1、2020-2021学年江苏省扬州市高二（下）期中数学试卷一、单选题（每小题5分）.1已知复数z满足z（1+2i）3+i，则复数z的虚部为（）AiBiC1D12在的展开式中，x2的系数是（）A60B60C60D603将0，1，2，3，4，5这6个数组成无重复数字的五位偶数的个数为（）A360B312C264D2884在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，ACB90，CC1，若点M为A1B1的中点，则直线AM与直线CB1所成的角的余弦值为（）ABCD5曲线yxex+x2在x0处的切线方程为（）Ayx+1By2xCyxDy3x+16今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经
2、过22021天后是（）A星期三B星期四C星期五D星期六7函数的大致图象是（）ABCD8已知函数f（x）x+acosx，对于任意x1、x2R（x1x2），都有恒成立，则实数a的取值范围是（）A1，1+B1，1C1，1D1，1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A若复数z1，z2满足z12+z220，则z1z20Bi+i2+i3+i40C若z（1+2i）2，则复平面内对应的点位于第二象限D已知复数z满足|z1|z+1|，则|z1+i|的最小值为11
3、0已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A二项展开式中各项系数之和为729B二项展开式中二项式系数最大的项为C二项展开式中无常数项D二项展开式中系数最大的项为240x311如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为线段AB1上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）A平面BCM平面A1AB1B三棱锥BMB1C体积最大值为C当M为AB1中点时，直线B1D与直线CM所成的角的余弦值为D直线CM与A1D所成的角不可能是12对于定义域为R的函数f（x），f（x）为f（x）的导函数，若同时满足：f（0）0；当xR且x0时，都有xf（x）0；当x10x2且|x1|x2|
4、时，都有f（x1）f（x2），则称f（x）为“偏对称函数”下列函数是“偏对称函数”的是（）Af1（x）e2xexxBf2（x）ex+x1Cf3（x）D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（其中15题第一空2分，第二空3分）。13若，则 14已知函数，则 15已知f（x）（2x1）2021a0+a1x+a2x2+a2021x2021，则a1+a2+a3+a2021 ；a1+2a2+3a3+2021a2021 ；16已知关于x的方程ln2x+mxlnx2m2x20有3个不等的实数根，则m的取值范围是 四、解答题（本大题共6个小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17（
5、1）计算；（2）设复数z12+ai，z2b4i（其中a，bR），若是纯虚数，且z1+z2在复平面内对应的点在直线x+y10上，求|z1z2|18现有编号为A，B，C，D，E，F的6个不同的小球（1）若将这些小球排成一排，则有多少种不同的排法？（请用数字作答）（2）若将这些小球排成一排，且A，B，C三个小球各不相邻，则有多少种不同的排法？（请用数字作答）（3）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（请用数字作答）19已知在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADDC，ABDC，DC2AB，Q为PC的中点（1）求证；BQ平面PAD；（2）若PD1，B
6、C，BCBD，求锐二面角QBDC的余弦值20已知函数（1）若函数f（x）在区间2，+）是增函数，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间2，3上的最小值为g（m），求g（m）的表达式21已知梯形BFEC如图1所示，其中BFEC，EC3，BF2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF平面ABCD，得到如图2所示的几何体（1）求证：平面AEC平面BDE；（2）求点F到平面ABE的距离；（3）若点H在线段BD上，且EH与平面BEF所成角的正弦值为，求线段DH的长度22已知函数f（x）ax2bx+lnx（a，bR）（1）当a1，b3时，求f（x）的单调区间；（
7、2）当b2时，若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，且不等式f（x1）+f（x2）x1+x2+t有解，求实数t的取值范围；（3）设g（x）f（x）ax2，若g（x）有两个相异零点x1，x2，求证：参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数z满足z（1+2i）3+i，则复数z的虚部为（）AiBiC1D1解：z（1+2i）3+i，z（1+2i）（12i）（3+i）（12i），z1i，则复数z的虚部为1故选：C2在的展开式中，x2的系数是（）A60B60C60D60解：， 令x的指数为2，即6r2，r4；x2的系数为：
