1、5.2平行关系的性质学习目标1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理2.会用线面平行、面面平行的性质定理证明相关问题3.理解“平行”与“平行”之间的转化.【主干自填】1直线与平面平行的性质2平面与平面平行的性质【即时小测】1思考下列问题(1)分别在两个平行平面的直线有什么位置关系？提示：平行或异面，因为两平面平行无公共点，所以两直线无公共点，即平行或异面(2)两个平面互相平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？提示：平行因为两平面平行所以两平面无公共点，所以其中一个平面内的直线与另一个平面无公共点，所以直线与平面平行(3)若一个平面与两
2、个平行平面同时相交，则交线有什么位置关系？提示：平行因为交线在同一平面内且无公共点所以两直线平行2已知直线l平面，直线m，则直线l和m的位置关系是()A相交 B平行C异面 D平行或异面提示：D3如下图所示，直线a平面，A，并且a和A位于平面两侧，点B，Ca，AB、AC分别交平面于点E、F，若BC4，CF5，AF3，则EF_.提示：由于点A不在直线a上，则A、B、C确定一个平面，EF.a平面，EFa.EF. 例1ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：APGH.证明连接AC交BD于O，连接MO.ABCD是平行四边
3、形，O是AC的中点又M是PC的中点，APOM.根据直线和平面平行的判定定理，则有PA平面BMD.平面PAHG平面BMDGH，根据直线和平面平行的性质定理，PAGH.已知：ab，a，b，l，求证：abl.证明如图所示，ab，b，a，又a，l，al，又ab，abl.例2已知，A，C，B，D，直线AB与CD交于点S，且SA8，SB9，CD34，求当S在，之间时SC的长解如图所示AB与CD相交于S，AB，CD可确定平面，且AC，BD.，ACBD，即，解得SC16.类题通法由面面平行得到线线平行，进而由成比例线段得解，体现了立体几何与平面几何间的转化关系.另外，面面平行还有许多性质，如要证明线面平行，可
4、先证面面平行，再由性质证得.如图，平面，线段AB分别交，于M，N，线段AD分别交，于C，D，线段BF分别交，于F，E.若AM9，MN11，NB15，SFMC78.求END的面积解平面，又平面AND平面MC，平面AND平面ND，MCND，同理ENFM.又AM9，MN11，NB15，又FMCEND，SFMC78，END的面积SEND100.例3如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD平面PBCl.(1)求证：lBC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论解解法一：(1)证明：因为BCAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因为B
5、C平面PBC，平面PBC平面PADl，所以BCl.(2)平行取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NEAM且NEAM.可知四边形AMNE为平行四边形所以MNAE，MN平面APD，AE平面APD，所以MN平面APD.解法二：(1)证明：由ADBC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC.又因为AD平面PAD，平面PBC平面PADl，所以lADBC.(2)设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQAD.又MQ平面PAD，AD平面PAD，所以MQ平面PAD.同理，由NQPD，可得NQ平面PAD，而MQNQQ，所以平面MNQ平面PAD.又MN平面MNQ，所以MN平面PAD.类题通法在空间平
6、行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：在长方体ABCDA1B1C1D1中，点M是BC的中点，点N是AA1的中点求证：MN平面A1CD.证明设点P为AD的中点，连接MP，NP.点M是BC的中点，MPCD.CD平面A1CD，MP平面A1CD，MP平面A1CD.点N是AA1的中点，NPA1D.A1D平面A1CD，NP平面A1CD，NP平面A1CD.MPNPP，MP平面MNP，NP平面MNP，平面MNP平面A1CD.MN平面MNP，MN平面A1CD.易错点线面之间平行关系转化不当致错典例如右图所示，平面平面，AC与BD为异面直线，且AC，BD，M，N分别为AB，CD的中点，求证：M
7、N平面.错解错解一：，AC，AC.又BD，ACBD.M，N分别为AB，CD的中点，MNBD.MN，BD，MN平面.错解二：连接BC，取BC的中点P，连接MP，NP，如下图所示在ABC中，M，P分别是AB，BC的中点，MPAC.MP平面，AC，MP平面.同理，PN平面.，MP平面.又PNMPP，平面MPN平面，而MN平面MPN，MN平面.错因分析错解一中，由AC平面得不到AC与平面内的所有直线平行因此，由AC平面，BD平面得不到ACBD.这是对线面平行的性质定理理解不透彻所致而且若ACBD，则A，B，C，D四点共面，与已知条件中AC，BD异面矛盾错解二中，“，MP平面，MP平面”这一步是没有依据
8、的，尽管当MP时结论成立，但仍需要证明正解ABACA，AB，AC确定一个平面，设该平面为，则AC.BAB，AB，B，B是与的公共点，于是可设BE，如图所示连接CE，DE，取CE的中点P，连接MP，PN.，AC，BE，ACBE.又M，P分别为AB，CE的中点，MPBE.BE，MP，MP.在CED中，P，N分别为CE，CD的中点，PNDE.又PN，DE，PN.又MPPNP，平面MNP平面.MN平面MNP，MN平面.课堂小结1.三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证得判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅
9、助面往往是沟通已知和未知的有效手段.1如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直线a，b上，那么正确的结论是()A直线AC与BD可能相交B直线AD与BC可能相交CAC与BD，AD与BC都是异面直线DAC与BD，AD与BC不一定都是异面直线答案C解析本题适合用反证法：假设AC与BD共面，不妨设该平面为，则A，B，C，D.因为相异点A、B和相异点C、D分别是在异面直线a，b上，所以a，b，这与已知a，b是异面直线矛盾，所以假设不成立，即得AC与BD是异面直线；同理可证AD与BC也是异面直线2直线a平面，内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A至少有一条 B至多有一条C有且只有一条 D没有答案B解析因为n条直线交于一点，所以这n条直线肯定不平行，因此至多有一条直线与a平行3已知直线l平面，P，那么过点P且平行于l的直线()A只有一条，不在平面内B只有一条，在平面内C有两条，不一定都在平面内D有无数条，不一定都在平面内答案B解析如图所示，l平面，P，直线l与点P确定一个平面，m，Pm，lm且m是唯一的4过两平行平面，外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交于A，C两点，交于B，D两点，若PA6，AC9，PB8，则BD的长为_答案12解析两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面，的交线ACBD，所以，又PA6，AC9，PB8，故BD12.