1、第八章 立体几何第五节 直线、平面垂直的判定及性质栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，会广泛应用转化与化归的思想.1.直观想象2.逻辑推理 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直
2、的定义如果一条直线 l 与平面 内的 1 _一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直任意lalbabab(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的2 _ 都垂直，则该直线与此平面垂直3 _4 _abO5 _6 _l性质定理 垂直于同一个平面的这两条直线 7 _8 _9 _ab两条相交直线平行2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的 10 _所成的 11 _叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是 12 _；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 0的角(2)范围：13 _射影锐角直角0，23二面角(1
3、)定义：从一条直线出发的 14 _所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 15 _的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(3)二面角的范围：0，两个半平面垂直于棱4平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是 16 _，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理直二面角llalal(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面过另一个平面的 17 _，则这两个平面垂直18 _19 _ 性质定理两个平面垂直，则一个 平 面 内垂 直 于 20_ 的 直 线 与另一个平
4、面垂直21 _22 _23 _24 _l垂线交线常用结论1若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面2若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)3垂直于同一条直线的两个平面平行4一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则.
5、()解析：(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则有 l 或 l 与 斜交或 l 或l，故(1)错误(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一个平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面斜交，也可能在另一平面内，故(3)错误(4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的所有直线，则，故(4)错误答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 2P73T1 改编)下列命题中错误的是()A如果平面 平面，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平
6、面，平面 平面，l，那么 l平面 D如果平面 平面，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析：选 D 对于 D，若平面 平面，则平面 内的直线可能不垂直于平面，即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 内，其他选项均是正确的3(必修 2P67T2 改编)在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O.(1)若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的_心；(2)若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC 的_心解析：(1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP，在 RtPOA，RtPOB 和 RtPOC 中，PAPCPB，所以 OAOBOC，即 O 为ABC 的外心 (
7、2)如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于 H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面 PAB，又 AB平面 PAB，PCAB.ABPO，POPCP，AB平面 PGC，又 CG平面 PGC，ABCG，即 CG 为ABC 边 AB 上的高 同理可证 BD，AH 分别为ABC 边 AC，BC 上的高，即 O 为ABC 的垂心 答案：(1)外(2)垂三、易错自纠4如图所示，AB 是半圆 O 的直径，VA 垂直于半圆 O 所在的平面，点 C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点，M，N 分别为 VA，VC 的中点，则下列结论正确的是()AMNABB平面 VAC平面 VB