8、4C6460；可排除B、C、D故选：A3将0，1，2，3，4，5这6个数组成无重复数字的五位偶数的个数为（）A360B312C264D288解：根据题意，分2种情况讨论：0在五位数的个位，在剩下5个数中任取4个，安排在前4个数位，有A54120个五位偶数；0不在五位数的个位，则五位数的个位可以为2或4，首位数字有4种选择，在剩下4个数中任取3个，安排在中间3个数位，有A4324种选择，则此时有2424192个五位偶数，则一共有120+192312个五位偶数；故选：B4在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，ACB90，CC1，若点M为A1B1的中点，则直线AM与直线CB
9、1所成的角的余弦值为（）ABCD解：连接A1B，A1C，交于点N，连接MN，则N为A1C的中点，M为A1B1的中点，MNB1C，MNB1C，AMN或其补角为直线AM与直线CB1所成的角，在AMN中，AM，ANAC1，由余弦定理知，cosAMN，直线AM与直线CB1所成的角的余弦值为故选：A5曲线yxex+x2在x0处的切线方程为（）Ayx+1By2xCyxDy3x+1解：f（x）xex+x2，f（x）ex+xex+2x，在x0处的切线斜率kf（0）1，f（0）0+00，f（x）xex+x2在x0处的切线方程为：yx，故选：C6今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过22021天后是（）A星
10、期三B星期四C星期五D星期六解：22021422019486734（7+1）6734（7673+7672+7+），由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以4的余数为44，2+46，故经过22021天后是是星期六，故选：D7函数的大致图象是（）ABCD解：当x0或x1时，f（x）无意义，即函数的定义域为x|x0且x1，设g（x）xlnx1，则g（x）1当0x1，g（x）0，此时g（x）为减函数，则g（x）g（1）1ln110，则f（x）0且f（x）为增函数，排除C，D，当x1时，g（x）0，此时g（x）为增函数，则g（x）g（1）1ln110，则f（x）0且f（x）为减函
11、数，排除B，故选：A8已知函数f（x）x+acosx，对于任意x1、x2R（x1x2），都有恒成立，则实数a的取值范围是（）A1，1+B1，1C1，1D1，1解：对于任意x1、x2R（x1x2），都有恒成立，等价于，不妨令x1x2，即等价于函数g（x）f（x）（a2a）x在R上单调递增，即g（x）1asinx（a2a）0在R上恒成立a2a（1asinx）mina2a1|a|或，0a1或1a0，综上，1a1，故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的
12、是（）A若复数z1，z2满足z12+z220，则z1z20Bi+i2+i3+i40C若z（1+2i）2，则复平面内对应的点位于第二象限D已知复数z满足|z1|z+1|，则|z1+i|的最小值为1解：令z11，z2i，满足z12+z220，但z10且z20，A错；i+i2+i3+i4i1i+10，B对；z（1+2i）23+4i，34i，复平面内对应的点位于第三象限C错；复数z满足|z1|z+1|，复数z和1对应的向量和的对角线相等，复数z和1对应的向量和构成一个矩形，复数z和1对应的向量垂直，复数z对应的向量在虚轴上，|z1+i|的最小值为点（1，1）到虚轴距离，最小值为1，D对故选：BD10已
13、知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A二项展开式中各项系数之和为729B二项展开式中二项式系数最大的项为C二项展开式中无常数项D二项展开式中系数最大的项为240x3解：的二项展开式中二项式系数之和为 2n64，n6，再令x1，可得二项展开式中各项系数之和为3n36729，故A正确；显然，当r3时，二项式系数最大，该项为 T423160，故B错误；令通项公式中x的幂指数60，求得r4，可得常数项T52260，故C错误；由于第r+1项的系数为26r，检验可得，当r2时，系数最大，该项为T324x3240x3，故D正确，故选：AD11如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1
14、D1中，M为线段AB1上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）A平面BCM平面A1AB1B三棱锥BMB1C体积最大值为C当M为AB1中点时，直线B1D与直线CM所成的角的余弦值为D直线CM与A1D所成的角不可能是解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，BC面A1AM，BC面BCM，面BCM面A1AM，故选项A正确；设M到面BB1C的距离为h，hh，当M点运动到线段AB1的端点A时，h最大，且距离为1三棱锥BMB1C的体积最大值为，故选项B正确；如图，将A1B1延长至E，使A1B1B1E，连ME，CE，易得B1DCE，直线CM与直线CE所成角即为直线B1D与直线CM所成的角，即MCE，易得|M
