1、2015-2016学年四川省南充高中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共16个小题，每小题4分，共64分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z=，则z的共轭复数是（）A1iB1+iCiDi2设集合A=2，0，2，4，B=x|x22x30，则AB=（）A0B2C0，2D0，2，43下列函数是奇函数的是（）Af（x）=|x|Bf（x）=2x+2xCf（x）=lg（1+x）lg（1x）Df（x）=x314函数f（x）=ln（x2+2）的图象大致是（）ABCD5设a0，将表示成分数指数幂，其结果是（）ABCD6函数f（x）=2x+x3的零点所在区间为（）A（0
2、，1）B（1，0）C（1，2）D（2，l）7 dx=（）Aln2+Bln2Cln2Dln28已知f（n）=+，则（）Af（n）中共有n项，当n=2时，f（2）=+Bf（n）中共有n+1项，当n=2时，f（2）=+Cf（n）中共有n2n项，当n=2时，f（2）=+Df（n）中共有n2n+1项，当n=2时，f（2）=+9一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（）种不同的坐法A7200B3600C2400D120010若函数f（x）=x2lnx（x0）的极值点为，函数g（x）=xlnx2（x0）的极值点为，则有（）ABC=D与的大小不确定11已知函数f（x）=x42x3+3m，xR，若
3、f（x）+90恒成立，则实数m的取值范围是（）AmBmCmDm12如图，阴影部分的面积是（）A2B2CD13用数学归纳法证明不等式“+（n2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A增加了一项B增加了两项C增加了两项，又减少了一项D增加了一项，又减少了一项14对于函数f（x）=x33x2，给出下列四个命题：f（x）是增函数，无极值；f（x）是减函数，有极值；f（x）在区间（，0及2，+）上是增函数；f（x）有极大值为0，极小值4；其中正确命题的个数为（）A1B2C3D415如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）ABCD16当x2，1
4、时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是（）A5，3B6，C6，2D4，3二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）17计算（4A84+2A85）（A86A95）0！=18若复数z=（a22a）+（a2a2）i为纯虚数，则实数a的值等于19函数f（x）=x33x+1在闭区间3，0上的最大值为；最小值为20若函数f（x）=在区中（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21求值：2log2lg2lg5+22设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f（x），若函数y=f（
5、x）的图象关于直线x=对称，且f（1）=0（）求实数a，b的值（）求函数f（x）的极值23对于函数f（x）=a（aR）（1）探索并证明函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若有，求出实数a的值，并证明你的结论；若没有，说明理由24设t0，点P（t，0）是函数f（x）=x3+ax与g（x）=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线（）用t表示a，b，c；（）若函数y=f（x）g（x）在（1，3）上单调递减，求t的取值范围25如图，设铁路AB长为80，BCAB，且BC=10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离
6、的铁路运费为2，公路运费为4（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小？26已知函数f（x）=x24x+a+3，g（x）=mx+52m（）若y=f（x）在1，1上存在零点，求实数a的取值范围；（）当a=0时，若对任意的x11，4，总存在x21，4，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围2015-2016学年四川省南充高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共16个小题，每小题4分，共64分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z=，则z的共轭复数是（）A1iB1+iCiDi【考点】复数代数形式的乘除运算；复数
7、的基本概念【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，bR）的形式，即可得到选项【解答】解：复数z=所以它的共轭复数为：1i故选A2设集合A=2，0，2，4，B=x|x22x30，则AB=（）A0B2C0，2D0，2，4【考点】交集及其运算【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由B中的不等式变形得：（x3）（x+1）0，解得：1x3，即B=（1，3），A=2，0，2，4，AB=0，2故选：C3下列函数是奇函数的是（）Af（x）=|x|Bf（x）=2x+2xCf（x）=lg（1+x）lg（1x）Df（x）=x31【考点】函数奇偶性的判断【分析】根
