1、第八章 立体几何第四节 直线、平面平行的判定及性质栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1.直观想象2.逻辑推理 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1直线与平面平行(1)直线与平面平
2、行的定义直线 l 与平面 没有公共点，则称直线 l 与平面 平行(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外 1_平行，则该直线与此平面平行a，b，aba 性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的 2 _与该直线平行a，a，bab一条直线与此平面内的一条直线交线2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条 3_与另一个平面平行，则这两个平面平行a，b，abP，a，b相交直线文字语言图形表示符号表示性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线 4 _于
3、另一个平面，aa 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的 5_平行，a，bab平行交线常用结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a，b，则 ab.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行()(2)若直线 a平面，P，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的
4、两条直线平行或异面()解析：(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误(2)若 a，P，则过点 P 且平行于 a 的直线只有一条，故(2)错误(3)如果一个平面内的两条平行直线平行于另一个平面，则这两个平面可能相交，故(3)错误答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 2P61A 组 T1(1)改编)下列命题中正确的是()A若 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面B若直线 a 和平面 满足 a，那么 a 与 内的任何直线平行C平行于同一条直线的两个平面平行D若直线 a，b 和平面 满足 ab，a，b，则 b
5、解析：选 D A 中，a 可以在过 b 的平面内，错误；B 中，a 与 内的直线也可能异面，错误；C 中，两平面可相交，错误；D 中，由直线与平面平行的判定定理知 b，正确3(必修 2P62A 组 T3 改编)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位置关系为_解析：连接 BD，设 BDACO，连接 EO，在BDD1 中，E 为 DD1 的中点，O 为 BD 的中点，所以 EO 为BDD1 的中位线，则 BD1EO，而 BD1平面 ACE，EO平面 ACE，所以 BD1平面 ACE.答案：平行三、易错自纠4若平面 平面，直线 a平面，
6、点 B，则在平面 内且过 B 点的所有直线中()A不一定存在与 a 平行的直线B只有两条与 a 平行的直线C存在无数条与 a 平行的直线D存在唯一与 a 平行的直线解析：选 A 当直线 a 在平面 内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线，故选 A.5已知直线 a 与直线 b 平行，直线 a 与平面 平行，则直线 b 与 的关系为()A平行B相交C直线 b 在平面 内D平行或直线 b 在平面 内解析：选 D 依题意，得直线 a 必与平面 内的某直线平行，又 ab，因此直线 b与平面 的位置关系是平行或直线 b 在平面 内6设，为三个不同的平面，a，b 为直线，给出下列条件：a，b，a，b；，
7、；，；a，b，ab.其中能推出 的条件是_(填上所有正确的序号)解析：在条件或条件中，或 与 相交；由，条件满足；在中，a，abb，又 b，从而，条件满足 答案：7.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，则四边形 EFGH的形状为_解析：平面 ABFE平面 DCGH，又平面 EFGH平面 ABFEEF，平面 EFGH平面 DCGHHG，EFHG.同理 EHFG，四边形 EFGH 是平行四边形 答案：平行四边形课 堂 考 点 突 破2考点 与线、面平行相关命题的真假判定|题组突破|1平面 平面 的一个充分条件是()A存在一条直线 a，a，aB存在一条直线 a，a，aC存在
8、两条平行直线 a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b解析：选 D 若 l，al，a，a，a，a，排除 A；若 l，a，al，则 a，排除 B；若 l，a，al，b，bl，则 a，b，排除 C.故选 D.2在空间中，a，b 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A若 a，b，则 abB若 a，b，则 abC若 a，ab，则 bD若，a，则 a解析：选 D 对于 A，若 a，b，则 a，b 可能平行，可能相交，可能异面，故 A 是假命题；对于 B，设 m，若 a，b 均与 m 平行，则 ab，故 B 是假命题；对于 C，b 或 b 在平面 内，故
9、C 是假命题；对于 D，若，a，则 a 与 没有公共点，则 a，故 D 是真命题故选 D.3在下列四个正方体中，A，B，C 为所在棱的中点，则能得出平面 ABC平面 DEF的是()解析：选 B 在 B 中，如图，连接 MN，PN，A，B，C 为正方体所在棱的中点，ABMN，ACPN.MNDE，PNEF，又在正方体中，ABDE，ACEF.ABACA，DEEFE，AB，AC平面 ABC，DE，EF平面 DEF，平面 ABC平面 DEF.故选 B.4在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N，Q 分别是棱 D1C1，A1D1，BC 的中点，点 P 在 BD1 上且 BP23BD1，则下面说法正确
