1、1 数 列11 数列的概念学习目标1理解数列及有关概念，了解数列的表示和分类，了解数列通项公式的意义 2能够根据数列的通项公式写出数列的任一项，对于简单的数列，能由前几项归纳出数列的通项公式 课堂互动讲练 知能优化训练 1.1数列的概念课前自主学案 课前自主学案 温故夯基 1前5个正整数的倒数排成一列：_.2集合的基本表示法有_、_和Venn图法 3集合的列举法的一般形式为a，b，c，d，;集合的元素具有_、_、_列举法描述法确定性互异性无序性1，12，13，14，151数列的概念知新益能 名 称 内 容 数列的定义 按一定_排列的一列数叫作数列项和项数 数列中的_叫作这个数列的项，各项依次叫
2、作这个数列的第1项(首项)，第2项，第n项，.数列的记法 数 列 一 般 可 以 写 成 a1，a2，a3，an，简记为_，an是数列的第n项，也叫_次序每一个数an通项名 称 内 容 数列的分类 按数列的项数，数列分为_与_(1)项数_的数列叫作有穷数列；(2)项数_的数列叫作无穷数列.有穷数列无穷数列有限无限2.数列的通项公式 如果数列an的第n项an与n之间的_关系可以用一个式子 _来表示，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式函数anf(n)问题探究 1an与an表示的意义相同吗？提示：an与an表示的意义不同an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式；而an只表示数列an的第n
3、项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系2已知数列的前几项，如何求数列的通项公式？提示：有些数列只给出有限项，并没有给定它的构成规律，那么仅由其前几项归纳出的数列通项公式不唯一因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，应多观察分析，真正找到内在的规律，由数列的前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循(1)求数列的通项公式，关键是找序号n与项an的关系式；(2)符号用(1)n或(1)n1来调节；(3)分式的分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系课堂互动讲练 数列的概念 考点突破 理解数列的概念应注意以下几个方面：(1)数列中项与项之间用“，”隔开(2)数列中
4、的项通常用an表示，其中右下角标表示项的位置序号，即an为第n项(3)“顺序”的重要性：顺序对于数列来讲是十分重要的，几个不同的数，它们按照不同的顺序排列所得到的数列是不同的，这是数列与集合的不同之处(4)“项”与序号n是不同的：数列的项是这个数列中某一个确定的数，它实质上是序号n的函数值f(n)；而序号则是指该项在这个数列中的位置下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1)1,3,5,7,9；(2)1,3,5,7,9；(3)所有无理数；(4)1,1，1,1，；(5)6,6,6，.【思路点拨】紧扣数列的概念和数列的分类标准解答例1【解】(1)是集合，不是数列；(3)不是
5、数列，因为无法把所有无理数按一定次序排列起来；(2)，(4)，(5)是数列，其中(2)是有穷数列；(4),(5)是无穷数列【名师点评】数列的主要特征是有序性，解决此类问题的方法是根据这一性质及所含项数的多少和项的变化情况确定根据数列的前几项写出它的一个通项公式，关键在于观察、分析数列的前几项的特征，找到数列的构成规律为了发现数列的构成规律，可把序号1,2,3，标在相应的项上，这样便于突出第n项an与项数n的关系，即突出an如何用n表示根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 例2根据数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)1
6、2，14，58，1316，2932，6164，；(4)32，1，710，917，.【思路点拨】根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见的数列来求【解】(1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(2)将数列变形为89(10.1)，89(10.01)，89(10.001)，an89(1 110n)(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，易看出第 2,3,4项的分子分别比分母少 3.因此把第 1项变为232，至 此 原 数
7、列 已 化 为 21321，22322，23323，24324，an(1)n2n32n.(4)将数列统一为32，55，710，917，对于分子3,5,7,9，是序号的 2 倍加 1，可得分子的通项公式为 bn2n1，对于分母 2,5,10,17，联想到数列 1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为 cnn21，可得原数列的一个通项公式为 an2n1n21.【点评】根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系 具体地可参考以下几个思路：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不
8、变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如本例(3)中可分子、分母分别处理(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(1)k处理符号，如本例(1)(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等自我挑战 写出下列数列的一个通项公式：(1)1，3,5，7,9，；(2)3，3，15，21，3 3，；(3)0.9,0.99,0.999,0.9999，；(4)3,5,3,5,3,5，；(5)2，45，12，411，27，417，.解：(1)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，是连续的正奇数，考虑(1)n1 具有转换符号的作用，所以
9、数列的一个通项公式为 an(1)n1(2n1)(2)数列可化为 3，9，15，21，27，即 31，33，35，37，39，每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数 3，后一个因数为 2n1，故原数列的一个通项公式为 an 32n1 6n3.(3)原数列可变形为 1 110，1 1102，1 1103，1 1104，故所给数列的一个通项公式为 an1 110n.(4)数列给出前 6 项，其中奇数项为 3，偶数项为 5，所以通项公式的一种表示方法为 an3 n为奇数5 n为偶数.此数列还可以这样考虑，3 与 5 的算术平均数为3524,4 加 1 便是 5,4 减 1 便是 3，而加 1
10、 与减 1 也就是(1)n.因此数列的通项公式还可以写成 an352(1)n4(1)n.(5)数列的符号规律是(1)n1，使各项的分子都为 4，则变为42，45，48，411，再把各分母都加上 1，又变为43，46，49，412，.数列的通项公式是an41n13n1.判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项去列方程若方程解为正整数，则是该数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项 数列中项的判定 已知数列的通项公式为 an4n23n.(1)写出数列的第 4 项和第 6 项；(2)试问 110和1627是不是它的项，如果是，是第几项？例3【思路点拨】由通项公式求第n项，只
11、需把n的值代入即可；判断一个数是不是数列的项,代入通项公式，解得n的值，看是否nN.【解】(1)a44423417，a646236 227.(2)令4n23n 110，则 n23n400，解得 n5 或 n8，由 nN，故 n8 舍去所以 110是数列的第 5 项令4n23n1627，则 4n212n270，解得 n32或 n92，由 nN，所以1627不是此数列中的项【名师点评】判断某数值是否为该数列的项就是解方程，判定方程的解是否为正整数.互动探究 若本例条件不变，则(1)求该数列中的整数项；(2)当n为何值时，an有最大值？并求出这个最大值解：(1)由4n23nK(其中 KN)，得 n2
12、3n4K4，nN，n1.(2)因为 an4n23n4n32294可知对称轴方程为 n32，又因 nN，故 n1 时，an 有最大值为412311.方法感悟 1已知数列的通项公式求指定的项，只要把项的序数代入通项公式计算即可，要判断一个数是否为数列的项，只要把这个数代入通项公式中，然后求出n值，若n为自然数，则该数为数列中的一项，否则就不是数列的项2根据所给数列的前几项写其通项公式时，常用的方法包括观察分析法、待定系数法、特殊数列法、归纳递推法等 3通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值an.4不是所有的数列都能写出它的通项公式，对于同一个数列的通项公式的表达形式不一定是唯一的