8、据函数奇偶性的定义即可得到结论【解答】解：f（x）=|x|=|x|=f（x），故A是偶函数f（x）=2x+2x=f（x），故B是偶函数f（x）=lg（1x）lg（1+x）=lg（1+x）lg（1x）=f（x），故C是奇函数f（x）=x31f（x），故D不是奇函数故选：C4函数f（x）=ln（x2+2）的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】研究函数性质，选择与之匹配的选项【解答】解：因为定义域为R，且f（x）=f（x），所以函数为偶函数，排除C项；又f（0）=ln20，排除A、B两项；只有D项与之相符故选：D5设a0，将表示成分数指数幂，其结果是（）ABCD【考点】根式与分数指数幂的
9、互化及其化简运算【分析】由根式与分数指数幂的互化规则所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项【解答】解：由题意=故选C6函数f（x）=2x+x3的零点所在区间为（）A（0，1）B（1，0）C（1，2）D（2，l）【考点】二分法求方程的近似解【分析】由函数的解析式求得f（1）f（0）0，根据函数零点的判定定理，可得f（x）=2x+x3的零点所在区间【解答】解：连续函数f（x）=2x+x3，f（1）=1=，f（0）=1+0=1，f（1）f（0）=10，根据函数零点的判定定理，f（x）=2x+x3的零点所在区间为（1，0），故选：B7 dx=（）Aln2+Bln2Cln2Dln
10、2【考点】定积分【分析】只须求出被积函数的原函数，再利用积分中值定理即可求得结果【解答】解：dx=（lnx）|12=ln2ln1+1+=ln2+故选：A8已知f（n）=+，则（）Af（n）中共有n项，当n=2时，f（2）=+Bf（n）中共有n+1项，当n=2时，f（2）=+Cf（n）中共有n2n项，当n=2时，f（2）=+Df（n）中共有n2n+1项，当n=2时，f（2）=+【考点】数列的求和【分析】观察数列的通项公式，可得分母n，n+1，n+2n2构成以n为首项，以1为公差的等差数列，从而可得项数为n2n+1【解答】解：分母n，n+1，n+2n2构成以n为首项，以1为公差的等差数列项数为n2
11、n+1故选D9一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（）种不同的坐法A7200B3600C2400D1200【考点】计数原理的应用【分析】由题意，6个人之间形成5个空，插入3个座位，即可得不同的坐法【解答】解：由题意，6个人之间形成5个空，插入3个座位，可得不同的坐法有A66C53=7200种，故选：A10若函数f（x）=x2lnx（x0）的极值点为，函数g（x）=xlnx2（x0）的极值点为，则有（）ABC=D与的大小不确定【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】利用积的导数法则求f（x），g（x）；据函数极值点处的导数为零，列出方程解得【解答】解：f（x）=2xlnx+x，g
12、（x）=lnx2+2又f（x）=x2lnx（x0）的极值点为，g（x）=xlnx2（x0）的极值点为，2ln+=0，ln2+2=0故选A11已知函数f（x）=x42x3+3m，xR，若f（x）+90恒成立，则实数m的取值范围是（）AmBmCmDm【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】要找m的取值使f（x）+90恒成立，思路是求出f（x）并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f（x）的最小值，使最小值大于等于9即可求出m的取值范围【解答】解：因为函数f（x）=x42x3+3m，所以f（x）=2x36x2令f（x）=0得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函
13、数的最小值为f（3）=3m不等式f（x）+90恒成立，即f（x）9恒成立，所以3m9，解得m故答案选A12如图，阴影部分的面积是（）A2B2CD【考点】定积分在求面积中的应用【分析】利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=（3x）|=；故选C13用数学归纳法证明不等式“+（n2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A增加了一项B增加了两项C增加了两项，又减少了一项D增加了一项，又减少了一项【考点】数学归纳法【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“+（n2）左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n项，当由
14、n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论【解答】解：，=故选C14对于函数f（x）=x33x2，给出下列四个命题：f（x）是增函数，无极值；f（x）是减函数，有极值；f（x）在区间（，0及2，+）上是增函数；f（x）有极大值为0，极小值4；其中正确命题的个数为（）A1B2C3D4【考点】利用导数研究函数的极值【分析】由已知得f（x）=3x26x，由此利用导数性质能能求出f（x）的增区间是（，0），（2，+）；减区间是（0，2）f（x）极大值=f（0）=0，f（x）极小值=f（2）=4【解答】解：f（x）=x33x2，f（x）=3x2