10、的是_(填序号)MN平面 APC；C1Q平面 APC；A，P，M 三点共线；平面 MNQ平面APC.解析：如图，对于，连接 MN，AC，则 MNAC，连接 AM，CN，易得 AM，CN 交于点 P，即 MN平面 APC，所以 MN平面APC 错误；对于，由知，M，N 在平面 APC 内，由题意可知 ANC1Q，且 AN平面 APC，C1Q平面 APC.所以 C1Q平面 APC 正确；对于，由知，A，P，M 三点共线正确；对于，由知 MN平面 APC，又 MN平面 MNQ，所以平面 MNQ平面 APC错误 答案：名师点津 1判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无
11、论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项2(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确考点一 线面平行的判定与性质 命题角度一 线面平行的证明【例 1】在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是 BC，CC1，C1D1，A1A 的中点求证：(1)BFHD1；(2)EG平面 BB1D1D.证明(1)如图所示，取 BB1 的中点 M，连接 MH，MC1，易证四边形 HMC1D1 是平行四边形，所以 HD1MC1
12、.又因为在平面 BCC1B1 中，BMFC1，所以四边形 BMC1F 为平行四边形，所以 MC1BF，所以 BFHD1.(2)取 BD 的中点 O，连接 OE，D1O，则 OEDC 且 OE12DC，又 D1GDC 且 D1G12DC，所以 OED1G，所以四边形 OEGD1 是平行四边形，所以 GED1O.又 D1O平面 BB1D1D，GE平面 BB1D1D，所以 EG平面 BB1D1D.命题角度二 线面平行性质的应用【例 2】(2019 年全国卷)如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点(1)证明
13、：MN平面 C1DE；(2)求点 C 到平面 C1DE 的距离解(1)证明：连接 B1C，ME.因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点，所以 MEB1C，且 ME12B1C.又因为 N 为 A1D 的中点，所以 ND12A1D.由题意知 A1B1DC，可得 B1CA1D，故 MEND，因此四边形 MNDE 为平行四边形，所以 MNED.又 MN平面 C1DE，DE平面 C1DE，所以 MN平面 C1DE.(2)过 C 作 CHC1E，垂足为 H.由已知可得 DEBC，又 DEC1C，CC1BCC，所以 DE平面 C1CE，故 DECH.从而 CH平面 C1DE，故 CH 的长即为 C 到平
14、面 C1DE 的距离由已知可得 CE1，C1C4，所以 C1E 17，故 CH4 1717.从而点 C 到平面 C1DE 的距离为4 1717.名师点津 证明直线与平面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明(2)判定定理法：在利用判定定理时，关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明|跟踪训练|1如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，AB2，CD3，M 为 PC 上一点，且PM2MC.求证：BM平面 PAD.证明
15、：如图，过 M 作 MNCD 交 PD 于点 N，连接 AN.因为 PM2MC.所以 MN23CD.又 AB23CD，且 ABCD，所以 ABMN.所以四边形 ABMN 为平行四边形所以 BMAN.又 BM平面 PAD，AN平面 PAD，所以 BM平面 PAD.2.如图所示，已知四边形 ABCD 是正方形，四边形 ACEF 是矩形，AB2，AF1，M 是线段 EF 的中点(1)求证：MA平面 BDE.(2)若平面 ADM平面 BDEl，平面 ABM平面 BDEm，试分析 l 与 m 的位置关系，并证明你的结论解：(1)证明：如图，记 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE.因为 O，M 分别
16、是 AC，EF 的中点，四边形 ACEF 是矩形，所以四边形 AOEM 是平行四边形，所以 AMOE.又因为 OE平面 BDE，AM平面 BDE，所以 AM平面 BDE.(2)lm，证明如下：由(1)知 AM平面 BDE，又 AM平面 ADM，平面 ADM平面 BDEl，所以 lAM，同理，AM平面 BDE，又 AM平面 ABM，平面 ABM平面 BDEm，所以 mAM，所以 lm.考点二 面面平行的判定与性质【例 3】如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：(1)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BC
17、HG.证明(1)因为 G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点，所以 GHB1C1，又 B1C1BC，所以 GHBC，所以 B，C，H，G 四点共面(2)在ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 的中点，所以 EFBC.因为 EF平面 BCHG，BC平面 BCHG，所以 EF平面 BCHG.又因为 G，E 分别为 A1B1，AB 的中点，所以 A1GEB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，所以 A1EGB.因为 A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG，所以 A1E平面 BCHG.又因为 A1EEFE，所以平面 EFA1平面 BCHG.|母题探究|1(变条件)在本例条件下，若 D 为 B
18、C1 的中点，求证：HD平面 A1B1BA.证明：如图所示，连接 HD，A1B，在A1BC1 中，因为 D 为 BC1 的中点，H 为 A1C1 的中点，所以 HDA1B，又 HD平面 A1B1BA，A1B平面 A1B1BA，所以 HD平面 A1B1BA.2(变条件)在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D.证明：如图所示，连接 A1C 交 AC1 于点 M，因为四边形 A1ACC1 是平行四边形，所以 M 是 A1C 的中点连接 MD，因为 D 为 BC 的中点，所以 A1BDM.因为 A1B平面 A1BD1，DM平面 A1BD1，所以
