1、江苏省扬州中学2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）A. 任意一个无理数，它的平方不是有理数B. 任意一个无理数，它的平方是有理数C. 存在一个无理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数3. 将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数（ ）A. B. C. D. 4. 函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（）A. B. C.
2、 D. 5. 已知函数为偶函数，在区间上单调递增，则满足不等式的x的解集是（ ）A. B. C. D. 6. 给出下列四个命题：若，则；若A，B，C，D是不共线四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若,，则；的充要条件是且.其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 7. 如图所示，单位圆上一定点与坐标原点重合若单位圆从原点出发沿轴正向滚动一周，则点形成的轨迹为（ ）A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，且，当且时.已知，若对恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多
3、项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）A. 函数增函数B. 函数为偶函数C. 若，则D. 若，则10. 下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 函数有最小值211. 某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为（ ）A. 元B. 元C. 元D. 元12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为关于函数有以下四个命题，其中真命题有（ ）A. 既不是奇函数也不是偶
4、函数B. C. D. 三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 求值=_.14. 若，则_15. 若函数为定义在R上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式，的解集为_.16. 已知函数，若关于的方程在上有个不相等的实数根，则实数的取值范围是_.四解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为角的始边，如果角终边与单位圆交于点，角的终边落在射线上.（1）求的值；（2）求的值.18. 已知函数，.（1）设集合，求集合A；（2）当时，求的最大值和最小值.19. 在，这两个条件中任选一个，补充到下面问题横线中，并求解
5、该问题.已知函数.（1）当时，求在上的值域；（2）若_，求实数的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.20. 如图，一个水轮半径为4米，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动1圈，当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.（1）将点P距离水面的距离z（单位：米，在水面以下，则z为负数）表示为时间t（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动1圈内，有多长时间点P位于水面上方？21. 已知函数（且），（1）判断函数的奇偶性并说明理由；（2）当，时，求证：；（3）若不等式对满足的任一个实数都成立，求实数a的取值范围22. 已知函数，其中.（1）当函数为偶函数时，求m的
6、值；（2）若，函数，是否存在实数k，使得的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；（3）设函数，若对每一个不小于3的实数，都有小于3的实数，使得成立，求实数m的取值范围.扬州中学高一年级2020-2021学年春学期开学考试高一数学（解析版）一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意知，故选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）A. 任意一个无理数，它的平方不是有理数B.
7、任意一个无理数，它的平方是有理数C. 存在一个无理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】A【解析】【分析】特称命题否定为全称命题，改量词否结论【详解】解：命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选：A3. 将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据图像平移即得解析式.详解：由题意可知，故选点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.4.
8、函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间【详解】解：函数在其定义域上单调递增，（2），（1），（2）（1）根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，故选【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题5. 已知函数为偶函数，在区间上单调递增，则满足不等式的x的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，分析可得的图象关于直线对称，结合函数的单调性可得等价于，两边平方解得的取值范围，即可得答案【详解】因为函数为偶函数，所以的图象关于直线对称，因
9、为的图象向右平移1个单位得到的图象，则的图象关于直线对称，又因为在区间，上单调递增，所以在区间上单调递减，所以的函数值越大，自变量与1的距离越大，的函数值越小，自变量与1的距离越小，所以不等式等价于，两边平方，解得，即不等式的解集为故选：A【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性6. 给出下列四个命题：若，则；若A，B，C，D是不共线的四点
10、，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若,，则；的充要条件是且.其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对于，根据向量相等的概念分析可知不正确；对于，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知正确；对于，根据向量相等的概念分析可知正确；对于，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知不正确.【详解】对于，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故错误；对于，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故正确；对于，若,，则；显然正确，故正确；对于，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“
11、”的必要不充分条件，故不正确,故选：A【点睛】关键点点睛：掌握向量相等的概念和充要条件的概念是解题关键.7. 如图所示，单位圆上一定点与坐标原点重合若单位圆从原点出发沿轴正向滚动一周，则点形成的轨迹为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析当单位圆向轴正向滚动个单位长度时的纵坐标，由此判断出点形成的轨迹.【详解】如图所示，记为圆上的三个四等分圆周的点，由题意可知：圆是逆时针滚动的，因为圆的周长为，所以，且圆上点的纵坐标最大值为，当圆逆时针滚动单位长度时，此时的相对位置互换，所以的纵坐标为，排除BCD，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题关键是通过特殊位置（向右滚动个单位长
12、度）分析对应点的纵坐标，通过排除法判断出轨迹.8. 已知是定义在上的奇函数，且，当且时.已知，若对恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由奇偶性分析条件可得在上单调递增，所以，进而得，结合角的范围解不等式即可得解.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以当且时，根据的任意性，即的任意性可判断在上单调递增，所以，若对恒成立，则，整理得，所以，由，可得，故选：A.【点睛】关键点点睛，本题解题的关键是利用，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.二多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分
13、，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）A. 函数为增函数B. 函数为偶函数C. 若，则D. 若，则【答案】AC【解析】【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由时，可得可判断C，利用展开和0比即可判断D.【详解】设幂函数将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.当时，即，所以C正确.当若时，.即成立，所以D不正确.故选：AC【点睛】关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由，化简得到，从而判断出选项D的正误，属于中档题.1
14、0. 下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 函数有最小值2【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式可判断A，B，C正确；D中等号取不到，错误【详解】对于A，因为，所以，故，当且仅当时取等号，正确；对于B，因为，易知不等式显然成立，当时，当且仅当时取等号，正确；对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，而，所以，正确；对于D，当且仅当时取等号，而，所以函数没有最小值，错误故选：ABC【点睛】本题主要考查基本不等式的理解和应用，属于基础题易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”，（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要
15、求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方11. 某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为（ ）A. 元B. 元C. 元D. 元【答案】BC【解析】【分析】设每册杂志定价为元，根据题意由，解得的范围，可得答案.详解】依题意可知，要使该杂志销售收入不少于万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为元，则发行量为万册，则该
16、杂志销售收入为万元，所以，化简得，解得，故选：BC【点睛】关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为元时的发行量是解题关键.12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为关于函数有以下四个命题，其中真命题有（ ）A. 既不是奇函数也不是偶函数B. C. D 【答案】BCD【解析】【分析】根据自变量是有理数和无理数进行讨论，可判定A、B、C，举特例根据和可判断D即可得到答案.【详解】对于A，当为有理数时，则为有理数，则当为无理数时，则为无理数，则故当时，函数为偶函数，若自变量是有理数，则也是有理数，可得，所以不是奇函数，所以A不是真命题；对于B，当是有理数时
17、， 是有理数，当是无理数时， 是无理数，所以B是真命题；对于C，若自变量是有理数，则，若自变量是无理数，则，所以C是真命题； 对于D， 当无理数，是无理数，则是无理数，则，满足，所以D是真命题.故选：BCD.【点睛】本题考查了特殊函数性质及求函数的值，关键点是理解函数的定义和性质去做判断，考查了逻辑推理，数学运算.三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 求值=_.【答案】【解析】【分析】根据指数幂和对数的运算性质可得结果.【详解】原式.故答案为：.14. 若，则_【答案】1【解析】 ,故答案为1.15. 若函数为定义在R上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式，的解集为_.【答
18、案】【解析】【分析】设，先分析出的奇偶性，然后分类讨论在上的取值情况，最后根据的奇偶性求解出在上的解集.【详解】设，因为为奇函数，为偶函数，所以，且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，因为在上单调递增，且，当时，所以，当时，所以，当时，所以，当时，所以，所以当时，若，则，又因为为奇函数，且，根据对称性可知：若，则，故答案为：.【点睛】方法点睛：已知的单调性和奇偶性，求解不等式在指定区间上的解集的常用方法：（1）分类讨论法：根据临界值采用分类讨论的方法将区间分成几段，分别考虑每一段上的正负，由此求解出不等式的解集；（2）数形结合法：根据题意作出的草图，根据图象直接写出不等式的解集.16. 已知函
