1、3.旋转三角形1.如图，在中，是中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点上，使三角板绕点旋转（1）如图1，当三角板两边分别交边、于、时，线段与、有怎样的关系（2）在（1）中，设，四边形的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围（3）在旋转过程中，当三角板一边经过点时，另一边交延长线于点，连接与延长线交于点（如图2），求的长解析：（1）理由如下：延长到，使，连接、（如图1-1），是中点，在中，（2）作于，于（如图1-2）在中，在中，由（1）知，即当点与点重合时， 当点与点重合时，的取值范围是 （3）过点作（如图2）， ，, ， ,.3.如图，在中， ，点在上，且将绕点顺时针旋转得到，且落在
2、的延长线上，连接交的延长线于点，（1）求证：（2）求的长解析：（1）证明：，,，,又，（2）解：， ，,过作于，则，,.4.已知：在的边、上分别取点、，连接使将绕点按逆时针方向旋转得到，连接、（1）如图1，若，问：与都有哪些关系（2）在图1中，连接、，分别取、的中点、，顺次连接、得到四边形请判断四边形 的形状（3）如图2，若改变（1）中的大小，使，其他条件不变，重复（2）中操作，请你直接判断四边形的形状如图3，若改变（1）中、的大小关系，使，其他条件不变，重复（2）中操作，请你直接判断四边形的形状解析：（1）证明：延长交于点，交于点，由旋转可知：，即在中，在中，又，（2）正方形证明：由（1）可
3、知：、分别是、的中点、分别是、的中位线，四边形是菱形，四边形是正方形（3）四边形 是菱形 ， ， ， ， 将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ， 在 和 中， ， ， 点 分别是 的中点， ， ， ， ， 四边形 是菱形；四边形 是矩形如图3，延长 交 于点 ， 将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ， ， ， ， ， ， ， ， 点 分别是 的中点， ， 四边形 是平行四边形 ， ， ， 平行四边形 是矩形5.两个等腰直角三角形、如图摆放（点在上），连接，取的中点，连接、，则有，（1）将绕点逆时针旋转，使点落在上（如图），上述结论是否仍成立？ （2）如图，当绕点逆时针旋转 时，连接，若,求 的值解析：
4、（1）上述结论仍然成立证法一：连接，延长交于点、均为等腰直角三角形，为中点，又，同理，即，为等腰直角三角形，证法二：延长交于，易知为中点是的中点， 分别延长、交于点，易知为中点可证得， ，即、均为等腰直角三角形，（2）过点作于，在中，设，则，6.已知中，,，将绕点旋转得到（1）如图1，当点落在线段上时，求的值；（2）如图2，当点落在直线上时，求的长解析：（1），,作于，于,则，得 ， .（2）作于, 7.如图1，、都是等腰直角三角形，点在线段上，连接（1）若，求 的值；（2）将绕点逆时针旋转，使（如图2）求：线段与的数量关系. 求：解析：（1）延长交于设，则，在中， 整理得：即解得：（舍去）或
5、（2）过作交延长线于、延长线交于，连接,则是等腰直角三角形 显然,又，,，,，,，又，又 将绕点顺时针旋转至，延长、交于，连接、则，四边形是平行四边形8.如图，矩形中，将一块直角三角板的直角顶点放在两对角线，的交点处，以点为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边，所在的直线相交，交点分别为，（1）当，时，如图1，则 的值为_；（2）现将三角板绕点逆时针旋转角，如图2，求 的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当，且使时，如图3， 的值是否变化？证明你的结论解析：（1） （2）过点作，垂足分别为，在矩形中，则，又， 由题意可知，又点在矩形对角线交点上，（3）变化证明：过点作，垂足分别
6、为，根据（2），同理可证 ， 9.如图1，和均为等腰直角三角形，点为的中点过点与平行的直线交射线于点（1）当，三点在同一直线上时，求：与之间的数量关系； （2）将绕点旋转，当，三点在同一直线上时（如图2），求证：为等腰直角三角形； （3）将绕点旋转到图3的位置时，（2）中的结论是否仍然成立？ 解析：（1），点为的中点，又， （2）和均为等腰直角三角形，三点在同一直线上（已证），为等腰直角三角形（3）成立，又（已证），为等腰直角三角形10.在四边形中，对角线、相交于点，设锐角，将按逆时针方向旋转得到（0旋转角90）连接、，与相交于点（1）当四边形为矩形时，如图1求证： （2）当四边形为平行四边形
7、时，设，如图2猜想此时与有何关系；探究与的数量关系以及与的大小关系解析：（1）证明：在矩形中，由旋转得到，即，（2）猜想：证明：在平行四边形中，由旋转得到，结论：，证明：，即 设与相交于点，在与中，又，即11.如图所示，在中，半径为的与射线相切，切点为，且将顺时针旋转后得到，点、的对应点分别是点、（1）画出旋转后的；（2）求出的直角边被截得的弦的长度；（3）判断的斜边所在的直线与的位置关系解析：（1）如图（2）连接、，过作于在中，在中，.故弦的长度为. （3）与相切 证明：过点作于，连接，则且在中，（由或解求得，从而得亦可）与相切 12.如图1，和是两张全等的三角形纸片，点与边的中点重合，且点
8、、在同一条直线上如图2，将绕点顺时针旋转，旋转过程中边、分别交边于点、，设旋转角（1）当_时，；（2）当线段、之间满足关系时，求的大小；（3）若，求与的函数关系式解析：（1）连接OA为的中点， 在和中 且 （2）作点关于的对称点，连接、则，是斜边的中点，,又，,，,，,，,，即,（3）过作于，过作于，交于,则是的中点，,在中，,，,，,，,，,，,，即 ，即 ， ， ， 13.如图9，若和为等边三角形，分别，的中点，易证：，是等边三角形（1）当把绕点旋转到图10的位置时，与的数量关系？ （2）当绕点旋转到图11的位置时，请证明是等边三角形？并求出当时，与及的面积之比. 解析：（1）理由如下:
9、和为等边三角形 ， ， ， （2）是等边三角形理由如下： ， 、分别是、的中点， ， ， 是等边三角形 设，则 ， 为等边三角形， ， ， ， 在中， ， 为中点， ，为等边三角形，且 解法二：是等边三角形理由如下：，、分别是、的中点， ，是等边三角形设，则，易证， ，为等边三角形.14.如图1，绕着边的中点旋转，分别交线段于点，（1）观察：如图2、图3，当或时， _（填“大于”，“小于”或“等于”）；如图4，当 时， _（填“大于”，“小于”或“等于”）；（2）猜想：如图1，当时， _;（填“大于”，“小于”或“等于”）； （3）如果，请直接写出的度数：_；的值_为_解析：（1）在中，是的中点，又，又，或时，在中，即（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），或，；（2分）由，得，又，在中， （两边之和大于第三边）（2）证明：作点关于的对称点，连接，则，是的中点，,，（1分）（3）由（2），得，又点关于的对称点，又由（1），得，在中，综上可得：的度数为，的值为