15、6x，由f（x）=0，得x=0或x=2，当x（，0）时，f（x）0；当x（0，2）时，f（x）0；当x（2，+）时，f（x）0f（x）的增区间是（，0），（2，+）；减区间是（0，2）f（x）极大值=f（0）=0，f（x）极小值=f（2）=4故错误，正确故选：B15如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）ABCD【考点】导数的运算；函数解析式的求解及常用方法；一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】由图象知f（x）=0的根为0，1，2，求出函数解析式，x1，x2为导函数的两根，可结合根与系数求解【解答】解：由图象知f（x）=0的根为0，1，2，d=
16、0f（x）=x3+bx2+cx=x（x2+bx+c）=0x2+bx+c=0的两个根为1和2b=3，c=2f（x）=x33x2+2xf（x）=3x26x+2x1，x2为3x26x+2=0的两根，16当x2，1时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是（）A5，3B6，C6，2D4，3【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法【分析】分x=0，0x1，2x0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集【解答】解：当x=0时，不等式ax3x2+4x+30对任意aR恒成立；当0x1时，ax3x2+4x+30可化为a，令f（x）=，
17、则f（x）=（*），当0x1时，f（x）0，f（x）在（0，1上单调递增，f（x）max=f（1）=6，a6；当2x0时，ax3x2+4x+30可化为a，由（*）式可知，当2x1时，f（x）0，f（x）单调递减，当1x0时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）min=f（1）=2，a2；综上所述，实数a的取值范围是6a2，即实数a的取值范围是6，2故选：C二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）17计算（4A84+2A85）（A86A95）0！=4【考点】排列及排列数公式【分析】根据排列数的公式进行计算即可【解答】解：（4+2）（）0!=（48765+287654）（87654
18、398765）1=（387654）（87653）=4故答案为：418若复数z=（a22a）+（a2a2）i为纯虚数，则实数a的值等于0【考点】复数的基本概念【分析】由纯虚数的定义可知，解之可得【解答】解：由纯虚数的定义可知，由方程可解得a=0，或a=2，但a=2时a2a2=0，矛盾，故答案为：019函数f（x）=x33x+1在闭区间3，0上的最大值为3；最小值为17【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求出函数的导数，通过导数为0，求出极值点，比较极值点的函数值与端点的函数值，即可得到所求的最值【解答】解：因为函数f（x）=x33x+1，所以函数f（x）=3x23，令3x23=0，解得x
19、=1，或x=13，0，因为f（3）=（3）33（3）+1=17，f（1）=（1）33（1）+1=3，f（0）=1；所以函数的最大值为：3；最小值为：17故答案为：3；1720若函数f（x）=在区中（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是1m0【考点】函数单调性的性质【分析】若函数变形为，只要考查函数就行了【解答】解：函数变形为，设，只要g（x）是单调减函数即可画出g（x）的图象：解得1m0故填1m0三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21求值：2log2lg2lg5+【考点】对数的运算性质【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算即可【解答
20、】解： =2lg10+=11+=22设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f（x），若函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，且f（1）=0（）求实数a，b的值（）求函数f（x）的极值【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质【分析】（）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f（1）=0即可求出b（）对f（x）求导，分别令f（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值【解答】解：（）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f（x）=6x2+2ax+b从而f（x）=6y=f（x）关于直线x=对称，从而由条件可知=，解得a=3又由于f（x）=
21、0，即6+2a+b=0，解得b=12（）由（）知f（x）=2x3+3x212x+1f（x）=6x2+6x12=6（x1）（x+2）令f（x）=0，得x=1或x=2当x（，2）时，f（x）0，f（x）在（，2）上是增函数；当x（2，1）时，f（x）0，f（x）在（2，1）上是减函数；当x（1，+）时，f（x）0，f（x）在（1，+）上是增函数从而f（x）在x=2处取到极大值f（2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=623对于函数f（x）=a（aR）（1）探索并证明函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若有，求出实数a的值，并证明你的结论；若没有，说明理由【考点】函
22、数单调性的判断与证明【分析】（1）利用导数判断函数的单调性即可；（2）先由f（0）=0求得a=1，再证明f（x）=f（x），恒成立【解答】解：f（x）=a（aR）f（x）=0恒成立，函数f（x）在R上为增函数（2）由f（0）=a=0，得a=1，f（x）=1=，f（x）=f（x）所以当a=1时，f（x）为奇函数24设t0，点P（t，0）是函数f（x）=x3+ax与g（x）=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线（）用t表示a，b，c；（）若函数y=f（x）g（x）在（1，3）上单调递减，求t的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】
23、（I）根据函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），以及f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，建立方程组，即可用t表示a，b，c；（II）先利用导数求出y=f（x）g（x）的单调减区间，然后使（1，3）是单调减区间的子集，建立关系式，解之即可求出t的范围【解答】解：（I）因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），所以f（t）=0，即t3+at=0因为t0，所以a=t2g（t）=0，即bt2+c=0，所以c=ab又因为f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，所以f（t）=g（t）而f（x）=3x2+a，g（x）=2bx，所以3t2+a=2bt将a=t2代入上式得b=
24、t因此c=ab=t3故a=t2，b=t，c=t3（II）y=f（x）g（x）=x3tx2t2x+t3，y=3x22txt2=（3x+t）（xt）当y=（3x+t）（xt）0时，函数y=f（x）g（x）单调递减由y0，若t0，则xt；若t0，则tx由题意，函数y=f（x）g（x）在（1，3）上单调递减，则（1，3）（，t）或（1，3）（t，）所以t3或3即t9或t3t的取值范围为（，93，+）25如图，设铁路AB长为80，BCAB，且BC=10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才
25、使总运费最小？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数最值的应用【分析】（1）由已知中铁路AB长为80，BCAB，且BC=10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4，我们可计算出公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由A到C的总运费；（2）由（1）中所得的总运费y表示为x的函数，利用导数法，我们可以分析出函数的单调性，及函数的最小值点，得到答案【解答】解：（1）依题中，铁路AB长为80，BCAB，且BC=10，将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，且单位距离的铁路运费为2，公路运费为4铁路AM上的运费为
26、2（80x），公路MC上的运费为4，则由A到C的总运费为y=2（80x）+4（0x80）（2）y=2+（0x80），令y=0，解得x=，或x=（舍）当0x时，y0；当x80时，y0故当x=时，y取得最小值即当在距离点B为时的点M处修筑公路至C时总运费最省26已知函数f（x）=x24x+a+3，g（x）=mx+52m（）若y=f（x）在1，1上存在零点，求实数a的取值范围；（）当a=0时，若对任意的x11，4，总存在x21，4，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）y=f（x）在1，1上单调递减函数，要存在零点只需f
27、（1）0，f（1）0即可（2）存在性问题，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集即可【解答】解：（）：因为函数f（x）=x24x+a+3的对称轴是x=2，所以f（x）在区间1，1上是减函数，因为函数在区间1，1上存在零点，则必有：即，解得8a0，故所求实数a的取值范围为8，0（）若对任意的x11，4，总存在x21，4，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集f（x）=x24x+3，x1，4的值域为1，3，下求g（x）=mx+52m的值域当m=0时，g（x）=52m为常数，不符合题意舍去；当m0时，g（x）的值域为5m，5+2m，要使1，35m，5+2m，需，解得m6；当m0时，g（x）的值域为5+2m，5m，要使1，35+2m，5m，需，解得m3；综上，m的取值范围为（，36，+）2016年10月24日