1、选修45 不等式选讲第二节 不等式的证明栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.主要考查用比较法、综合法、分析法证明不等式，题型为解答题，中档难度.逻辑推理课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1比较法作差比较法与作商比较法的基本原理：(1)作差法：ab0 1 _(2)作商法：ab 2 _ab(a0，b0)ab12综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过 3 _而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法(2)分析法
2、：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的 4 _，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立这是一种 5 _的思考和证明方法推理论证充分条件执果索因3反证法先假设要证的命题 6 _，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的 7 _，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)8 _的结论，以说明假设 9 _，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法不成立推理矛盾不正确4放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地 10 _或 11 _，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更
3、为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法5柯西不等式设 a，b，c，d 均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时等号成立放大缩小常用结论1作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与 0的大小关系2用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立3利用柯西不等式、均值不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论()(2)
4、综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修 45P23T1 改编)已知 ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则 M，N 的大小关系为_解析：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为 ab0，所以 ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab
5、)(2ab)0，故 2a3b32ab2a2b.答案：MN3(选修 45P24 例 3 改编)求证：3 72 6.证明：要证 3 72 6，只需证(3 7)2(2 6)2，即证 102 21104 6，只需证 212 6，即证 2124.因为 2124 成立，故原不等式成立三、易错自纠4设 a，b(0，)，abab1，则有()Aab2(21)Bab 21Cab 21 Dab2(21)解析：选 A 由已知得 ab1abab22，故有(ab)24(ab)40，解得ab2 22 或 ab2 22(舍去)，即 ab2 22(当且仅当 ab 21 时取等号)故选 A.5设 a，b，m，nR，a2b25，m
6、anb5，则 m2n2的最小值为_解析：根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得 255(m2n2)，所以 m2n25,m2n2的最小值为 5.答案：56已知 a0，b0，c0，且 a，b，c 不全相等，求证：bca acb abc abc.证明：因为 a，b，c(0，)，所以bca acb 2bca acb 2c.同理acb abc 2a，abc bca 2b.因为 a，b，c 不全相等，所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得 2bca acb abc 2(abc)，即bca acb abc abc.课 堂 考 点 突 破2考点 比较法证明不等式|题组突破|1
7、若 ab1，证明：a1ab1b.证明：a1ab1b abbaab（ab）（ab1）ab.由 ab1，得 ab1，ab0，所以（ab）（ab1）ab0，即 a1ab1b 0，所以 a1ab1b.2设 a，b 是非负实数，求证：a2b2 ab(ab)证明：因为 a2b2 ab(ab)(a2a ab)(b2b ab)a a(a b)b b(b a)(a b)(a ab b)(a12b12)(a32b32)因为 a0，b0，所以不论 ab0，还是 0ab，都有 a12b12与 a32b32同号，所以(a12b12)(a32b32)0，所以 a2b2 ab(ab)3设不等式|2x1|1 的解集为 M.(
8、1)求集合 M；(2)若 a，bM，试比较 ab1 与 ab 的大小解：(1)由|2x1|1，得12x11，解得 0 x1，所以 Mx|0 x1(2)由(1)和 a，bM 可知 0a1，0b1，所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0.故 ab1ab.名师点津 比较法证明不等式的方法与步骤1作差比较法：作差、变形、判号、下结论2作商比较法：作商、变形、判断、下结论提醒(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法考点一 综合法证明不等式【例 1】已知函数 f(x)|x1|.(1)若xR，使不等式 f(x
9、2)f(x3)u 成立，求满足条件的实数 u 的集合 M；(2)已知 t 为集合 M 中的最大正整数，若 a1，b1，c1，(a1)(b1)(c1)t，求证：abc8.解(1)由已知得 f(x2)f(x3)|x1|x2|1，x1，2x3，1x2，则1f（x）1，1，x2，由于xR，使不等式|x1|x2|u 成立，所以 u1，即 Mu|u1(2)证明：由(1)知 t1，则(a1)(b1)(c1)1，因为 a1，b1，c1，所以 a10，b10，c10，则 a(a1)12 a10(当且仅当 a2 时等号成立)，b(b1)12 b10(当且仅当 b2 时等号成立)，c(c1)12 c10(当且仅当
