1、第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第三节 二项式定理栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.主要通过二项式定理考查展开式中某项的系数、特定项，多在选择题、填空题中考查，分值为 5 分.数学运算课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1二项式定理(1)二项式定理：(ab)n 1 _(nN*)；(2)通项公式：Tk1 2 _，它表示第 3 _项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为 C0n，C1n，Cnn.C0nanC1nan1bCknankbk
2、CnnbnCknankbkk12二项式系数的性质常用结论 1二项展开式的项数为(n1)项，在排列形式上，按照字母 a 的降幂排列，从第一项起，次数由 n 次逐项减小 1 次直到零次，同时字母 b 按照升幂排列，次数由零次逐项增加 1 次直到 n 次 2若二项展开式的通项为 Tr1g(r)xh(r)(r0，1，2，n)，g(r)0，则有以下常见结论：(1)h(r)0Tr1 是常数项(2)h(r)是非负整数Tr1 是整式项(3)h(r)是负整数Tr1 是分式项(4)h(r)是整数Tr1 是有理项(5)h(r)是分数Tr1 是无理项 基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”
3、)(1)Crnanrbr 是(ab)n 的展开式中的第 r 项()(2)(ab)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(4)(ab)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修 23P31T4 改编)(xy)n 的二项展开式中，第 m 项的系数是()ACmnBCm1nCCm1nD(1)m1Cm1n答案：D3(选修 23P35 练习 A1(3)改编)C02 019C12 019C22 019C2 0192 019C02 018C22 018C42
4、 018C2 0182 018的值为()A2B4C2 019D2 0182 019答案：B三、易错自纠4(xy)(2xy)6 的展开式中 x4y3 的系数为()A80B40C40D80解析：选 D(2xy)6 的展开式的通项公式为 Tr1Cr6(2x)6r(y)r，当 r2 时，T3240 x4y2；当 r3 时，T4160 x3y3，故 x4y3 的系数为 24016080，故选 D5(2019福州市高三期末测试)设 n 为正整数，x2x3 n的展开式中仅有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为_解析：依题意得，n8，所以展开式的通项 Tr1Cr8x8r2x3 rCr8x84r(2
5、)r，令 84r0，解得 r2，所以展开式中的常数项为 T3C28(2)2112.答案：1126若(13x)n(其中 nN 且 n6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 n_解析：(13x)n 的展开式中含有 x5 的项为 C5n(3x)5C5n35x5，展开式中含 x6 的项为 C6n36x6.由两项的系数相等，得 C5n35C6n36，解得 n7.答案：7课 堂 考 点 突 破2考点 二项展开式中特定项及系数问题|题组突破|1(2019 年全国卷)(12x2)(1x)4 的展开式中 x3 的系数为()A12B16C20D24解析：选 A(1x)4 的二项展开式的通项为 Tk1Ck4
6、xk(k0，1，2，3，4)，故(12x2)(1x)4 的展开式中 x3 的系数为 C342C1412.故选 A2(2020 届贵阳摸底)x1x6的展开式中的常数项为()A15B20C15D20解析：选 C x1x6的展开式的通项 Tr1Cr6(x)6r1xrCr6(1)rx6r2 r，由6r2 r0 得，r2，所以展开式中的常数项为 T3C26(1)215.故选 C3.ax1x6的展开式的常数项为 160，则实数 a_解析：解法一：ax1x6的展开式的通项 Tr1Cr6(ax)6r1xrCr6a6rx62r，令 62r0，得 r3，所以 C36a63160，解得 a2.解法二：ax1x6ax
7、1x ax1x ax1x ax1x ax1x ax1x，要得到常数项，则需 ax 与1x的个数相同，各为 3 个，所以从6 个因式中选择 3 个 ax 的系数，即 C36a3160，解得 a2.答案：2名师点津求二项展开式中的项的方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk1Cknankbk 的特点，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通项求解，注意 k 的取值范围(k0，1，2，n)考点 二项式系数的性质及各项系数和【例】(1)(2019 届山东烟台模拟)已知x32xn的展开式的各项系数和为 243，则展开式中 x7 的系数为()A5B40C20D10(2)(2019 届河北邯郸