8、CCMN 与 BC 所成的角为 45DOC平面 VAC解析：选 B 由题意得 BCAC，因为 VA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 VABC.因为 ACVAA，所以 BC平面 VAC.因为 BC平面 VBC，所以平面 VAC平面 VBC.故选 B.5设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 bm，则“”是“ab”的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件解析：若，因为 m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得 b，又 a，所以 ab；反过来，当 am 时，因为 bm，一定有 ba，但不能保证 b，所以不能推出.答案
9、：充分不必要6如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，A1B1 的中点是 P，过点 A1 作与截面 PBC1 平行的截面，则该截面的面积为_解析：在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，A1B1 的中点是 P，过点 A1 作与截面 PBC1 平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形 A1FCE，如图所示则 EF2 2，A1C2 3，EFA1C，则截面的面积 S12EFA1C2 6.答案：2 6课 堂 考 点 突 破2考点 与线面垂直关系有关命题真假的判断|题组突破|1设 m，n 是空间两条直线，是空间两个平面，则下列命题中不正确的是
10、()A当 n 时，“n”是“”的充要条件B当 m 时，“m”是“”的充分不必要条件C当 m 时，“n”是“mn”的必要不充分条件D当 m 时，“n”时“mn”的充分不必要条件解析：选 C 当 n 时，“n”“”，所以当 n 时，“n”是“”成立的充要条件，故A正确；当m时，“m”“”，“”推不出“m”，所以当 m 时，“m”是“”的充分不必要条件，故 B 正确；当 m 时，“n”“mn”或 m 与 n 异面；“mn”“n 或 n”，所以当 m 时，“n”是“mn”的既不必要又不充分条件，故 C 错误；当 m 时，“n”“mn”，“mn”推不出“n”，当 m 时，“n”是“mn”的充分不必要条件
11、，故 D 正确2如图甲所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 H，如图乙所示，那么，在四面体 AEFH 中必有()AAH平面 EFHBAG平面 EFHCHF平面 AEFDHG平面 AEF解析：选 A AHHE，AHHF，且 EHHFH，AH平面 EFH，A 正确；过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，B 不正确；AGEF，EFAH，AGAHA，EF平面 HAG.EF平面 AEF，平面 HAG平面 AEF，过 H 作平面 AEF 的垂线，一定在平
12、面 HAG 内，C 不正确；HG 不垂直于 AG，HG 不垂直平面 AEF，D 不正确故选 A.3.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 O，M，N 分别是线段 BD，DD1，D1C1 的中点，则直线 OM 与 AC，MN 的位置关系是 ()A与 AC，MN 均垂直B与 AC 垂直，与 MN 不垂直C与 AC 不垂直，与 MN 垂直D与 AC，MN 均不垂直解析：选 A 因为 DD1平面 ABCD，所以 ACDD1.又因为 ACBD，DD1BDD，所以 AC平面 BDD1B1.因为 OM平面 BDD1B1，所以 OMAC.设正方体的棱长为 2，则 OM 12 3，MN 11 2
13、，ON 14 5，所以 OM2MN2ON2，所以 OMMN.故选 A.4.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，有下列四个结论：A1EDC；A1EAC；A1EBD；A1EBC1.其中正确的结论序号是_(写出所有正确结论的序号)解析：中，连接 A1D，在 RtA1DE 中，tan A1ED2 2，所以 A1E 与 DC 不垂直，所以不正确；中，连接 A1C1，EC1，在A1EC1 中，EA1C1 不是直角，所以 A1E 与 AC 不垂直，所以不正确；在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BD平面 ACC1A1，而 A1E平面 ACC1A1，所以A1E 与 BD
14、不垂直，所以不正确；在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BC1平面 A1B1CD，A1E平面 A1B1CD，所以 A1EBC1，故正确结论的序号为.答案：名师点津 与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无需作图通过空间想象来判断(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明考点一 线面垂直的判定与性质 命题角度一 证明直线与平面垂直【例 1】如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点(1)证明：PO平面 ABC；(2)若点 M 在棱
15、 BC 上，且 MC2MB，求点 C 到平面 POM 的距离解(1)证明：因为 APCPAC4，O 为 AC 的中点，所以 OPAC，且 OP2 3.如图，连接 OB.因为 ABBC 22 AC，所以ABC 为等腰直角三角形，所以 OBAC，OB12AC2.所以 OP2OB2PB2，所以 OPOB.又 OBACO，知 PO平面 ABC.(2)如图，作 CHOM，垂足为 H.又由(1)可得 OPCH，所以 CH平面 POM.故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题设可知 OC12AC2，CM23BC4 23，ACB45.由余弦定理可得 OM2 53，所以 CHOCMCsinACBOM4
