1、第六章概率1随机事件的条件概率1.1条件概率的概念课后篇巩固提升合格考达标练1.100件产品中有5件次品,不放回地抽取两次,每次抽1件,已知第一次抽出的是次品,则第二次抽出正品的概率为()A.499B.9599C.599D.9499答案B解析设“第一次抽到次品”为事件A,“第二次抽到正品”为事件B,则P(A)=5100,P(AB)=51009599,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=9599.2.(2020高二下北京期中)根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为310,下雨的概率为1130,既吹东风又下雨的概率为415,则在吹东风的条件下下雨的概率为()A.89B.25C.911D.
2、811答案A解析设事件A表示“某地四月份吹东风”,事件B表示“四月份下雨”,根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率为P(B|A)=415310=89,故选A.3.在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球,不放回地依次摸出2个球,在第1次摸出红球的条件下,第2次也摸到红球的概率为()A.35B.25C.110D.59答案D解析设“第一次摸到的是红球”为事件A,则P(A)=610=35,第二次摸到红球为事件B,则“第一次摸得红球,第二次也摸得红球”为事件AB,则P(AB)=65109=13,故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=13
3、35=59.4.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45答案A解析已知连续两天为优良的概率是0.6,那么在前一天空气质量为优良的前提下,要求随后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得P=0.60.75=0.8.5.甲、乙等4人参加4100米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是()A.29B.49C.23D.79答案D解析由题得甲不跑第一棒的总的样本点有C31A33=18(个),甲不跑第一棒,乙不跑第二棒的
4、样本点有C31A33-C21A22=14(个),由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是1418=79,故选D.6.盒中有25个球,其中10个白的、5个黄的、10个黑的,从盒子中任意取出一个球,已知它不是黑球,则它是黄球的概率为.答案13解析已知取出的球不是黑球,则它是黄球的概率为55+10=13.7.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为16,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为12,则事件A发生的概率为.答案13解析由已知得,P(AB)=16,P(B|A)=12,所以P(A)=P(AB)P(B|A)=1612=13.8.从1,2,15中,甲、乙依次任
5、取一数(不放回),在已知甲取到的数是5的倍数的条件下,甲取的数大于乙取的数的概率是.答案914解析设事件A为“甲取的数是5的倍数”,事件B为“甲取的数大于乙取的数”,则P(B|A)=P(AB)P(A)=4+9+1415143141514=914.9.某校从6名学生会干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加青年联合会志愿者.求在男生甲被选中的条件下女生乙被选中的概率.解设事件A表示“男生甲被选中”,事件B表示“女生乙被选中”.则由题意可得P(A)=C52C63=12;P(AB)=C41C63=15,P(B|A)=P(AB)P(A)=25.故在男生甲被选中的条件下,女生乙也被选中的概率为25.1
6、0.从1100共100个正整数中,任取一数,已知取出的一个数不大于50,求此数是2或3的倍数的概率.解设事件C为“取出的数不大于50”,事件A为“取出的数是2的倍数”,事件B为“取出的数是3的倍数”,则P(C)=12,且所求概率为P(AB)|C=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)=P(AC)P(C)+P(BC)P(C)-P(ABC)P(C)=225100+16100-8100=3350.等级考提升练11.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在第一次抽到的是螺口灯泡的条件下,第二次抽到的是卡口
7、灯泡的概率为()A.310B.29C.78D.79答案D解析设事件A为“第一次抽到的是螺口灯泡”,事件B为“第二次抽到的是卡口灯泡”,则P(A)=310,P(AB)=31079=730,则所求概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=730310=79.12.吸烟有害健康,远离烟草,珍惜生命.据统计,一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02,一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病,则他在这一小时内继续吸烟5支未诱发脑血管病的概率为()A.67B.2125C.4950D.不确定答案A解析记事件A表示“某公司职员一小时内吸烟5支未诱发脑血
8、管病”,记事件B表示“某公司职员一小时内吸烟10支未诱发脑血管病”,则AB=B,P(A)=1-0.02=0.98,P(B)=1-0.16=0.84,因此,P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.840.98=67.13.书架上有三本数学书和两本语文书,某同学一共取了两次书,每次取一本,取后不放回,若“第一次从书架上取出一本语文书”记为事件A,“第二次从书架上取出一本数学书”记为事件B,那么在第一次取得语文书的条件下第二次取得数学书的概率P(B|A)的值是()A.12B.35C.34D.13答案C解析事件A发生的概率P(A)=25,事件AB同时发生的概率P(AB)=2354=31
