1、第九章 解析几何第八节 直线与圆锥曲线的综合问题第3课时 圆锥曲线中的定点和定值问题栏目导航12课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 堂 考 点 突 破1考点一 定点问题 命题角度一 直线过定点问题【例 1】已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点 A(1，2)为抛物线 C上一点(1)求抛物线 C 的方程；(2)若点 B(1，2)在抛物线 C 上，过点 B 作抛物线 C 的两条弦 BP 与 BQ，若 kBPkBQ2，求证：直线 PQ 过定点解(1)若抛物线的焦点在 x 轴上，设抛物线方程为 y2ax(a0)，代入点 A(1，2)，可得 a4，所以抛物线方程为 y24x.若抛物
2、线的焦点在 y 轴上，设抛物线方程为 x2my(m0)，代入点 A(1，2)，可得 m12，所以抛物线方程为 x212y.综上所述，抛物线 C 的方程是 y24x 或 x212y.(2)证明：因为点 B(1，2)在抛物线 C 上，所以由(1)可得抛物线 C 的方程是 y24x.易知直线 BP，BQ 的斜率均存在，设直线 BP 的方程为 y2k(x1)，将直线 BP 的方程代入 y24x，消去 y，得 k2x2(2k24k4)x(k2)20.设 P(x1，y1)，则 x1（k2）2k2，所以 P（k2）2k2，2k4k.用2k替换点 P 坐标中的 k，可得 Q(k1)2，22k)，从而直线 PQ
3、 的斜率为2k4k22k（k2）2k2（k1）22k34kk42k34k42k（k22）（4k4）2k（k22）2kk22k2，故直线 PQ 的方程是 y22k2kk22k2x(k1)22kk22k2(k22k1x)在上述方程中，令 x3，恒有 y2，所以直线 PQ 恒过定点(3，2)命题角度二 曲线过定点问题【例 2】已知 A(2，0)，B(2，0)，点 C 是动点，且直线 AC 和直线 BC 的斜率之积为34.(1)求动点 C 的轨迹方程；(2)(一题多解)设直线 l 与(1)中轨迹相切于点 P，与直线 x4 相交于点 Q，判断以 PQ为直径的圆是否过 x 轴上一定点解(1)设 C(x，y
4、)由题意得 kACkBC34.A(2，0)，B(2，0)，yx2 yx234(y0)整理得x24y231(y0)故动点 C 的轨迹方程为x24y231(y0)(2)解法一：设直线 l：ykxm.联立得方程组ykxm，x24y231，消去 y 并整理，得(34k2)x28kmx4m2120.依题意得(8km)24(34k2)(4m212)0，即 34k2m2.设 x1，x2 为方程(34k2)x28kmx4m2120 的两个相等实根，则 x1x28km34k2，x1x24km34k2.P4km34k2，3m34k2，即 P4km，3m.又 Q(4，4km)，设 R(t，0)为以 PQ 为直径的圆
5、上一点，则由RPRQ 0，得4kmt，3m(4t，4km)0.整理得4km(t1)t24t30.由km的任意性，得 t10 且 t24t30，解得 t1.综上可知，以 PQ 为直径的圆过 x 轴上一定点(1，0)解法二：设 P(x0，y0)，则曲线 C 在点 P 处的切线 PQ：x0 x4 y0y3 1.令 x4，得 Q4，33x0y0.设 R(t，0)为以 PQ 为直径的圆上一点，则由RPRQ 0，得(x0t)(4t)33x00，即 x0(1t)t24t30.由 x0 的任意性，得 1t0 且 t24t30，解得 t1.综上可知，以 PQ 为直径的圆过 x 轴上一定点(1，0)名师点津 圆锥
6、曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关|跟踪训练|1设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x22y21 上，过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP 2 NM.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x3 上，且OP PQ 1，证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l过椭圆 C 的左焦点 F.解：(1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0，0)，NP(xx0，y)，NM(0，y0)，
7、由NP 2 NM，得 x0 x，y0 22 y，因为 M(x0，y0)在椭圆 C 上，所以x22y221，因此点 P 的轨迹方程为 x2y22.(2)证明：由题意知 F(1，0)，设 Q(3，t)，P(m，n)，则OQ(3，t)，PF(1m，n)，所以OQ PF33mtn，OP(m，n)，PQ(3m，tn)，由OP PQ 1，得3mm2tnn21，又由(1)知 m2n22，故 33mtn0.所以OQ PF0，即OQ PF.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F.第九章解析几何返回导航高考总复习 数学(文科)2(2019 届成都市
8、第一次诊断性检测)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F(3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设不经过点 B(0，1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，若点 B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线 l 过定点，并求出该定点的坐标解：(1)由题意得，c 3，ab2，a2b2c2，所以 a2，b1，所以椭圆 C 的标准方程为x24y21.(2)证明：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立ykxm，x24y24，消去 y 可得(4k21)x28kmx4m240
9、.所以 16(4k21m2)0，x1x28km4k21，x1x24m244k21.因为点 B 在以线段 MN 为直径的圆上，所以BM BN0.即BM BN(x1，kx1m1)(x2，kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20，所以(k21)4m244k21k(m1)8km4k21(m1)20，整理，得 5m22m30，解得 m35或 m1(舍去)所以直线 l 的方程为 ykx35.易知当直线 l 的斜率不存在时，不符合题意故直线 l 过定点，且该定点的坐标为0，35.考点二 定值问题【例 3】已知抛物线 C：y22px 经过点 P(1，2)，过点 Q(0，1)的直线 l
10、与抛物线C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N.(1)求直线 l 的斜率的取值范围；(2)设 O 为原点，QM QO，QN QO，求证：1 1 为定值解(1)因为抛物线 y22px 经过点(1，2)，所以 2p4，即 p2.故抛物线 C 的方程为 y24x.由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0.设直线 l 的方程为 ykx1(k0)，由y24x，ykx1，得 k2x2(2k4)x10.依题意得(2k4)24k210，解得 k0 或 0k0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物线两交点间的距离为 2.(1)求抛物线 C 的方程；(2)
11、若点 P(2，2)，过点(2，4)的直线 m 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，设直线 PA与 PB 的斜率分别为 k1 和 k2.求证：k1k2 为定值，并求出此定值解：(1)由题意可知，2p2，解得 p1，则抛物线的方程为 x22y.(2)证明：由题易知直线 m 的斜率存在，设直线 m 的方程为 y4k(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 k1y12x12k（x12）2x12，k2y22x22k（x22）2x22，k1k2k（x12）2k（x22）2（x12）（x22）k2x1x22（x1x2）42k（x1x24）4x1x22（x1x2）4，联立抛物线 x22y 与直线 y4k(x2)的方程消去 y，得 x22kx4k80，则 x1x22k，x1x24k8，代入 k1k2，得 k1k21.因此 k1k2 为定值，且该定值为1.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测2谢 谢 观 看 THANKS