1、湖北省2013届高三最新文科数学（精选试题17套+2007-2012六年湖北高考文科试题）分类汇编14：导数一、选择题1 （湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（文）试题）若函数在区间内单调递增,则a的取值范围是（）ABCD.【答案】B 2 （湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（）数学（文）试题）已知函数f(x)在R上可导,下列四个选项中正确的是（）A若f(x)f(x)对xR恒成立,则ef(1)f(2) B若f(x)f(1) C若f(x)+f(x)0对xR恒成立,则ef(2)f(1) D若f(x)+f(x)f(1) 【答案】D 3 （湖北省八校2013届高三第二次联考数学（文）试题）
2、定义:曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离;已知曲线到直线的距离等于,则实数的值为（）ABCD 【答案】D 4 （湖北省八市2013届高三3月联考数学（文）试题）设,函数的导函数是,且是奇函数,则的值为（）ABCD【答案】C 二、填空题5 （2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-湖北卷）已知函数的图象在点处的切线方程是,则_.【答案】3 三、解答题6 （湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（文）试题 ）济南市“两会”召开前,某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研.据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与
3、到污染源的距离成反比,比例常数为k(k0).现已知相距36 km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km).() 试将y表示为x的函数; () 若a=1时,y在x=6处取得最小值,试求b的值.【答案】解:() 设点C受A污染源污染指数为,点C受B污染源污染指数为,其中k为比例系数,且k0 从而点C处污染指数 () 因为a=1,所以, y=, 令y=0,得, 当x时,函数单调递减;当x时,函数单调递增. 当时,函数取得最小值 又此时x=6,解得b=25,经验证符合题意. 所以,污染源B的污染强度b
4、的值为25 7 （湖北省重点高中2013届高三五月模拟考试文科数学WORD版 ）已知函数.()求证:函数在区间上存在唯一的极值点,并用二分法求函数取得极值时相应的近似值(误差不超过);(参考数据,)()当时,若关于的不等式恒成立,试求实数的取值范围.【答案】解:(), , 令 ,则, 在区间上单调递增, 在区间上存在唯一零点, 在区间上存在唯一的极小值点 取区间作为起始区间,用二分法逐次计算如下: ,而, 极值点所在区间是; 又, 极值点所在区间是; , 区间内任意一点即为所求 ()由,得, , , 令 ,则, , , 在上单调递增, , 的取值范围是 8 （湖北省黄冈市2013届高三4月调研
5、考试数学（文）试题）已知函数(1)求时,取得极值,求a的值;(2)求在0,1上的最小值;(3)若对任意直线都不是曲线的切线,求a的取值范围.【答案】 (III)因为,直线都不是曲线的切线, 所以对成立, 只要的最小值大于即可, 而的最小值为 所以,即 9 （湖北省黄冈市2013届高三数学（文科）综合训练题 ）已知函数处取得极小值-4,若的取值范围为(1,3).()求的解析式及的极大值;()当的图像恒在的图象 的下方,求m的取值范围.【答案】解:()由题意知, 因此处取得极小值-4,在x=3处取得极大值. 则 ()由题意得,当,即 ,在2,3上是增函数, ,解得,的取值范围为. 10（2008年
6、普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-湖北卷）已知函数(m为常数,且m0)有极大值9.()求m的值;()若斜率为-5的直线是曲线的切线,求此直线方程.【答案】解:() f(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则x=-m或x=m, 当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:x(-, -m)-m(-m,)(,+)f(x)+0-0+f (x)极大值极小值从而可知,当x=-m时,函数f(x)取得极大值9, 即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,m=2. ()由()知,f(x)=x3+2x2-4x+1, 依题意知f(x)=3x2+4x-4=-5,x=-1或x=-.