16、 55.所以点 C 到平面 POM 的距离为4 55.命题角度二 利用线面垂直证明线线垂直【例 2】如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段AB 上一点，且 AD13DB，点 C 为圆 O 上一点，且 BC 3AC，PD平面 ABC.求证：PACD.证明 因为 AB 为圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点，所以 ACCB.在 RtABC 中，由3ACBC 得，ABC30.设 AD1，由 3ADDB，得 DB3，BC2 3.由余弦定理，得 CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以 CD2DB2BC2，即 CDAB.因为 PD平面 ABC，CD平面 ABC，所以 PDCD，由
17、 PDABD 得，CD平面 PAB，又 PA平面 PAB，所以 PACD.名师点津 1证明直线和平面垂直的常用方法(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质(，a，la，ll)2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想|跟踪训练|1(2019 年全国卷)如图，已知长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BEEC1.(1)证明：BE平面 EB1C1；(2)若 AEA1E，AB3，求四棱锥 EBB1C
18、1C 的体积解(1)证明：由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故 B1C1BE.又 BEEC1，EC1B1C1C1，所以 BE平面 EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设易知 RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故 AEAB3，AA12AE6.作 EFBB1，垂足为 F，则 EF平面 BB1C1C，且 EFAB3.所以，四棱锥 EBB1C1C 的体积 V1336318.2已知，S 是 RtABC 所在平面外一点，ABC90，且 SASBSC，D 为斜边 AC 的中点(1)求证：SD平面 ABC；(2)若 ABBC，求证：BD平面 SAC.证明
19、：(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 SE，DE，在 RtABC 中，D，E 分别为 AC，AB 的中点，ABC90，所以 DEBC，所以 DEAB.因为 SASB，所以SAB 为等腰三角形，所以 SEAB.又 SEDEE，所以 AB平面 SDE.又 SD平面 SDE，所以 ABSD.在SAC 中，SASC，D 为 AC 的中点，所以 SDAC.又 ACABA，所以 SD平面 ABC.(2)由 ABBC，得 BDAC，由(1)可知，SD平面 ABC，又 BD平面 ABC，所以 SDBD.又 SDACD，所以 BD平面 SAC.考点二 面面垂直的判定与性质【例 3】如图，在四面体 ABC
20、D 中，平面 BAD平面 CAD，BAD90.M，N，Q 分别为棱 AD，BD，AC 的中点(1)求证：CD平面 MNQ；(2)求证：平面 MNQ平面 CAD.证明(1)在ACD 中，因为 M，Q 分别为棱 AD，AC 的中点，所以 MQCD，又 CD平面 MNQ，MQ平面 MNQ，故 CD平面 MNQ.(2)因为 M，N 分别为棱 AD，BD 的中点，所以 MNAB，又BAD90，故 MNAD.因为平面 BAD平面 CAD，平面 BAD平面 CADAD，且 MN平面 ABD，所以MN平面 ACD，又 MN平面 MNQ，所以平面 MNQ平面 CAD.名师点津 1证明面面垂直的 2 种方法(1)
21、定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决2三种垂直关系的转化|跟踪训练|3如图，将边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 翻折，连接 AC，FD，形成如图所示的多面体，且 AC 6.证明：平面 ABEF平面 BCDE.证明：如图，在正六边形 ABCDEF 中，连接 AC，BE，交点为 G，易知 ACBE，且 AGCG 3，所以翻折后AGC 为二面角 ABEC 的平面角，由 AC 6，知 AG2CG2
22、AC2，故 AGGC，所以AGC90，所以平面 ABEF平面 BCDE.4(2020 届湖北省部分重点中学联考)如图，在四边形 ABED 中，ABDE，ABBE，点 C 在 AB 上，且 ABCD，ACBCCD2，现将ACD 沿 CD 折起，使点 A 到达点P 的位置，且 PE2 2.(1)证明：平面 PBC平面 DEBC；(2)(一题多解)求三棱锥 PEBC 的体积解：(1)证明：ABBE，ABCD，BECD.ACCD，PCCD，PCBE.又 BCBE，PCBCC，BE平面 PBC，又 BE平面 DEBC，平面 PBC平面 DEBC.(2)解法一：由 ABDE，结合 CDBE 得四边形 BC
23、DE 为平行四边形，BECD2.由(1)知 BE平面 PBC，BEPB，由 PE2 2，得 PB PE2BE22，PBC 为等边三角形，SPBC 34 22 3，V 三棱锥 PEBCV 三棱锥 EPBC13SPBCBE13 322 33.解法二：由 ABDE，结合 CDBE，得四边形 BCDE 为平行四边形，BECD2.由(1)知 BE平面 PBC，BEPB，由 PE2 2，得 PB PE2BE22，PBC 为等边三角形取 BC 的中点 O，连接 OP，则 PO 3，POBC，PO平面 EBCD，V 三棱锥 PEBC13SEBCPO131222 32 33.考点三 直线与平面所成的角【例 4】