19、数，若关于的方程在上有个不相等的实数根，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】数形结合，由条件得在上有个不相等的实数根，结合图象分析根的个数列不等式求解即可.【详解】作出函数图象如图所示：由，得，所以，且，若，即在上有个不相等的实数根，则 或，解得.故答案为：【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.四解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在平面直角
20、坐标系中，以轴的非负半轴为角的始边，如果角终边与单位圆交于点，角的终边落在射线上.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求出和，可得的值；（2）利用诱导公式化简后，代入的正余弦值可求得结果.【详解】（1）依题意可得，所以.（2）原式.18. 已知函数，.（1）设集合，求集合A；（2）当时，求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）由可得，利用指数函数的单调性求解指数不等式即可求得集合；（2）把变形，再由的范围求得的范围，结合二次函数的性质可得答案【详解】（1）由，得，即，则，求得，；（2），当时，当时
21、，故的最大值为，最小值为【点睛】关键点点睛：解答（1）的关键是求出，解答（2）的关键是先求出，再利用配方法求解.19. 在，这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.已知函数.（1）当时，求在上的值域；（2）若_，求实数的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）时，判断该二次函数在上单调递减，在上单调递增，则可求出最小值，再求出和比较大小，其中较大的数即为最大值；（2）若选择条件，则该题为不等式的恒成立问题，可转化为；若选择条件，则该题为不等式有解的问题，可转化为.均可通过二次函数在闭区间上的最值问题
22、求解，其中需要讨论所给区间与对称轴的相对位置关系，从而判断函数的单调性求最值.【详解】解：（1）时，求在上单调递减，在上单调递增，的值域为.（2）选择条件的解析：若，则在上单调递增，；又，.若，则在上单调递减，在上单调递增，.若，则在上单调递减，又，.综上所述：.选择条件的解析：，即.或，即或.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题和有解问题，均可转化为最值问题.恒成立,恒成立，有解，有解.20. 如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动1圈，当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.（1）将点P距离水面的距离z（单位：米，在水面以下，则z为负数）表示为时
23、间t（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动1圈内，有多长时间点P位于水面上方？【答案】（1）；（2）秒.【解析】【分析】（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系，根据距离水面的高度计算出坐标，再利用三角函数表示出点坐标，将的纵坐标加即可得到关于的函数；（2）根据条件可知，解对应的不等式求解出的范围，由此确定出有多长时间点位于水面上方.【详解】（1）建立如图所示平面直角坐标系，由题意可知：，则，所以，因为水轮每分钟逆时针转动圈，所以秒可转动的角度为，所以的坐标为，且的纵坐标加上即为到水面的距离，所以；（2）因为，令，所以，所以，所以，所以在水轮转动圈内，有秒时间点P位于水面上方【点睛】关键点点睛：解答
24、本题的关键是通过建立合适平面直角坐标系结合三角函数定义求解出关于的函数，其中着重去分析点的纵坐标值得注意.21. 已知函数（且），（1）判断函数的奇偶性并说明理由；（2）当，时，求证：；（3）若不等式对满足的任一个实数都成立，求实数a的取值范围【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，计算，由此可得出结论；（2）令，利用不等式的基本性质可证得结论成立；（3）由题意得出对满足的任一实数都成立，可得出且，然后分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）函数为奇函数，理由如下：由可得，所以，
25、函数的定义域为.因为,，所以函数为奇函数；（2）证明：，令，因为，时，所以，所以；（3）由得，所以对满足的任一实数都成立，即且，即且.当时，因为在为减函数，在为减函数，所以只要且，可得，即，解得，所以；当时，因为时，所以显然成立；因为时，所以显然成立.综上所述，【点睛】思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下：（1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；（2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断与之间的关系；（3）下结论.22. 已知函数，其中.（1）当函数为偶函数时，求m的值；（2）若，函数，是否存在实数k，使得的最小值为0？若存在，求出
26、k的值，若不存在，说明理由；（3）设函数，若对每一个不小于3的实数，都有小于3的实数，使得成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由可得m的值；（2）当时，令，则，分类讨论求出的最小值，列方程即可求解；（3）将题目的条件转化为：对于任意一条直线，如果与图象中满足的部分图象有交点，则必然与的图象中满足的部分图象也有交点，分四种情况讨论即可得实数m的取值范围.【详解】（1）当函数为偶函数时，所以，解得：，经检验，符合，故；（2）当时，令，则，当即时，在上单调递增，所以，解得：，符合；当即时，无解；当即时，在上单调递减，所以，解得：，应舍去；综上，；（3），将题
27、目的条件转化为：对于任意一条直线，如果与图象中满足的部分图象有交点，则必然与的图象中满足的部分图象也有交点.当时，是单调递增的，所以当时，是单调函数，分四种情况讨论：当时，在上符号是负，而在上符号是正的，所以不满足题目的条件；当时，当时，而当时，所以也不符合条件；当时，要满足条件只需即，所以；当时，要满足条件只需即，即，令，因为在上单调递增，且，所以解得，所以，综上，实数m的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题的关键是能够将题目的条件转化为：对于任意一条直线，如果与图象中满足的部分图象有交点，则必然与的图象中满足的部分图象也有交点，结合图象就能求解出实数m的取值范围；当然再分析当情况时，需要构造函数，利用单调性求解不等式.26