1、第九章 解析几何第八节 直线与圆锥曲线的综合问题第2课时 圆锥曲线中的范围、最值问题栏目导航12课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 堂 考 点 突 破1考点一 范围问题【例 1】(2019 届河南中原名校联考)设椭圆x2a2y231(a 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知|OA|OF|1，其中 O 为坐标原点(1)求椭圆的方程及离心率 e 的值；(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B(B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点 H.若 BFHF，且MOAMAO，求直线 l 的斜率的取值范围解(1)设 F(c，0)，由题知 ac1，所以 a
2、1c，即 a212cc2，又 a23c2，所以 312c，得 c1，所以 a2，所以椭圆的方程为x24y231，eca12.(2)设直线 l 的斜率为 k(k0)，则直线 l 的方程为 yk(x2)，设 B(xB，yB)，联立方程x24y231，yk（x2），消去 y，得(4k23)x216k2x16k2120，则 xAxB16k2124k23，xA2，解得 xB8k264k23，从而 yB 12k4k23.所以 B8k264k23，12k4k23.由(1)知，F(1，0)，设 H(0，yH)，则FH(1，yH)，BF94k24k23，12k4k23.由 BFHF，得BFFH 0，所以4k29
3、4k23 12kyH4k230，解得 yH94k212k，因此直线 MH 的方程为 y1kx94k212k.设 M(xM，yM)，联立方程yk（x2），y1kx94k212k，消去 y，解得 xM20k2912（k21），在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2y2Mx2My2M，化简得 xM1，即20k2912（k21）1，解得 k 64 或 k 64.所以直线 l 的斜率的取值范围为，64 64，.名师点津 求解范围问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)
4、利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的范围，在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用已选用的变量表示，同时要特别注意变量的取值范围提醒(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式|跟踪训练|1已知椭圆 C：y2a2x2b21(ab0)的焦距为 4 且过点(2，2)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线 l 与椭圆 C 分别
5、交于点 E，F，求OE OF 的取值范围解：(1)因为椭圆 C：y2a2x2b21(ab0)的焦距是 4，所以焦点坐标是(0，2)，(0，2)，根据椭圆定义有 2a 20 2（22）24 2，所以 a2 2，又 b2a2c2，所以 b24，即椭圆 C 的方程是y28x241.(2)若直线 l 垂直于 x 轴，则点 E(0，2 2)，F(0，2 2)，OE OF 8.若直线 l 不垂直于 x 轴，不妨设 l 过该椭圆的上焦点，则 l 的方程为 ykx2，设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程得到(2k2)x24kx40，则 x1x2 4k2k2，x1x24
6、2k2，所以OE OF x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)444k22k2 8k22k24 202k28，因为 0 202k210，所以8OE OF 2，所以OE OF 的取值范围是(8，2综上所述，OE OF 的取值范围是8，2考点二 最值问题 命题角度一 建立目标函数求最值【例 2】已知动圆 E 经过点 F(1，0)，且和直线 l：x1 相切(1)求该动圆圆心 E 的轨迹 G 的方程；(2)已知点 A(3，0)，若斜率为 1 的直线 l与线段 OA 相交(不经过坐标原点 O 和点 A)，且与曲线 G 交于 B，C 两点，求ABC 面积的最大值
7、解(1)由题意可知，点 E 到点 F 的距离等于点 E 到直线 l 的距离，动点 E 的轨迹是以 F(1，0)为焦点，直线 x1 为准线的抛物线，故轨迹 G 的方程是 y24x.(2)设直线 l的方程为 yxm，其中3m0)的一个焦点为 F(1，0)，左、右顶点分别为 A，B.经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C，D 两点(1)当直线 l 的倾斜角为 45时，求弦 CD 的长；(2)记ABD 与ABC 的面积分别为 S1 和 S2，求|S1S2|的最大值解(1)由题意，得 c1，b23，所以 a24，所以椭圆 M 的方程为x24y231，易求直线方程为 yx1，联立方程x24y231，
8、yx1，消去 y，得 7x28x80，2880，设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，则 x1x287，x1x287，所以|CD|2|x1x2|2（x1x2）24x1x2247.(2)当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x1，此时ABD 与ABC 面积相等，|S1S2|0；当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 yk(x1)(k0)，联立方程x24y231，yk（x1），消去 y，得(34k2)x28k2x4k2120，144k21440，且 x1x2 8k234k2，x1x24k21234k2，此时|S1S2|2|y2|y1|2|y2y1|2|k(x21)k(x11)|2|k(x1x2
9、)2k|12|k|34k2，因 为k0，所 以 上 式 123|k|4|k|1223|k|4|k|122 12 3当且仅当k 32 时等号成立，所以|S1S2|的最大值为 3.命题角度三 数形结合利用几何性质求最值【例 4】已知椭圆 C：x24y231 的右焦点为 F，P 为椭圆 C 上一动点，定点 A(2，4)，则|PA|PF|的最小值为_解析 如图，设椭圆的左焦点为 F，则|PF|PF|4，所以|PF|4|PF|，所以|PA|PF|PA|PF|4.当且仅当 P，A，F三点共线时，|PA|PF|取最小值|AF|（21）2165，所以|PA|PF|的最小值为 1.答案 1名师点津 圆锥曲线中的
10、最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解|跟踪训练|2(2019 届武汉市武昌区调研考试)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)经过点 P1，22，且离心率为 22.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l：yxm 与椭圆 C 交于两个不同的点 A，B，求OAB 面积的最大值(O为坐标原点)解：(1)由题意，知 1a2 12b21，ca 22，a2b2c2，解得a22
11、，b21，所以椭圆 C 的方程为x22y21.(2)将直线 l 的方程 yxm 代入椭圆 C 的方程x22y21，整理得 3x24mx2(m21)0.由(4m)224(m21)0，得 m23.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24m3，x1x22（m21）3，所以|AB|2（x1x2）24x1x2 24m3242（m21）3 2248m2943 3m2，又原点 O(0，0)到直线 AB：xym0 的距离 d|m|2，所以 SOAB12|AB|d12433m2|m|2 23m2（3m2）.因为 m2(3m2)m23m22294，当且仅当 m23m2，即 m232时取等号满足m23，所以 SOAB 23 32 22，即OAB 面积的最大值为 22.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测2谢 谢 观 看 THANKS
