1、1.旋转线段1.在中，将线段绕点逆时针旋转得到线段（1）如图1，直接写出的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，判断的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接，若，求的值解析：（1） 又 （2）是等边三角形证明：连接、，是等边三角形，又，又，是等边三角形（3）解：是等边三角形，又，, ,.2.在中，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段（1）若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点,请补全图形，并写出的度数；（2）在图2中，点不与点，重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，
2、重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围解析：（1）补全图形，见图1；（2）猜想：证明：如图2 ，连结，是的中点，点，在直线上，又为公共边，又，在四边形中，（3）提示：由（2）知，且 点不与点，重合，3.如图1，边长为4的正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合）第一次操作：将线段绕点顺时针旋转，当点落在正方形上时，记为点；第二次操作：将线段绕点顺时针旋转，当点落在正方形上时，记为点；依此操作下去（1）图2中的是经过两次操作后得到的，其形状为_，求此时线段的长；（2）若经过三次操作可得到四边形请判断四边形的形状为_，此时与的数量关系是_；以中的结论为前提
3、，设的长为，四边形的面积为，求与的函数关系式及的取值范围（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由解析：（1）由旋转可得： 为等边三角形四边形是正方形，三角形是等腰直角三角形设的长为，则，在中， 解得，（舍去）（2）四边形 的形状为正方形，此时 理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：由旋转性质可知， ， 四边形 的形状为正方形 ， ， 在 与 中， 利用中结论，易证均为全等三角形， ， 在中，当时，取得最小值；当时，的取值范围是（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是，它可能为正多边形
4、，边长为如答图2所示，粗线部分是由线段 经过次操作所形成的正八边形设边长 ，则 ，解得：4.已知，四边形是正方形，点在直线上，点在直线上（、不与正方形顶点重合，且在的同侧），于点，交直线于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结（1）如图1，当点与点分别在线段与线段上时求证：；求证：四边形是菱形；（2）如图2，当点与点分别在线段与线段的延长线上时，猜想四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想解析：（1）作于点，又，于，又四边形是正方形，于点，四边形是平行四边形又，是菱形（2）四边形是菱形证明：四边形是正方形，于，又，又，四边形是平行四边形又，平行四边形是菱形5.如图1，在正方形中，点、分别在边、
5、上，且平分（1）求证：；（本小问不予评分，自行查看解析）（2）当平分时（如图2），将线段绕点逆时针旋转，旋转后的线段分别交、于点、，若正方形的边长为4，求的面积解析：（1）证明：将绕点顺时针旋转到则，（2）过作于则，平分，平分，过作于，设 又 ， ， ， ，过作交于，则是梯形的中位线设， ， ， 过作于，则 6.在中，点是的中点，垂足为点，连接（1）如图1，与的数量关系是_；（2）如图2，若是线段上一动点（点不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请猜想、三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点是线段延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出、
6、三者之间的数量关系_解析：（1） ， ， 点 是 的中点， ， 为等边三角形， ，；故答案为（或）（2） （或）证明：在中，是的中点， 是等边三角形，即又，（3）如图，与（2）一样可证明 ， ，而 ， ，（或）7.在中，是的中点，为射线上任意一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作，交直线于点（1）如图1，当点在线段上时，判断与的数量关系并加以证明；（2）如图2，当点在线段的延长线上时，其它条件不变，你在（1）中得到的结论是否成立，请说明理由；（3）当点从的中点移动到点时，直接写出线段的中点所经过的路径长解析：（1）证明：连接，延长交于，是的中点，为的中点，是的中位线， ，和都是等腰直
7、角三角形，（2）成立证明：连接，设交于同理可证，（3）线段的中点所经过的路径长为 提示：延长交于，取中点，连接、则， ，是定值线段的中点所经过的路径是一条线段当点与点重合时，是的中点连接、，则是的中位线由（1）知，当点与点重合时，点与点重合，此时为的中点点所经过的路径长即为图中的长， 8.已知，是过点的直线，于点（1）如图1，求：； （2）当绕点旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，猜想、满足的关系式，并给予证明；（3）在在绕点旋转过程中，当， 时，则_，_解析：（1）证明：如图1，过点作，交于点，四边形内角和为，又，为等腰直角三角形又，（2）图2中，；图3中，证明：如图2，过点作，交于点，又
8、，为等腰直角三角形又，如图3，过点作，交于点，又，为等腰直角三角形又，（3），或提示：过点作，交于点，连接,和都是等腰直角三角形，当、两点在直线异侧时则，；当、两点在直线同侧时，；9.在中，过点作交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段（如图1）（1）在图1中画图探究：当为射线上任意一点（不与点重合）时，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，判断直线与直线的位置关系并加以证明； 当为线段的延长线上任意一点时，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，判断直线与直线的位置关系，画出图形并直接写出你的结论 （2）若，在的条件下，设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围解析：（1）直线与直线的位置关系为
9、互相垂直证明：如图，设直线与直线的交点为线段、分别绕点逆时针旋转依次得到线段、，按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直（2）四边形是平行四边形，可得由（1）可得四边形为正方形如图2，当点在线段的延长线上时（已证） 四边形为平行四边形 又 四边形中且 四边形为正方形 即如图3，当点在线段上（不与、两点重合）时，即当点与点重合时，即时，不存在综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或10.在中，为中点，为边的高，点在边上，点在线段上，且（1）如图l，当时，线段与的数量关系为_；（2）如图2，当时，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，将射线绕点顺时针旋转，交边于点，连接、，若，求线段的长解析：（1）提示：连接， ， ， ， ， 为 边上的中点， ，且 ， ， ，且 ， ，在 与 中， （2）连接 ， 为 中点， ， ， 为 边的高， ， ， （3）由，可设，则由（2）知， ， ， ， 在 中， ，解得 （舍去负值） ， ， ， ，连接 ，,由（2）知 ， ， ， ， ， ， ， ，