24、(2019 届青海模拟)如图，正四棱锥 PABCD 的体积为 2，底面积为 6，E为侧棱 PC 的中点，则直线 BE 与平面 PAC 所成的角为()A60B30C45D90解析 如图，在正四棱锥 PABCD 中，根据底面积为 6可得，BC 6.连接 BD，交 AC 于点 O，连接 PO，则 PO 为正四棱锥 PABCD 的高，根据体积公式可得，PO1.因为 PO底面 ABCD，所以 POBD，又 BDAC，POACO，所以BD平面 PAC，连接 EO，则BEO 为直线 BE 与平面 PAC 所成的角在 RtPOA 中，因为 PO1，OA 3，所以 PA2，OE12PA1，在 RtBOE 中，因
25、为 BO 3，所以 tanBEOBOOE 3，即BEO60.答案 A名师点津 求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角|跟踪训练|5(2018 年全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC2，AC1 与平面 BB1C1C所成的角为 30，则该长方体的体积为()A8 B6 2C8 2D8 3解析：选 C 连接 BC1，因为 AB平面 BB1C1C，所以AC1B30，ABBC1，所以ABC1 为直角三角形又 AB2，所以 BC
26、12 3.又 B1C12，所以 BB1（2 3）2222 2，故该长方体的体积 V222 28 2.6已知边长为 2 的正方形 ABCD 的四个顶点在球 O 的球面上，球 O 的体积 V 球160 53，则 OA 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为_解析：如图，过点 O 作 OM平面 ABCD，垂足为点 M，则点 M 为正方形 ABCD 的中心且MAO 为 OA 与平面 ABCD 所成的角，因为正方形 ABCD 的边长为 2，所以 AC2 2，所以AM 2.因为 V 球43r3160 53，所以球 O 的半径 rOA2 5，所以 cosOAMAMOA22 5 1010.答案：1010考点 开
27、放探究型问题【例】如图所示，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，DBBC，DBAC，点 M 是棱 BB1 上一点(1)求证：B1D1平面 A1BD；(2)求证：MDAC；(3)试确定点 M 的位置，使得平面 DMC1平面 CC1D1D.解(1)证明：在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，BB1DD1，且 BB1DD1，所以 BB1D1D 是平行四边形，所以 B1D1BD.而 BD平面 A1BD，B1D1平面 A1BD，所以 B1D1平面 A1BD.(2)证明：因为 BB1平面 ABCD，AC平面 ABCD，所以 BB1AC.又因为 BDAC，且 BDBB1B，所以 AC平面 BB1D
28、，而 MD平面 BB1D，所以 MDAC.(3)当点 M 为棱 BB1 的中点时，平面 DMC1平面 CC1D1D.证明如下：取 DC 的中点 N，D1C1 的中点 N1，连接 NN1 交 DC1 于点 O，连接 OM.因为 N 是 DC 的中点，BDBC，所以 BNDC.又因为 DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线，而平面 ABCD平面 DCC1D1，所以 BN平面 DCC1D1.又可证得，O 是 NN1 的中点，所以 BMON，且 BMON，即 BMON 是平行四边形，所以 BNOM，所以 OM平面 CC1D1D.因为 OM平面 DMC1，所以平面 DMC1平面 CC1D1
29、D.名师点津 1求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试，猜出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性2涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识找出点的位置|跟踪训练|如图所示，平面 ABCD平面 BCE，四边形 ABCD 为矩形，BCCE，点 F 为 CE 的中点(1)证明：AE平面 BDF；(2)点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P，使得PMBE？若存在，确定点 P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由解：(1)证明：如图，
30、连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OF.因为四边形 ABCD 是矩形，所以 O 为 AC 的中点又在AEC 中，F 为 EC 的中点，所以 OFAE.又 OF平面 BDF，AE平面 BDF，所以 AE平面 BDF.(2)当点 P 为 AE 的中点时，有 PMBE.证明如下：如图，取 BE 的中点 H，连接 DP，PH，CH.在ABE 中，因为 P 为 AE 的中点，H 为 BE 的中点，所以 PHAB.又 ABCD，所以 PHCD，所以 P，H，C，D 四点共面因为平面 ABCD平面 BCE，且平面 ABCD平面 BCEBC，CDBC，CD平面ABCD，所以 CD平面 BCE.又 BE平面 BCE，所以 CDBE.因为 BCCE，且 H 为 BE 的中点，所以 CHBE.又 CHCDC，且 CH，CD平面 DPHC，所以 BE平面 DPHC.又 PM平面 DPHC，所以 PMBE.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS