1、4.四边形的旋转1.正方形的顶点在直线上，点是对角线、的交点，过点作于点，过点作于点（1）如图1，当、两点均在直线上方时，求：；（2）当正方形绕点顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段、之间又有怎样的数量关系？ 解析：（1）证明：如图1，过点作于则四边形是矩形，四边形是正方形，又，（2）图2结论：图3结论：对于图2证明：过点作交延长线于则四边形是矩形，四边形是正方形，又，若选图3，其证明方法同上2.如图1，若四边形和都是正方形，显然图中有，（1）当正方形绕旋转到如图2的位置时，是否成立？如果成立请说明理由，如果不成立，请说明理由.（2）当正方形绕旋转到如图3的位置时，延长交于，交于求证：；当，时
2、，求的长解析：（1）成立证明：四边形、四边形是正方形， （2）类似（1）可得， 又，即 连接，交于，连接，四边形是正方形， ，以为底边的的高为，（延长画高） 3.如图1，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为，在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接、（1）当正方形旋转至图2所示的位置时，求证：；（2）当点在直线上时，连接，求的度数；（3）如图3，如果，求点到的距离解析：（1）正方形与正方形，（2）当点在线段上时，作于，当点在的延长线上时，作于，（3）连接、，点在线段上，作于，则 在中， 延长交于由，得 ，4.如图1所示，将一个边长为2的
3、正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形现将小长方形绕点顺时针旋转至，旋转角为（1）当点恰好落在边上时，求旋转角的值；（2）如图2，为中点，且，求证：；（3）小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由解析：（1）， （2）为中点，又，（3）能或.解：四边形为正方形，与为等腰相等的两等腰三角形.当与为钝角三角形时，则旋转角.当与为锐角三角形时，则旋转角，即旋转角的值为或时，与全等.5.如图1，为等腰直角三角形，,是边上的一个动点（点与、不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形连接、. （1）猜想图1中线段、的数量关系及所在
4、直线的位置关系,直接写出结论；将图1中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形. 图2中交于点，交于点，请你判断中得到的结论是否仍然成立. （2）将原题中的等腰直角三角形改为直角三角形，,正方形改为矩形，如图4，且，交于点，交于点，连接、，求的值.解析：（1）证明： 为等腰直角三角形，四边形为正方形.，延长交于点， 仍然成立. 证明：是等腰直角三角形,四边形是正方形即 又,（2）证明：连接四边形是矩形 又 即, 又,在Rt中,在中,=6.如图，在菱形和菱形中，点、在同一条直线上，是线段的中点，连结、（1）求证：，； （2）将图中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对
5、角线恰好与菱形的边在同一条直线上，其他条件不变（如图），（1）中的结论是否还成立；如果成立，请说明理由，如果不成立请说明理由。（3）若图中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，其他条件不变（如图），判断与的位置关系和数量关系解析：（1）证明：如图，延长交于点，又，菱形，菱形，即 ，（2）证明：如图，延长交于点，连结、，又，又，在和中， ，又是等边三角形，（3）， 如图，延长至，使，连结交于点，连结、则，又，又， ，7.如图，四边形和四边形均为正方形，连接与相交于点（1）试猜想的度数，并说明理由；（2）将正方形绕点逆时针旋转，设的面积为，的面积为，判断与的大小关系；并给予证明；（3）若，设的面积为，将
6、正方形绕点逆时针旋转一周，求的取值范围解析：（1）猜想：，理由如下：，又， 又， （2）当正方形绕点逆时针旋转时，和总保持相等证明如下：由于，因此分三种情况：当时（如图1）过点作直线于点，过点作直线于点，又，又， 当时（如图2）， 当时（如图3）和一样，同理可证综上所述，在（2）的条件下，总有 （3）正方形在绕点旋转的过程中，它的对称中心的轨迹是以点为圆心，为半径的圆（如图4）因为的边，故当点到的距离取得最大、最小值时，取得最大、最小值当在直线上时，取得最大值 当在直线上时， 取得最小值 故的取值范围是： 8.如图，已知是等腰直角三角形，点是的中点作正方形，使点，分别在和上，连接，（1）试猜想
7、线段和的数量关系，请直接写出你得到的结论（2）将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）若，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值解析：（1） 证明：，.（2）成立如图，连接是等腰直角三角形，点是的中点，且，（3）由（2）知，故当最大时，也最大因为正方形在绕点旋转的过程中，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，故当正方形旋转到点位于的延长线上（即正方形绕点逆时针方向旋转）时，最大，如图.若，则，在中，即在正方形旋转过程中，当为最大值时，9.如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与、不重合），以为一边在
8、正方形外作正方形，连接，我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系（1）猜想图1中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系；（2）将图1中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断解析：（1），；四边形和四边形是正方形，在和中， ，；延长交于点，又，即；（2），仍然成立，在图（2）中证明如下四边形、四边形都是正方形，又，10.已知菱形是由绕点顺时针旋转得到的，这两个菱形的边长都是（1） 如图1，连接，求证：四边形为矩形；（2）如图2，连接，分别是边，上的两个动点，且满
9、足判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，当时，设的面积为，求的最小值解析：（1）证明：如图1，菱形是由菱形绕点顺时针旋转得到的，四边形是平行四边，平行四边形是矩形；（2）是等边三角形理由：证明：如图2菱形是由菱形绕点顺时针旋转得到的，为等边三角形，在和中，是等边三角形；（3）解：如图2，作于是等边三角形，当最小时，最小时，最小，在中，由勾股定理，得答：的最小值为11.如图1，四边形、为两个全等的矩形，且矩形的对角线交于点，点在上，将矩形绕点顺时针旋转角，如图2，、与分别相交于、（1）则：与的大小关系；（2）若，求旋转角的大小解析：（1）证明：四边形是矩形，将绕点顺时针旋转得到，连接，则，在和中，由三角形的三边关系得，；（2）解：，是直角三角形，在中，在中，旋转角为12.如图，已知正方形（1）请用直尺和圆规，作出正方形绕点逆时针旋转后得到的正方形（其中，分别是点，的像）（要求保留作图痕迹，不必写出作法）； （2）设与相交于点，求证：；（3）若正方形的边长为，求两个正方形的重叠部分（四边形）的面积解析：（1）如图所示：（2）连接正方形由正方形旋转得到， （3）连接正方形，由题意知，即在上，是等腰直角三角形设，则，解得：故
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