1、四川省南充高级中学2021届高三数学上学期第四次月考试题 理第卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1已知集合，则 A B C D2已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为 A B1 C D 23某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力46810识图能力3568 由表中数据，求得线性回归方程为，若儿童的记忆能力为12，则他的识图能力 约为 A9.2 B9.5 C9.8 D104我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔 离分家万事休. 在数
2、学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的 解析式来琢磨函数的图像的特征，如函数的图像大致是 A B C D5某企业为了提高办公效率决定购买一批打印机，现有甲、乙、丙、丁四个牌子的打印机可供 选择，公司决定从四个牌子中随机选两个购买，则甲牌打印机被选中的概率为 A. B. C. D. 6已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积为 A. B. C. D. 7已知函数的最小值为2，则的取值范围是 A B C D8. 已知锐角，满足，且，则 A1 B C D29. 平面向量与共线，则的最小值为 A. B. C. D. 10. 已知的外接圆圆的半径为，则 A. B1 C
3、4 D211. 已知数列的首项，为奇函数，记为数列 的前项和，则 A. B1011 C1008 D33612. 若函数，若有两个零点，则的取值范围为 A. B. C. D. 第卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 用反证法证明命题“已知，若，则或”时，应假设 . 14. 已知为坐标原点，点，点是满足的平面区域上的一动点， 则的取值范围是 .15. 的展开式中常数项为 .16. 已知实数，满足，则的最大值为 .三、解答题：共70分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23为选考题，考生根据
4、要求作答.（一）必考题：共60分.17. （12分）已知函数（其中）的最小正周期为.（1） 求的值；（2）将函数的图像上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图像，当时，求的取值范围.18. （12分）如图，是半圆的直径，点在半圆上，三棱锥中，点是线段上靠近点的三等分点.（1） 求证：平面；（2） 求直线与平面所成角的正弦值.19. （12分）已知正项数列的前项和为，（1） 计算，猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明数列的通项公式；（3）证明不等式对任意恒成立.20. （12分）已知椭圆的离心率为，椭圆上某点到两焦点的距离之和为4.（1） 求椭圆的标准方程；（2）记点，斜率为的直
5、线（不过点）与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.21. （12分）已知（1）当时，求函数的单调区间；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；（3）令，存在，且，求实数的取值范围（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.22. （10分）选修44：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，且过点，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1） 求抛物线和直线的直角坐标方程；（2） 已知点，直线与抛物线交于，两点，求.23. （10分）
6、选修45：不等式选讲已知函数的最大值为3，其中.（1） 求；（2） 若对所有满足的实数，都成立，证明：或.南充高中高2018级第四次月考（理科答案）（2） 选择题：ABBDB CDACD BA（3） 填空题：且 14. 15. 40 16. （4） 解答题22. （每小题各6分）解：（1）则 （3） 由（1）知，则 当时， 23. （第（1）小题4分，第（2）小题8分）解：（1）证明：是半圆的直径，则 又，则在中， 又，故平面，从而又，故平面 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，点是线段上靠近点的三等分点则设是平面的一个法向量，则，令得设直线与平面所成的角为，则24. （每小题各4分）解：
7、（1）由已知， ， 令得：令得： ，令得：由此猜想（2）由（1）知时，成立 假设有则时，即则时成立，故（4） 成立当时，故对任意恒成立.25. （第（1）小题4分），第（2）小题8分）解：（1）由已知，又，则 故椭圆的标准方程为（2） 设，直线，带入椭圆的方程消去得则，且若，则即，整理得满足 则直线恒过定点26. （每小题各4分）解：（1）当时，则当时，时，在上单调递减，在上单调递增，故则函数的单调递增区间是，无单调递减区间.（2）当时，在上单调递增，满足题意当时，在上单调递增，则（不连续等于0）恒成立当时，则在上单调递减而，当时，不合题意当时，在上单调递减，在上单调递增要使（不连续等于0）恒
8、成立，只需，则综上，实数的取值范围是（3） 由（2）知，又，则令，即方程在上有解.解法一：令，则，当时，在上单调递减，又，不合题意当时，当时，；当时，；则时，而令，则，在单调递减，在单调递减，则，即故存在，使得，故满足题意. 综上，的取值范围是解法二：（分离变量洛必达法则），令，则令，则在上单调递增，则在上单调递增，由洛必达法则有，故的取值范围是27. （每小题各5分）解：（1）由已知设抛物线的标准方程为，根据抛物线过点有 故抛物线的直角坐标方程为由直线的极坐标方程得即直线的直角坐标方程为（2） 点在直线上，设直线的参数方程为（为参数），代入得，设，两点所对应的参数分别为，则，则28. （每小题各5分）解：（1） （2）根据基本不等式，有则（当且仅当时等号成立）又，故即或