15、C|，|CE|，|ME|，故选项C正确；A1DB1C，直线CM与直线B1C所成角就是MCB1，当M从点B1沿着线段B1A向A点运动时，MCB1逐渐变大，故在点A和点B1之间，必定存在一点使得MCB1，故选项D错误故选：ABC12对于定义域为R的函数f（x），f（x）为f（x）的导函数，若同时满足：f（0）0；当xR且x0时，都有xf（x）0；当x10x2且|x1|x2|时，都有f（x1）f（x2），则称f（x）为“偏对称函数”下列函数是“偏对称函数”的是（）Af1（x）e2xexxBf2（x）ex+x1Cf3（x）D解：对于A：f1（0）0，符合条件，条件等价于函数f（x）在区间（，0）上单调
16、递减，在区间（0，+）上单调递增，对于f1（x）e2xexx，f1（x）2e2xex1，则当x0时，f1（x）0，当x0时，f1（x）0，满足；当x0，令m（x）f1（x）f1（x）e2xe2x+exex2x，则m（x）2e2x+2e2xexex22（e2x+e2x）（ex+ex）2，令ex+ext，则t2，于是m（x）2t2t62（t）22（2）20，m（x）在（，0）上单调递增，m（x）m（0）0，故f1（x）满足条件，f1（x）为“偏对称函数”，故A正确；对于B：f2（0）0，符合条件，f2（x）ex+1，函数在R递增，不符合条件，故B不满足题意；对于C：f3（0）0，符合条件，显然f3
17、（x）在区间（，0）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增，符合条件，画出函数f3（x）的图象，如图示：当x10x2且|x1|x2|时，都有f（x1）f（x2），符合条件，故C正确；对于D：对于f4（x），f4（0）ln10，满足条件f（0）0；f4（x），由复合函数的单调性法则知：f4（x）在区间（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，满足条件由函数f4（x）的单调性知：当x10x2，且|x1|x2|时，都有f（x1）f（x2），满足条件，f4（x）是“偏对称函数”，故D正确；故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（其中15题第一空2分，第二空3分）。13若，则56解
18、：由，得4n3+3n+220，或4n33n+2，则n3，或n5当n3时，；当n5时，故答案为：5614已知函数，则1解：由已知，故答案为：115已知f（x）（2x1）2021a0+a1x+a2x2+a2021x2021，则a1+a2+a3+a20212；a1+2a2+3a3+2021a20214042；解：f（x）（2x1）2021a0+a1x+a2x2+a2021x2021，则令x0，可得 a01，再令x1，可得1+a1+a2+a3+a20211，a1+a2+a3+a20212f（x）20212（2x1）2020a1+2a2x+2021a2021x2020，令x1，可得 a1+2a2+3a3
19、+2021a20214042，故答案为：2，404216已知关于x的方程ln2x+mxlnx2m2x20有3个不等的实数根，则m的取值范围是解：由ln2x+mxlnx2m2x20得（lnx+2mx）（lnxmx）0，则lnx2mx或lnxmx，即或，设，依题意，函数f（x）的图象与直线y2m及ym共有三个交点，由得，易得函数f（x）在（0，e）单调递增，在（e，+）单调递减，且f（x）max，x0时，f（x），x+时，f（x）0，作出函数f（x）的图象如下图所示，由图可知，当或时满足题意，即或故答案为：四、解答题（本大题共6个小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17（1）
20、计算；（2）设复数z12+ai，z2b4i（其中a，bR），若是纯虚数，且z1+z2在复平面内对应的点在直线x+y10上，求|z1z2|解：（1）i，i41，i2021（i4）505ii，i+（23i+8i12i2）14+6i（2）因为是纯虚数，所以，即b2a，又因为z1+z2（2+b）+（a4）i（2+2a）+（a4）i，所以z1+z2在复平面内对应的点为（2+2a，a4），所以2+2a+a410得a1，b2因为z1z2（2+i）（24i）86i，所以|z1z2|1018现有编号为A，B，C，D，E，F的6个不同的小球（1）若将这些小球排成一排，则有多少种不同的排法？（请用数字作答）（2）若
21、将这些小球排成一排，且A，B，C三个小球各不相邻，则有多少种不同的排法？（请用数字作答）（3）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（请用数字作答）解：（1）根据题意，将6个不同的小球排成一排，有A66720种不同的排法；（2）根据题意，分2步进行分析：将D、E、F三个小球排好，有A336种排法，DEF排好后，有4个空位，在其中任选3个，安排ABC三个小球，有A4324种排法，则有624144种不同的排法；（3）根据题意，分2步进行分析：将6个小球分为3组，若分为2、2、2的三组，有种分组方法，若分为3、2、1的三组，有C61C52C33种分组方法