7、 又f(-1)=6,f(-)=, 所以切线方程为y-6=-5(x+1), 或y-=-5(x+), 即5x+y-1=0,或135x+27y-23=0. 11（湖北省八校2013届高三第二次联考数学（文）试题）已知函数,其中是常数且. ()若时,在区间上单调递增,求的取值范围;()当时,讨论的单调性;()设是正整数,证明:【答案】解() ,故,. 当时,是增函数,在时恒成立 即在时恒成立.当时,是减函数, 当时, (II) ,故 ,所以 当时,故的减区间为, 增区间为 当时,故的减区间为, 增区间为 () 由()知,当时,在是增函数. 即, , 即 12（湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试
8、数学(文)试题）已知函数有极小值.()求实数的值;()若,且对任意恒成立,求的最大值;()当时,证明:.【答案】答案:(), 令,令 故的极小值为,得 ()当时,令, 令,故在上是增函数 由于, 存在,使得. 则,知为减函数;,知为增函数. 又 ,所以=3 ()要证即证 即证 ,令,得 令 为增函数, 又 ,所以 是增函数,又 = 13（2012年湖北高考试题（文数）设函数,为正整数,a,b为常数. 曲线在 处的切线方程为.()求a,b的值;()求函数的最大值;()证明:.【答案】解:()因为,由点在上,可得,即. 因为,所以. 又因为切线的斜率为,所以,即. 故,. ()由()知,. 令,解
9、得,即在上有唯一零点. 在上,故单调递增; 而在上,单调递减. 故在上的最大值为. ()令,则. 在上,故单调递减; 而在上,单调递增. 故在上的最小值为. 所以, 即. 令,得,即, 所以,即. 由()知,故所证不等式成立. 14（2009年全国高考文科数学试题及答案-湖北卷）已知关于x的函数,其导函数为.令,记函数在区间-1、1上的最大值为.()如果函数f(x)在x=1处有极值-,试确定b、c的值;()若b1,证明对任意的c,都有M2;()若对任意的b、c恒成立,试求k的最大值【答案】()解:,由在处有极值 可得 解得或 若,则,此时没有极值; 若,则 当变化时,的变化情况如下表:10+0
10、极小值极大值当时,有极大值,故,即为所求. ()证法1: 当时,函数的对称轴位于区间之外. 在上的最值在两端点处取得 故应是和中较大的一个 即 证法2(反证法):因为,所以函数的对称轴位于区间之外, 在上的最值在两端点处取得. 故应是和中较大的一个 假设,则 将上述两式相加得: ,导致矛盾, ()解法1: (1)当时,由()可知; (2)当时,函数)的对称轴位于区间内, 此时 由有 若则, 于是 若,则 于是 综上,对任意的、都有 而当时,在区间上的最大值 故对任意的、恒成立的的最大值为. 解法2: (1)当时,由()可知; (2)当时,函数的对称轴位于区间内, 此时 ,即 下同解法1 15（
11、湖北省浠水一中2013届高三模拟考试文科数学试卷）已知函数,在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)若对于区间上任意两个自变量的值,都有,求实数的最小值;(3)若过点,可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.【答案】(1) 根据题意,得 即 解得 (2)令,解得 , 时, 则对于区间-2,2上任意两个自变量的值,都有 所以所以的最小值为4. (3)设切点为 , 切线的斜率为 则 即, 因为过点,可作曲线的三条切线 所以方程有三个不同的实数解 即函数有三个不同的零点, 则 令0(0,2)2(2,+)+00+极大值极小值 即, 16（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学文试题（二）（w
12、ord版） ）已知函数.f(x)= (k为常数,e =2. 71828是自然对数的底数),曲线y =f(x)在点(1,f(l)处的切线与x轴平行.(I)求k的值;(II)求f(x)的单调区间;(III)设g(x)=x,其中为f(x)的导函数.证明:对任意x0,g(x) 1 + e-2.【答案】 17（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（文）试题）设函数f(x)=x2-2x+1+alnx有两个极值点x1,x2,且x10)关于a 可线性分解,求a 的范围;(3)在(2)的条件下,当a 取最小整数时,求g(x)的单调区间,并证明不等式:(n!)2e n(n-1)(nN*).【答案】
13、(1)解:函数f (x) = 2x + x2关于1可线性分解 令h (x) = f (x + 1)-f (x)-f (1) = 2x + 1 + (x + 1)2-2x-x2-2-1 即h (x) = 2(2x-1 + x-1) h (0) = 1,h (1) = 2,且h (x)在-1,2是连续的 h (x) 在(-1,2)上至少存在一个零点 即存在x0(-1,2),使f (x0 + 1) = f (x0) + f (1) 另解:函数f (x) = 2x + x2关于1可线性分解 由f (x + 1) = f (x) + f (1)得: 即 作函数与h (x) = -2x + 2的图象 由图
14、象可以看出,存在x0R,使,即f (x + 1) = f (x) + f (1)成立 (2)解:g (x)的定义域为(0,+) 由已知,存在x0 0,使g (x0 + a) = g (x0) + g (a) 即 整理得:,即 由且a 0得: a的范围是 (3)解:由(2)知,a = 1, 当x(0,1)时,g (x)的单调递增区间是(0,1) 当x(1,+)时,g (x)的单调递减区间是(1,+) 因此x(0,+)时,g (x)g (1),即, 由此得: 相加得: 即 , Z 19（湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（文）试题(试题与答案纯WORD版)）已知aR,函数,(其中e为自然对