19、 DM平面 A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1BD，所以四边形 BDC1D1 为平行四边形，所以 DC1BD1.又 DC1平面 A1BD1，BD1平面 A1BD1，所以 DC1平面 A1BD1.又因为 DC1DMD，DC1，DM平面 AC1D，所以平面 A1BD1平面 AC1D.名师点津|跟踪训练|3.如图所示，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点求证：(1)BE平面 DMF；(2)平面 BDE平面 MNG.证明：(1)如图所示，设 DF 与 GN 交于点 O，连接 AE，则AE 必过点 O，连接 MO，则 MO 为ABE 的
20、中位线，所以 BEMO.因为 BE平面 DMF，MO平面 DMF，所以 BE平面 DMF.(2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，所以 DEGN.因为 DE平面 MNG，GN平面 MNG，所以 DE平面 MNG.因为 M 为 AB 的中点，所以 MN 为ABD 的中位线，所以 BDMN.因为 BD平面 MNG，MN平面 MNG，所以 BD平面 MNG，因为 DEBDD，BD，DE平面 BDE，所以平面 BDE平面 MNG.考点一 平行关系的综合问题【例 1】如图所示，平面 平面，点 A，点 C，点 B，点 D，点E，F 分别在线段 AB，CD 上，且 AEEB
21、CFFD.(1)求证：EF平面；(2)若 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AC4，BD6，且 AC，BD 所成的角为 60，求 EF 的长解(1)证明：当 AB，CD 在同一平面内时，由平面 平面，平面 平面ABDCAC，平面 平面 ABDCBD 知，ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又 EF，BD，EF平面.当 AB 与 CD 异面时，如图所示，设平面 ACD平面 DH，且 DHAC，平面 平面，平面 平面 ACDHAC，ACDH，四边形 ACDH 是平行四边形在 AH 上取一点 G，使 AGGHCFFD，连接 EG，FG，BH.又AEEBCFFDAGGH，GFHD，EGBH.又 E
22、GGFG，BHHDH，平面 EFG平面.又 EF平面 EFG，EF平面.综合可知，EF平面.(2)如图所示，连接 AD，取 AD 的中点 M，连接 ME，MF.E，F 分别为 AB，CD 的中点，MEBD，MFAC，且 ME12BD3，MF12AC2.EMF(或其补角)为 AC 与 BD 所成的角，EMF60或 120，在EFM 中，由余弦定理得EF ME2MF22MEMFcosEMF322223212 136，即 EF 7或 EF 19.名师点津 利用线面平行的性质，可以实现线面平行与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决|跟踪训练|1.
23、如图所示，四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形(1)求证：AB平面 EFGH，CD平面 EFGH；(2)若 AB4，CD6，求四边形 EFGH 周长的取值范围解：(1)证明：四边形 EFGH 为平行四边形，EFHG.HG平面 ABD，EF平面 ABD，EF平面 ABD.又EF平面 ABC，平面 ABD平面 ABCAB，EFAB.又AB平面 EFGH，EF平面 EFGH，AB平面 EFGH.同理可证，CD平面 EFGH.(2)设 EFx(0 x4)，EFAB，FGCD，CFCBx4，则FG6 BFBCBCCFBC1x4.FG632x.四边形 EFGH 为平行四
24、边形，四边形 EFGH 的周长 l2x632x 12x.又0 x4，8l12，即四边形 EFGH 周长的取值范围是(8，12)考点二 平行关系中的探索性问题【例 2】如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M 是CD上异于C，D 的点(1)证明：平面 AMD平面 BMC；(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由解(1)证明：因为平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD.BCCD，BC平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，所以 BCDM.因为 M 为CD上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMCM.又 BCCMC，所以 DM平面 BMC.
25、因为 DM平面 AMD，所以平面 AMD平面 BMC.(2)当 P 为 AM 的中点时，MC平面 PBD.证明如下：如图，连接 AC 交 BD 于 O.因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点连接 OP，在AMC 中，因为 P 为 AM 中点，所以 MCOP.又 MC平面 PBD，OP平面 PBD，所以 MC平面 PBD.名师点津 求解探索性问题的类型及策略问题类型求解策略对命题条件的探索(1)先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明.(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.(3)将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件问题类型求解策略对命题结论的探
26、索(1)探索结论是什么，常从条件出发，探索出要求的结论是什么.(2)探索结论是否存在，常先假设结论存在，再在这个假设下进行推理论证，寻找与条件相符或矛盾的结论，相符则存在，矛盾则不存在.|跟踪训练|2如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 是棱 CC1 的中点，问在棱 AB 上是否存在一点 E，使 DE平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由解：存在点 E，且 E 为 AB 的中点时，DE平面 AB1C1.理由如下：如图，取 BB1 的中点 F，连接 DF，EF，则 DFB1C1.DF平面 AB1C1，B1C1平面 AB1C1，DF平面 AB1C1.在ABB1 中，E 为 AB 的中点，则 EFAB1.EF平面 AB1C1，AB1平面 AB1C1，EF平面 AB1C1.DFEFF，平面 DEF平面 AB1C1.而 DE平面 DEF，DE平面 AB1C1.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