8、二模)在x 3xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 64，则 x3 的系数为()A15B45C135D405(3)(2019 届东北三校联考)若(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|()A0B1C32D1解析(1)由x32xn的展开式的各项系数和为 243，得 3n243，解得 n5，x32xnx32x5，Tr1Cr5(x3)5r2xr2rCr5x154r，令 154r7，得 r2，展开式中 x7 的系数为 22C2540.故选 B(2)在x 3xn的展开式中，令 x 为 1，得各项系数和为 4n，又展开式的二项式系数和为 2n
9、，各项系数的和与二项式系数的和之比为 64，4n2n64，解得 n6，x 3xnx 3x6，该二项式的展开式的通项 Tr1Cr63rx635r，令 632r3，得 r2，故展开式中 x3 的系数为 C2632135，故选 C(3)由(1x)5 的展开式的通项 Tr1Cr5(x)rCr5(1)rxr，可知 a1，a3，a5 都小于 0，所以|a0|a1|a2|a3|a4|a5|a0a1a2a3a4a5.在(1x)5 的展开式中令 x1，可得 a0a1a2a3a4a50.故选 A 答案(1)B(2)C(3)A名师点津赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于 x，y 的一切值都成立因此，可将
10、x，y 设定为一些特殊的值在使用赋值法时，令 x，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，1 或 0”，有时也取其他值如：(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令 x1 即可(2)形如(axby)n(a，bR)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可|跟踪训练|1(2019 届江西新余一中模拟)在二项式x3xn的展开式中，各项系数之和为 A，各项二项式系数之和为 B，且 AB72，则展开式中的常数项为()A6B9C12D18解析：选 B 在二项式x3xn的展开式中，令 x1 得各项系数之和为 4n，A4n.该二项展开式的
11、二项式系数之和为 2n，B2n，4n2n72，解得 n3.x3xnx3x3的展开式的通项 Tr1Cr3(x)3r3xr3rCr3x23-3r，令33r20，得 r1，故展开式的常数项为 T23C139，故选 B2(2019 届福建省高三质检)已知(x2)(2x1)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6，则 a0a2a4()A123B91C120D152解析：选 D 解法一：因为(2x1)5 的展开式的通项 Tr1Cr5(2x)5r(1)r(r0，1，2，3，4，5)，所以 a0a2a42C5520(1)51C4521(1)42C3522(1)31C2523(1)22C1524(1
12、)127080152，故选 D 解法二：令 x1，得 a0a1a2a3a4a5a63；令 x1，得 a0a1a2a3a4a5a6243.，得 a0a2a4a6120.又 a612532，所以a0a2a4152，故选 D 考点 二项式定理的创新交汇应用问题【例】(2019 届广东广州普通高中毕业班测试)在中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究设 a，b，m(m0)为整数，若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余，记为 ab(b mod m)若 aC020C1202C22022C2020220，ab(b mod 10)，则 b 的值可以是()A2 0
13、11B2 012C2 013D2 014解析 因为 a(12)20320910(101)10C0101010C110109C910101，所以 a 被 10 除得的余数为 1，结合选项知 2 011 被 10 除得的余数是 1，故选 A 答案 A名师点津求解这类问题，关键是弄清题意，结合二项式定理转化求解|跟踪训练|设复数 x 2i1i(i 是虚数单位)，则 C12 019xC22 019x2C32 019x3C2 0192 019x2 019()AiBiC1iDi1解析：选 D 因为 x 2i1i2i（1i）（1i）（1i）1i，所以 C12 019xC22 019x2C32 019x3C2 0192 019x2 019(1x)2 0191(11i)2 0191i2 0191i1.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS