1、专题强化练1两个计数原理一、选择题1.(2020北京师范大学附属实验中学高二下月考,)某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每名同学限报其中的一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有()A.27种B.36种C.54种D.81种2.(2019山东滕州一中高二下期末,)用5种不同的颜色给图中4个区域涂色,如果每个区域涂一种颜色,相邻区域不能同色,那么涂色的方法有()A.120种B.180种C.240种D.72种3.(2019山东九校高三上阶段检测,)汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后,需要紧固轮胎上的五个螺栓,记为A、B、C、D、E(在正五边形的顶点上),紧固时需要按一定的顺序
2、固定每一个螺栓,但不能连续固定相邻的两个,则不同固定螺栓顺序的种数为()A.20B.15C.10D.54.(2020山东潍坊高三上期末,)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,丁用哪种结账方式都可以,则甲、乙、丙、丁购物后依次结账,他们结账方式的组合种数共有()A.36B.30C.24D.205.(2020北京大兴高三上期末检测,)动点M位于数轴上的原点处,M可以沿数轴向左或者向右跳动,每次可跳动1个单位或者2个单位,且每次至少跳动1个单位.经过3次跳动后,M在数轴上可能位置的个数为()A
3、.7B.9C.11D.136.(2019北京中央民族大学附属中学高三上月考,)有一种棋盘(由88个方格组成),其中有一个小方格因破损而被剪去(破损位置不确定).“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成,如图所示.现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌,则()A.最多能剪成19块“L”形骨牌B.最多能剪成20块“L”形骨牌C.最多能剪成21块“L”形骨牌D.以上答案都不对7.(多选)(2020北京通州高三上期末,)甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,则下列选项中恰有8种不同站法的是()A.甲、乙都不与老师相邻B.甲、乙都与老师相邻C.甲与老师不相邻,乙与老师相邻D.甲
4、、乙相邻二、填空题8.(2020浙江余姚高三上期末,)用0,1,2,3,4组成没有重复数字的四位数,其中奇数有个.9.(2020福建厦门高三毕业班第一次质量检测,)高三年级有四个老师分别为a,b,c,d,这四位老师要去监考A,B,C,D四个班级,每个老师只能监考一个班级,一个班级只能有一个监考老师.现要求a老师不能监考A班,b老师不能监考B班,c老师不能监考C班,d老师不能监考D班,则不同的监考方式有种.10.(2020广东深圳高三一模,)若O是正六边形A1A2A3A4A5A6的中心,Q=OAi|i=1,2,3,4,5,6,a,b,cQ,且a,b,c互不相同,要使得(a+b)c=0,则有序向量
5、组(a,b,c)的个数为.三、解答题11.(2020河南新乡高三第三次模拟,)某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行,决定按照乘客乘坐地铁的站数实施分段优惠政策,不超过9站的地铁票价如下表所示(其中xN*):乘坐站数0x33x66x9票价(元)234现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁的站数都不超过9,且他们各自在每站下地铁的可能性是相同的.(1)若小华、小李两人共付费5元,则小华、小李下地铁的方案共有多少种?(2)若小华、小李两人共付费6元,求小华比小李先下地铁的概率.答案全解全析专题强化练1两个计数原理一、选择题1.C因为除小张外,每名同学都可以报A、B、C三个课外活
6、动小组中的任意一个,都有3种选择,小张不能报A小组,只有2种选择,所以不同的报名方法有3332=54种.故选C.2.B按照1,2,3,4的顺序涂色.先给区域1涂色,有5种方法,再给区域2涂色,有4种方法,再给区域3涂色,有3种方法,最后给区域4涂色,有3种方法,共有5433=180种涂色方法.故选B.3.C此题相当于在正五边形中,对五个字母排序,要求五边形的任意相邻两个字母不能排在相邻位置,考虑A放第一个位置,第二步只能是C或D,只有ACEBD和ADBEC两种情况;同理,分别让B、C、D、E放第一个位置,则各有两种情况,共25=10种情况.故选C.4.D当乙用现金结账时,此时甲和乙都用现金结账
7、,所以丙有3种方法,丁有4种方法,共有34=12种方法;当乙用银联卡结账时,此时甲用现金结账,丙有2种方法,丁有4种方法,共有24=8种方法.综上,共有12+8=20种方法.故选D.5.D根据题意,分4种情况讨论.动点M向左跳三次,3次均为1个单位,3次均为2个单位,2次1个单位,2次2个单位,故有-6,-5,-4,-3;动点M向右跳三次,3次均为1个单位,3次均为2个单位,2次1个单位,2次2个单位,故有6,5,4,3;动点M向左跳2次,向右跳1次,3次均为1个单位,3次均为2个单位,2次1个单位,2次2个单位,故有-3,-2,-1,0;动点M向左跳1次,向右跳2次,3次均为1个单位,3次均
8、为2个单位,2次1个单位,2次2个单位,故有0,1,2,3.故M在数轴上的可能位置为-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,共有13个.故选D.6.C考虑23的6块方格,如图:,每一块这样的骨牌含有2块“L”形骨牌,一共可以剪成10块这样的骨牌和一个田字格,田字格可以剪1块“L”形骨牌,则一共可以剪21块“L”形骨牌.只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即可,所以最多能够剪成21块“L”形骨牌.故选C.7.CD对于A,甲、乙只能站左、右两端,有2种站法,丙、丁在老师相邻两边,有2种站法,所以有22=4种站法,不符合;对于B,同A一样,有4种站法,不符合;对于C,
9、甲站两端,有2种站法,乙与老师相邻,有2种站法,丙、丁站剩下位置,有2种站法,所以有222=8种站法,C符合;对于D,甲、乙要么都在老师左边,要么都在老师右边,且甲、乙还可以相互交换,有22种站法,丙、丁站剩下两个位置,有2种站法,所以共有222=8种站法,D符合.二、填空题8.答案36 解析分步考虑.首先确定个位,可从1,3中任选一个,有2种方法;其次确定千位,可从除0之外的另外3个数中任选一个,有3种方法;最后确定百位和十位,分别有3种和2种方法.根据分步乘法计数原理可得,奇数有2332=36个.9.答案9解析当a老师监考B班时,剩下的三位老师有3种监考方式,同理,当a老师监考C班时,也有
10、3种,当a老师监考D班时,也有3种,共9种.故答案为9.10.答案48解析如图(1),这样的a,b有6对,且a,b可交换,此时c有2种情况,所以有序向量组(a,b,c)的个数为622=24;如图(2),这样的a,b有3对,且a,b可交换,此时c有4种情况,所以有序向量组(a,b,c)的个数为324=24.综上所述,总数为24+24=48.故答案为48.三、解答题11.解析(1)由题表可知,若小华、小李两人共付费5元,则小华、小李一人付费2元一人付费3元,付费2元的乘坐站数有1,2,3三种选择,付费3元的乘坐站数有4,5,6三种选择,所以小华、小李下地铁的方案共有233=18种.(2)由题表可知,若小华、小李两人共付费6元,则小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元.付费2元的乘坐站数有1,2,3三种选择,付费3元的乘坐站数有4,5,6三种选择,付费4元的乘坐站数有7,8,9三种选择,因此小华、小李下地铁的方案共有233+33=27种,其中小华比小李先下地铁的方案有33+3=12种,因此小华比小李先下地铁的概率为1227=49.