-x1=0,即x1=x2.根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,由OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=33x,由y=33x,y2=2px,解得B(6p,23p),|OB|=(6p)2+(23p)2=43p,OAB的面积为483,34(43p)2=483,解得p2=4,p=2.14.已知F是抛物线y2
9、=4x的焦点,A,B是抛物线上两点,若AFB是等边三角形,则AFB的边长为.答案8+43或8-43解析由题意可知点A,B一定关于x轴对称,且AF,BF与x轴夹角均为30,由于y2=4x的焦点为(1,0),由y=33(x-1),y2=4x,化简得y2-43y-4=0,解得y1=23+4,y2=23-4,所以AFB的边长为8+43或8-43.新情境创新练15.如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.(1)求y1y2的值;(2)连接MN,记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1k2为定值.(1)解依题意,设直线AB的方程为x=my+2,代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.(2)证明设M(x3,y3),N(x4,y4),k1k2=y3-y4x3-x4x1-x2y1-y2=y3-y4y324-y424y124-y224y1-y2=y1+y2y3+y4,设直线AM的方程为x=ny+1,代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,k1k2=y1+y2y3+y4=y1+y2(-4y1)+(-4y2)=-y1y24,由(1)知y1y2=-8,所以k1k2=2为定值.5