15、数的底数).(1)判断函数f(x)在上的单调性;(2)是否存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(3)若实数满足,求证:.【答案】解(1), 若,则,在上单调递增; 若,当时,函数在区间上单调递减, 当时,函数在区间上单调递增, 若,则,函数在区间上单调递减 (2)解:, , 由(1)易知,当时,在上的最小值:,即时, 又, 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解. 而,即方程无实数解.故不存在 (3)证明: ,由(2)知,令得 故原不等式成立. 20（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学文试题（三）（word版） ）设函数.f(x)=x-a
16、lnx(aR)(I)讨论函数f(x)的单调性;(II)若f(x)有两个极值点x1,x2而,记过点A(x1 ,f(x1) ,B(x2 ,f(x2)的直线斜率为k. 问:是否存在a,使得k =2-a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.【答案】 21（湖北省七市2013届高三4月联考数学（文）试题）已知函数f(x)=ax3 + x2 - ax (且a).(I)若函数f(x)在-,-1)和(,+)上是增函数在()上 是减函数,求a的值;(II)讨论函数的单调递减区间;(III)如果存在,使函数h(x)=f(x)+ ,x (b - 1),在x = -1处取得最小值,试求b的最大值.2013年七市
17、联考数学试题(文史类)(B卷)【答案】解:() 函数在和上是增函数,在上是减函数, 为的两个极值点,即 解得: (),的定义域为, 当时,由解得,的单调减区间为 当时,由解得,的单调减区间为 (),据题意知在区间上恒成立,即 当时,不等式成立; 当时,不等式可化为 令,由于二次函数的图象是开口向下的抛物线,故它在闭区间上的最小值必在端点处取得,又,所以不等式恒成立的充要条件是,即 即,因为这个关于的不等式在区间上有解,所以 又,故, 22（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（文）试题）已知函数.()若曲线在点处的切线与直线垂直,求实数的值.()若,求的最小值;()在()上求证:.【答
18、案】解:()的定义域为,根据题意有, 所以解得或 () 当时,因为,由得,解得, 由得,解得, 所以函数在上单调递减,在上单调递增; ()由(2)知,当a0, 的最小值为 令 当 . 23（2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-湖北卷）某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值(单位:元,)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.(I)将一个星期的商品销售利润表示成的函数;(II)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?【答案】解:()设商品降价元,则多卖的商品数为,若记
19、商品在一个星期的获利为, 则依题意有, 又由已知条件,于是有, 所以. ()根据(),我们有.21200极小极大故时,达到极大值.因为,所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大. 24（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（）数学（文）试题）已知f(x)=. (1)当a0时,求函数f(x)的最小值; (2)当a=1时,是否存在过点(1,-1)的直线与函数y=f(x)的图像相切?若存在,有多少条?若不存在,说明理由; (3)求证:对任意正整数n均有.【答案】 25（2010年高考（湖北文）设函数其中.曲线在点处的切线方程为.(1)确定的值(2)设曲线在点处的切线都过点(0,2).证明:当时,
20、;(3)若过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,求a的取值范围【答案】本小题主要考查函数的单调性、极值、导数等基本知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力.解:(I)由 又由曲线处的切线方程为y=1,得 故 (II)处的切线方程为 ,而点(0,2)在切线上,所以,化简得 下面用反证法证明 假设处的切线都过点(0,2),则下列等式成立. 由(3)得 (III)由(II)知,过点(0,2)可作的三条切线,等价于方程 有三个相异的实根,即等价于方程有三个相异的实根. 故有0+0-0+极大值1极小值由 的单调性知:要使有三个相异的实根,当且仅当0,. 的取值范围是 26（湖北省天门市2013届
21、高三模拟测试（一）数学文试题 ）已知函数,.()求函数的极值;()判断函数在区间上零点的个数,并给予证明;【答案】(), , 当时,;当 时,. 当时,取得极小值,无极大值. ()函数在区间上有且只有一个零点. 证明如下: , , , 函数在区间上必定存在零点. ,当时, 在区间上单调递增, 函数在区间上的零点最多一个. 综上知:函数在区间上存在唯一零点. 27（湖北省八市2013届高三3月联考数学（文）试题）已知函数,其中()求在上的单调区间;()求在(为自然对数的底数)上的最大值;(III)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点、,使得是以原点为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴
22、上?2013年湖北省八市高三三月联【答案】()因为 当时, 解得到;解得到或.所以在上的单调减区间为, :单调增区间为 ()当时,由()知在和上单调递减,在上单调递增,从而在处取得极大值. 又,所以在上的最大值为2 当时,当时,在上单调递增,所以在上的最大值为.所以当时,在上的最大值为;当时,在上的最大值为2 ()假设曲线上存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,则只能在轴的两侧,不妨设,则,且 因为是以为直角顶点的直角三角形,所以, 即:(1) 是否存在点等价于方程(1)是否有解. 若,则,代入方程(1)得:,此方程无解 若,则,代入方程(1)得到: 设,则在上恒成立.所以在上单调递增,从而,即有的值域为(不需证明),所以当时,方程有解,即方程(1)有解. 所以,对任意给定的正实数,曲线上存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上