10、c2 时等号成立)，则 abc8（a1）（b1）（c1）8(当且仅当 abc2 时等号成立)名师点津 综合法证明不等式的方法1综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，是证明的关键2在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件|跟踪训练|1已知函数 f(x)2|x1|x2|.(1)求 f(x)的最小值 m；(2)若 a，b，c 均为正实数，且满足 abcm，求证：b2a c2ba2c 3.解：(1)当 x1 时，f(x)2(x1)(x2)3x(3，)；当1x2 时，f(x
11、)2(x1)(x2)x43，6)；当 x2 时，f(x)2(x1)(x2)3x6，)综上，f(x)的最小值 m3.(2)证明：因为 a，b，c 均为正实数，且满足 abc3，所以b2a c2ba2c(abc)b2a a c2bb a2c c2 b2a ac2bba2c c 2(abc)，当且仅当 abc1 时，取“”，所以b2a c2ba2c abc，即b2a c2ba2c 3.考点二 分析法证明不等式【例 2】已知函数 f(x)|x1|.(1)求不等式 f(x)|2x1|1 的解集 M；(2)设 a，bM，证明：f(ab)f(a)f(b)解(1)由题意，得|x1|2x1|1，当 x1 时，不
12、等式可化为x12x2，解得 x1；当1x12时，不等式可化为 x12x2，此时不等式无解；当 x12时，不等式可化为 x12x，解得 x1.综上，Mx|x1 或 x1(2)证明：因为 f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要证 f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证 a2b22ab1a22abb2，即证 a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0.因为 a，bM，所以 a21，b21，所以(a21)(b21)0 成立，所以原不等式成立名师点津 分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a2b22ab)、
13、基本不等式abab2，a0，b0 没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆|跟踪训练|2已知 a0，b0，2cab，求证：c c2abac c2ab.证明：要证 c c2abac c2ab，即证 c2abac c2ab，即证|ac|c2ab，即证(ac)2c2ab，即证 a22acab.因为 a0，所以只要证 a2cb，即证 ab2c.由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立考点一 放缩法证明不等式【例 1】若 a，bR，求证：|ab|1|ab|a|1|a|b|1|b|.证明 当|ab|0 时，不等式显然成立当|ab
14、|0 时，由 0|ab|a|b|1|ab|1|a|b|，所以|ab|1|ab|11|ab|1111|a|b|a|b|1|a|b|a|1|a|b|b|1|a|b|a|1|a|b|1|b|.名师点津 在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧，常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如1k21k（k1），1k21k（k1），1k2k k1，1k2k k1.上面不等式中 kN*，k1.(2)利用函数的单调性(3)真分数性质“若 0ab，m0，则abambm”提醒 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度|跟踪训练|1设 n 是正整数，求证：12 1n1 1n2 12n1.证明
15、：由 2nnkn(k1，2，n)，得 12n 1nk1n.当 k1 时，12n 1n11n；当 k2 时，12n 1n21n；当 kn 时，12n 1nn1n，所以12 n2n 1n1 1n2 12nnn1.所以原不等式成立考点二 柯西不等式的应用【例 2】(1)若 x，y，z 为实数，x2y2z6，求 x2y2z2 的最小值(2)已知|x2|6x|k 恒成立求实数 k 的最大值；若实数 k 的最大值为 n，正数 a，b 满足85ab22a3bn.求 7a4b 的最小值解(1)由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2，因为 x2y2z6，所以 x2y2z24，当且仅当x
16、1y2z2时等号成立，此时 x23，y43，z43.所以 x2y2z2 的最小值为 4.(2)因为|x2|6x|k 恒成立，设 g(x)|x2|6x|，则 g(x)mink.又|x2|6x|(x2)(6x)|8，当且仅当2x6 时，g(x)min8，所以 k8，即实数 k 的最大值为 8.由知，n8，所以85ab22a3b8，即45ab12a3b4，又 a，b 均为正数，所以 7a4b14(7a4b)45ab12a3b14(5ab)(2a3b)45ab12a3b14 5ab45ab 2a3b12a3b214(21)294，当且仅当4（2a3b）5ab 5ab2a3b，即 a5b1552时，等号
17、成立，所以 7a4b 的最小值是94.名师点津 柯西不等式的常见类型及解题策略1求表达式的最值依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件2求解析式的值利用柯西不等式，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值3证明不等式注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明|跟踪训练|2已知 x，y，z 均为实数，若 xyz1，求证：3x1 3y2 3z33 3.证明：因为(3x1 3y2 3z3)2(121212)(3x13y23z3)27，所以 3x1 3y2 3z33 3，当且仅当 x23，y13，z0 时取等号3设 f(x)|x1|2|x1|的最小值为 m.(1)求 m 的值；(2)设 a，bR，a2b2m，求1a214b21的最小值解：(1)当 x1 时，f(x)3x12；当1x1 时，f(x)x32；当 x1 时，f(x)3x14，所以当 x1 时，f(x)取得最小值 m2.(2)由题意知 a2b22，a21b214，所以1a214b2114(a21)(b21)1a214b21145b21a214（a21）b2194，当且仅当b21a214（a21）b21，即 a213，b253时等号成立，所以1a214b21的最小值为94.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
