1、第六章概率1随机事件的条件概率1.3全概率公式课后篇巩固提升合格考达标练1.甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,其产量分别占总量的25%,35%,40%,次品率分别为3%,4%,2%.从这批产品中任取一件,则它是次品的概率为()A.0.012 3B.0.023 4C.0.029 5D.0.045 6答案C解析利用全概率公式得P=0.250.03+0.350.04+0.40.02=0.029 5.2.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为110,115,120,现从这10盒中任取一盒,则取得的这盒
2、X光片是次品的概率为()A.0.08B.0.1C.0.15D.0.2答案A解析以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品,则P(A1)=12,P(A2)=310,P(A3)=15,P(B|A1)=110,P(B|A2)=115,P(B|A3)=120.由全概率公式,所求概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12110+310115+15120=0.08.3.设有5个袋子中放有白球,黑球,其中1号袋中白球占13,另外2,3,4,5号4个袋子中白球都占14,今从中随机取1个袋子,从所取的袋子
3、中随机取1个球,结果是白球,则这个球是来自1号袋子中的概率为()A.14B.13C.12D.23答案A解析设事件Ai表示“取到第i号袋子”(i=1,2,3,4,5),事件B表示“取到白球”,由贝叶斯公式得P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)j=15P(Aj)P(B|Aj)=15131513+15(14+14+14+14)=14.4.一道考题有4个答案,要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13,若不知正确答案,则学生会乱猜.在乱猜时,4个答案被选择的概率均为14,如果他答对了,则他确实知道正确答案的概率是()A.13B.23C.34D.14答案B解析设A表示“考生
4、答对”,B表示“考生知道正确答案”,由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=131+2314=12.又由贝叶斯公式得P(B|A)=P(B)P(A|B)P(A)=1312=23.5.电报发射台发出“”和“”的比例为53,由于干扰,传送“”时失真的概率为25,传送“”时失真的概率为13,则接受台收到“”时发出信号恰是“”的概率为.答案34解析设事件A表示收到“”,事件B表示发出“”,由贝叶斯公式得P(B|A)=P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=58355835+3813=34.6.一个盒子中装有15个乒乓球,其中9个新球,在第一次比赛时任意
5、抽取3只,比赛后仍放回原盒中;在第二次比赛时同样地任取3只球,则第二次取出的3个球均为新球的概率为.答案5285 915解析设事件A表示“第二次取出的均为新球”,事件Bi表示“第一次取出的3个球恰有i个新球”(i=0,1,2,3).由全概率公式得P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=C63C153C93C153+C91C62C153C83C153+C92C61C153C73C153+C93C153C63C153=5285 915.7.某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药,三地的供货量分别占40%、
6、35%和25%,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65、0.7和0.85,求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.解设事件A1表示“药材来自甲地”,事件A2表示“药材来自乙地”,事件A3表示“药材来自丙地”,事件B表示“抽到优等品”;P(A1)=0.4,P(A2)=0.35,P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.65,P(B|A2)=0.7,P(B|A3)=0.85,P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.650.4+0.70.35+0.850.25=0.717 5.等级考提升练8.某工厂生产的产品以100件为一批,假定
7、每一批产品中的次品数最多不超过4件,且具有如下的概率:一批产品中的次品数01234概率0.10.20.40.20.1现进行抽样检验,从每批中随机取出10件来检验,若发现其中有次品,则认为该批产品不合格,则一批产品通过检验的概率约为()A.0.814B.0.809C.0.727D.0.652答案A解析以事件Ai表示“一批产品中有i件次品”(i=0,1,2,3,4),事件B表示“通过检验”,则由题意得,P(A0)=0.1,P(B|A0)=1,P(A1)=0.2,P(B|A1)=C9910C10010=0.9,P(A2)=0.4,P(B|A2)=C9810C100100.809,P(A3)=0.2,
8、P(B|A3)=C9710C100100.727,P(A4)=0.1,P(B|A4)=C9610C100100.652.由全概率公式,得P(B)=i=04P(Ai)P(B|Ai)=0.11+0.20.9+0.40.809+0.20.727+0.10.6520.814.9.某卡车为乡村小学运送书籍,共装有10个纸箱,其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱,但不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开两箱,结果都是英语书,则丢失的一箱也是英语书的概率为()A.29B.38C.112D.58答案B解析用事件A表示“丢失一箱后任取两箱是英语书”,事件Bk表示“丢失的一箱为k”,k=
9、1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书.由全概率公式得P(A)=k=13P(Bk)P(A|Bk)=12C42C92+15C52C92+310C52C92=29.P(B1|A)=P(B1)P(A|B1)P(A)=12C42C92P(A)=11229=38.故选B.10.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以事件A1,A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球;再从乙罐中随机取出一球,以B表示“由乙罐中取出的球是红球”.则P(B)=.答案922解析由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,且A1A2A3=,所以P(B
10、)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=510511+210411+310411=922.11.某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45%,35%,20%,且各车间的次品率分别为4%,2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品,则该次品由车间生产的可能性最大.答案甲解析设A1,A2,A3表示产品来自甲、乙、丙车间,事件B表示“产品为次品”,易知A1,A2,A3是样本空间中的事件,且有P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05.由全概率公
11、式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.450.04+0.350.02+0.20.05=0.035.由贝叶斯公式得P(A1|B)=0.450.040.0350.514,P(A2|B)=0.350.020.035=0.2,P(A3|B)=0.20.050.0350.286,所以,该次品由甲车间生产的可能性最大.12.盒中有a个红球,b个黑球,今随机地从中取出一个,观察其颜色后放回,并加上同色球c个,再从盒中第二次抽取一球,则第二次抽出的是黑球的概率为.答案ba+b解析设事件A表示“第一次抽出的是黑球”,事件B表示“第二次抽出的是黑球”,则B
12、=AB+AB,由全概率公式,P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A),由题意,P(A)=ba+b,P(B|A)=b+ca+b+c,P(A)=aa+b,P(B|A)=ba+b+c,所以P(B)=b(b+c)(a+b)(a+b+c)+ab(a+b)(a+b+c)=ba+b.13.轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400米,200米,100米的概率分别是0.5,0.3,0.2,又设它在距目标400米,200米,100米时的命中率分别是0.01,0.02,0.1.求目标被命中的概率为多少?解设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”,设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”,设事件A3
13、表示“飞机能飞到距目标100米处”,用事件B表示“目标被击中”.由题意,P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.2,又已知P(B|A1)=0.01,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.1.由全概率公式得到P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.010.5+0.020.3+0.10.2=0.031.新情境创新练14.第一、二、三地区爆发了某种流行病,三个地区感染此病的人比例分别为17,15,14.现从这三个地区任意抽取一个人.(1)求此人感染此病的概率;(2)若此人感染此病,求此人来自第二地区的概率.解设事件Ai表示“抽取的人来自第i个地区”(i=1,2,3);事件B表示“感染此病”.P(A1)=13,P(A2)=13,P(A3)=13.P(B|A1)=17,P(B|A2)=15,P(B|A3)=14.(1)P(B)=i=13P(Ai)P(B|Ai)=83420,(2)P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)j=13P(Aj)P(B|Aj)=2883.