1、专题训练：全等三角形姓名 1（2019 春道外区期末）已知，如图 1，BD、CE 是锐角ABC 的高，点 F 在BD 上，BF=AC，点 G 在 CE 的延长线上，CG=AB（1）求证：BAF=CGA；（2）在图 1 中，过点 F、G 分别作过点 A 的直线的垂线，垂足分别为点 M、N（如图 2），试判断线段 MN 与线段 FM、GN 之间的数量关系，并证明你的结论2（1）观察理解：如图 1，ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线 l 过点 C，点 A，B 在直线 l 同侧，BDl，AEl，垂足分别为 D，E，由此可得：AEC=CDB=90， 所以CAE+ACE=90，又因为ACB=90，
2、所以BCD+ACE=90，所以CAE=BCD，又因为 AC=BC，所以AECCDB（ ）；（请填写全等判定的方 法）（2）理解应用：如图 2，AEAB，且 AE=AB，BCCD，且 BC=CD，利用（1）中 的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 S= ；（3）类比探究：如图 3，RtABC 中，ACB=90，AC=4，将斜边 AB 绕点 A 逆 时针旋转 90至 AB，连接 BC，求ABC 的面积（4）拓展提升：如图 4，等边EBC 中，EC=BC=3cm，点 O 在 BC 上，且 OC=2cm， 动点 P 从点 E 沿射线 EC 以 1cm/s 速度运动，连结 OP，
3、将线段 OP 绕点 O 逆时针 旋转 120得到线段 OF设点 P 运动的时间为 t 秒当 t= 秒时，OFED；当 t= 秒时，OFBC；当 t= 秒时，点 F 恰好落在射线 EB 上3【问题探索】如图 1，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC，点 D、E 分别在 AC、BC 边上，DC=EC，连接 DE、AE、BD，点 M、N、P 分别是 AE、BD、AB 的中点， 连接 PM、PN、MN探索 BE 与 MN 的数量关系聪明的小华推理发现 PM 与 PN 的关系为 ，最后推理得到 BE 与 MN 的数量关系为 【深入探究】将DEC 绕点 C 逆时针旋转到如图 2 的位置，判断（1）
4、中的 BE 与 MN 的数量关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明 理由；【解决问题】若 CB=8，CE=2，在将图 1 中的DEC 绕点 C 逆时针旋转一周的过 程中，当 B、E、D 三点在一条直线上时，求 MN 的长度4如图 1，ABC 的边 BC 在直线 l 上，ACBC，且 AC=BC；EFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF=FP（1）示例：在图 1 中，通过观察、测量，猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关 系和位置关系答：AB 与 AP 的数量关系和位置关系分别是 、 （2）将EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置
5、时，EP 交 AC 于点 Q，连结 AP， BQ请你观察、测量，猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系答： BQ 与 AP 的数量关系和位置关系分别是 、 （3）将EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于 点 Q，连结 AP、BQ你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系 还 成 立 吗 ？ 若 成 立 ， 给 出 证 明 ； 若 不 成 立 ， 请 说 明 理 由 5如图，在ABC 中，AB=AC，A=90，点 D 为 AC 上一点，连接 BD，在边 BC上取点 E，使EDC=ADB，过 E 作 EFBD 于 K，交
6、直线 AB 于 F（1）如图，求证：BF=2AD；（2）如图，在（1）的条件下，连接 AE交 BD 于 M，若 ED=2EF，请您探究 线段 AM 与 ME 之间的数量关系，并证明您的结论6操作探究自我操作：如图 1 所示，点 O 为线段 MN 的中点，直线 PQ 与 MN相交于点 O，利用此图，作一对以点 O 为对称中心的全等MOA 和NOB，并使 A、B 两点都在直线 PQ 上（只保留作图痕迹，不写作法）（1）探究 1：如图 2 所示，在四边形 ABCD 中，ABCD，点 E 为 BC 的中点， BAE=EAF，AF 与 DC 相交于点 F，试探究线段 AB 与 AF，CF 之间的等量关系
7、， 并证明你的结论（2）探究 2：如图 3 所示，DE，BC 相交于点 E，BA 交 DE 于点 A，且 BE：EC=1：2，BAE=EDF，CFAB试探究线段 AB 与 DF，CF 之间的等量关系，并证明 你的结论（3）发现：如图 3 所示，DE，BC 相交于点 E，BA 交 DE 于点 A，且 BE：EC=1：n，BAE=EDF，CFAB则线段 AB 与 DF，CF 之间的等量关系为 7如图 1，以ABC 的边 AB，AC 为直角边作等腰ABE 和ACD，M 是 BC 的中点（1）若BAC=90，如图 1请你猜想线段 DE，AM 的数量关系，并证明你的结 论；（2）若BAC90如图 2请你
8、猜想线段 DE，AM 的数量关系，并证明你的结论；如图 3请你判断线段 DE，AM 的数量关系8、在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流原问题：如图 1，已知ABC，ACB=90，ABC=45，分别以 AB、BC 为边向外作ABD 与BCE，且 DA=DB，EB=EC，ADB=BEC=90，连接 DE 交 AB 于点F探究线段 DF 与 EF 的数量关系小慧同学的思路是：过点 D 作 DGAB 于 G，构造全等三角形，通过推理使问题 得解 小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是ABC=30，ADB=BEC=60 度 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中 DF 与 EF 的数量关系；（2）如图 2，若ABC=30，ADB=BEC=60，原问题中的其他条件不变，你 在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图 3，若ADB=BEC=2ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1） 中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明