22、，若分为4、1、1的三组，有C64种分组方法，则有（+C61C52C33+C64）种分组方法，将分好的三组小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，有A336种情况，则有（+C61C52C33+C64）A33540种放法19已知在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADDC，ABDC，DC2AB，Q为PC的中点（1）求证；BQ平面PAD；（2）若PD1，BC，BCBD，求锐二面角QBDC的余弦值【解答】（1）证明：取PD的中点为G，分别连接AG，QG，又因为Q为PC的中点，所以GQDC，且又因为ABDC，DC2AB，所以GQAB，GQAB，所以四边形ABQG是平行四边形，所以BQAG又BQ平面PAD
23、，AG平面PAD，所以BQ平面PAD （2）解：由DA，DC，DP三条直线两两相互垂直以DA，DC，DP分别为z轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，因为在四边形ABCD中，ABDC，ADDC，DC2AB，所以点B在线段CD的垂直平分线上又因为，所以所以有点D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），Q，所以设平面BDQ的一个法向量，则，令z2，得，易知平面BCD的一个法向量为，因为，所以，所以锐二面角QBDC的余弦值为 20已知函数（1）若函数f（x）在区间2，+）是增函数，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间2，3上的最小值为g（m），求g（m）的表达式解：（1）由题意，f
24、（x）x2（m+1）x0在2，+）恒成立，m+1x恒成立，m+12，m1（2）f（x）xx（m+1），当m+12时，即m1时，f（x）在区间2，3上递增，当2m+13时，即1m2时，f（x）在区间2，m+1上递减，在区间m+1，3上递增，当m+13时，即m2时，f（x）在区间2，3上递减，综上，21已知梯形BFEC如图1所示，其中BFEC，EC3，BF2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF平面ABCD，得到如图2所示的几何体（1）求证：平面AEC平面BDE；（2）求点F到平面ABE的距离；（3）若点H在线段BD上，且EH与平面BEF所成角的正弦值为，
25、求线段DH的长度【解答】（1）证明：平面EDAF平面ABCD，DE平面EDAF，平面EDAF平面ABCDAD，DEAD，DE平面ABCD，AC平面ABCD，DEAC，四边形ABCD是正方形，ACBD，DE、BD平面BDE，DEBDD，AC平面BDEAC平面ACE，平面AEC平面BDE（2）解：过点F作FGAE于点G，因为平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，AB平面ABCD，ABAD，所以AB平面ADEF，又FG平面ADEF，所以ABFG，又ABAEA，AB，AE平面ABE，所以FG平面ABE，所以线段FG的长即为点F到平面ABE的距离，在AEF中，由等积变换AEFGAFAD
26、，得，即点F到平面ABE的距离为（说明本题也可以用等体积变换求解，也可用向量法求解）（3）解：建系如图，设平面BEF的法向量，E（0，0，2），F（1，0，1），B（1，1，0），令x1，则yz1，则，设H（a，a，0），则解得或a2（舍）故，22已知函数f（x）ax2bx+lnx（a，bR）（1）当a1，b3时，求f（x）的单调区间；（2）当b2时，若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，且不等式f（x1）+f（x2）x1+x2+t有解，求实数t的取值范围；（3）设g（x）f（x）ax2，若g（x）有两个相异零点x1，x2，求证：解：（1）当a1，b3时，f（x）x23x+lnx，x0，
27、令f（x）0，则，令f（x）0，则，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：由题可得f（x）（x0），函数f（x）ax22x+ln x有两个不同的极值点x1，x2，方程2ax22x+10有两个不相等的正实数根，于是有解得0a不等式f（x1）+f（x2）x1+x2+t有解，tf（x1）+f（x2）（x1+x2）maxf（x1）+f（x2）（x1+x2）axx1+ln x1+axx2+ln x2（x1+x2）a（x1+x2）22x1x22（x1+x2）+ln（x1x2）1ln（2a）设h（a）1ln（2a）（0a），h（a）0，故h（a）在（0，）上单调递增，故h（a）h（）5，t5故实数t的取值范围为（，5）（3）g（x）lnxbx，设g（x）的两个相异零点为x1，x2，设x1x20，欲证，需证lnx1+lnx22g（x1）0，g（x2）0，lnx1bx10，lnx2bx20，lnx1lnx2b（x1x2），lnx1+lnx2b（x1+x2）要证lnx1+lnx22，即证b（x1+x2）2，即，即，设上式转化为，设，g（t）在（1，+）上单调递增，g（t）g（1）0，lnx1+lnx22，