9、0,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=34.14.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于()A.18B.14C.25D.12答案B解析P(A)=C32+C22C52=25,P(AB)=C22C52=110,P(B|A)=P(AB)P(A)=14.15.(多选题)将3颗骰子各掷一次,记事件A表示“三个点数都不相同”,事件B表示“至少出现一个3点”,则()A.P(B|A)=91216B.P(A|B)=518C.P(A|B)=6091D.P(B|A)=12答案CD解析事件A包含的样本点个数是n(A)=654
10、=120,事件B包含的样本点个数是n(B)=666-555=91,事件A,B同时发生的样本点个数为n(AB)=C3154=60.所以P(A|B)=n(AB)n(B)=6091,P(B|A)=n(AB)n(A)=60120=12.16.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞,则第2张也是假钞的概率为.答案217解析设事件A为“抽到2张都是假钞”,事件B为“2张中至少有一张假钞”,而P(AB)=C52C202=119,P(B)=C52+C51C151C202=1738,所以P(A|B)=P(AB)P(B)=217.17.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观
11、察向上的点数,记“红骰子向上的点数大于3”为事件A.“两颗骰子的点数之和等于8”为事件B,则P(B|A)=.答案16解析满足事件A的情况有红骰子向上的点数为4,5,6,所以P(A)=36=12,同时满足事件AB的情况有红骰子向上的点数为4,5,6,蓝骰子对应点数为4,3,2,所以P(AB)=366=112,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=11212=16.18.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位:分).甲组:76,90,84,86,81,87,86,82,85,83乙组:82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人,将“抽出
12、的学生为甲组学生”记为事件A;“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B,则P(AB)=,P(A|B)=.答案1459解析由题意知,P(AB)=520=14,P(B)=5+420=920,根据条件概率的计算公式得P(A|B)=P(AB)P(B)=14920=59.19.盒内装有16个大小、形状完全相同的球,其中6个是玻璃球,10个是木质球.玻璃球中有2个是红色的,4个是蓝色的;木质球中有3个是红色的,7个是蓝色的.现从中任取1个,已知取到的是蓝球,该球是玻璃球的概率是多少?解由题意得球的分布如表:颜色玻璃球木质球总计红235蓝4711总计61016设事件A表示“取得蓝球”,事件B表
13、示“取得玻璃球”,(方法一)则P(A)=1116,P(AB)=416=14.所以P(B|A)=P(AB)P(A)=141116=411.(方法二)因为n(A)=11,n(AB)=4,所以P(B|A)=n(AB)n(A)=411.20.一袋中共有10个大小相同的黑球和白球.若从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球的概率为79,(1)求白球的个数;(2)现从中不放回地取球,每次取1球,取两次,已知第二次取得白球,求第一次取得黑球的概率.解(1)记“从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球”为事件A,记袋中白球数为x个.则P(A)=1-C10-x2C102=79,故x=5,即白球的个数为5.(2)令“第二
14、次取得白球”为事件B,“第一次取得黑球”为事件C,则P(BC)=C51C101C51C91=2590=518,P(B)=C51C51+C51C41C101C91=25+2090=12.故P(C|B)=P(BC)P(B)=51812=59.新情境创新练21.高三毕业时,小红、小鑫、小芸等五位同学站成一排合影留念,已知小红、小鑫二人相邻,则小鑫、小芸相邻的概率是.答案14解析设“小红、小鑫二人相邻”为事件A,“小鑫、小芸二人相邻”为事件B,则所求概率为P(B|A),而P(A)=2A44A55=25,事件AB表示“小鑫与小红、小芸都相邻”,故P(AB)=2A33A55=110,于是P(B|A)=11
15、025=14.22.某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少能答对其中的4道题即可通过;若至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.解设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题而另1道答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=ABC,E=AB,由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=C106C206+C105C101C206+C104C102C206=12 180C206,P(E|D)=P(AB)|D=P(A|D)+P(B|D)=P(A)P(D)+P(B)P(D)=210C20612 180C206+2 520C20612 180C206=1358,即所求概率为1358.