1、第七章 不等式第四节 基本不等式栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识难度中档.逻辑推理课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1重要不等式a2b2 1 _(a，bR)(当且仅当 2 _时等号成立)2基本不等式 abab2(1)基本不等式成立的条件：3 _2ababa0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当 4 _时等号成立
2、(3)其 中 ab2叫 做 正 数 a，b 的 5 _，ab 叫 做 正 数 a，b 的 6_ab算术平均数几何平均数3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果 x，y(0，)，且 xyP(定值)，那么当且仅当 7 _时，xy 有最小值 2 P.(简记：“积定和最小”)(2)如果 x，y(0，)，且 xyS(定值)，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值S24.(简记：“和定积最大”)xy4常用的几个不等式(1)ab 8 _(a0，b0)(2)ab 9 _(a，bR)(3)ab22a2b22(a，bR)(4)baab 10 _(a，b 同号)以上不等式等号成立的条件均为 ab.2 abab2
3、22常用结论1应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”忽略某个条件，就会出错2对于公式 ab2 ab，abab22，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 ab 的转化关系3在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个不等式 a2b22ab 与ab2 ab成立的条件是相同的()(2)函数 yx1x的最小值是 2.()(3)函数 f(x)sin x 4sin x的最小值为 4.()(4)“x0 且 y0”是“xyyx2”的
4、充要条件()解析：(1)不等式 a2b22ab 成立的条件是 a，bR；不等式ab2 ab成立的条件是 a0，b0.(2)函数 yx1x值域是(，22，)，没有最小值(3)函数 f(x)sin x 4sin x无最小值(4)“x0 且 y0”是“xyyx2”的充分不必要条件 答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 5P99 例 1(2)改编)设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为()A80 B77C81 D82解析：选 C x0，y0，xy2 xy，即 xyxy2281，当且仅当 xy9 时，(xy)max81.3(必修 5P100A 组 T2 改编)若把总长为 20
5、m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.解析：设矩形的一边为 x m，面积为 y m2，则另一边为12(202x)(10 x)m，x0，10 x0，yx(10 x)x（10 x）2225，当且仅当 x10 x，即 x5 时，ymax25.答案：25三、易错自纠4若 x0，则 x1x()A有最小值，且最小值为 2B有最大值，且最大值为 2C有最小值，且最小值为2D有最大值，且最大值为2解析：选 D 因为 x0，所以x 1x2 12，当且仅当x1x，即 x1 时等号成立，所以 x1x2.5设 x0，则函数 yx22x132的最小值为()A0 B.12C1 D.32解析：选 A y
6、x22x132x12 1x1222x12 1x1220，当且仅当 x12 1x12，即 x12时等号成立，函数的最小值为 0.故选 A.6若正数 x，y 满足 3xy5xy，则 4x3y 的最小值是()A2 B3C4 D5解析：选 D 由 3xy5xy，得3xyxy 3y1x5，所以 4x3y(4x3y)153y1x 15493yx 12xy 15(492 36)5，当且仅当3yx 12xy，即 y2x 时“”成立，故 4x3y 的最小值为 5.故选 D.课 堂 考 点 突 破2考点 基本不等式的概念|题组突破|1下列不等式证明过程正确的是()A若 a，bR，则baab2baab2B若 x0，
7、y0，则 lg xlg y2 lg xlg yC若 x0，则 x4x2x4x4D若 x2 2x2x2解析：选 D x1，2x2x2 2x2x2，选项 D 正确；而选项 A、B 不满足“一正”，选项 C 应为“”故选 D.2“x0”是“x1x2 成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 C 当 x0 时，x1x2x1x2；因为 x1x2，所以 x1x20，即x22x1x（x1）2x0，所以 x0，所以“x0”是“x1x2 成立”的充要条件，故选 C.3设 0ab，则下列不等式中正确的是()Aab abab2Ba abab2 bCa abbab2D.ab
8、aab2 b解析：选 B 因为 0ab，所以 a ab a(a b)0，故 a0，所以 bab2；由基本不等式知ab2 ab.综上所述，a abab2 0，则a44b41ab的最小值为_(2)已知 x0，4ab 1ab24ab 1ab4 当且仅当 4ab 1ab时“”成立，故当且仅当a22b2，4ab 1ab时，a44b41ab的最小值为 4.(2)因为 x0，则 f(x)4x214x554x154x 3231，当且仅当 54x154x，即 x1 时等号成立 故 f(x)4x214x5的最大值为 1.答案(1)4(2)1命题角度二 求含有等式条件的函数的最值【例 2】(一题多解)在ABC 中，
9、角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4ac 的最小值为_解析 解法一：依题意画出图形，如图所示BD 是ABC 的角平分线，ABC120，ABDDBC60.易知 SABDSBCDSABC，即12csin 6012asin 6012acsin 120，acac，1a1c1，4ac(4ac)1a1c 5ca4ac 9，当且仅当ca4ac，即 a32，c3 时取“”解法二：以 B 为原点，BD 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 D(1，0)由题意知，ABc，BCa，Ac2，32 c，Ca2，32 a.A，D，C
10、 三点共线，AD DC，1c2 32 a 32 ca21 0，acac，1a1c1，4ac(4ac)1a1c 5ca4ac 9，当且仅当ca4ac，即 a32，c3 时取“”答案 9命题角度三 已知不等式恒成立求参数范围【例 3】若对任意 x0，xx23x1a 恒成立，则实数 a 的取值范围是()Aa15Ba15Ca0，xx23x1a 恒成立，所以对 x(0，)，axx23x1 max，而对 x(0，)，xx23x11x1x312x1x315，当且仅当 x1x时等号成立，所以 a15.故选 A.答案 A名师点津 利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”但应注意以
11、下两点：正数；验证等号成立(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的替换，构造不等式求解|跟踪训练|1已知 a0，b0，ab1，则11a 11b 的最小值为_解析：11a 11b 1aba1abb2ba 2ab 52baab 549，当且仅当 ab12时取等号 答案：92(2019 届南昌市摸底调研)已知函数 yx mx2(x2)的最小值为 6，则正数 m 的值为_解析：因为 x2，m0，所以 yx2 mx222（x2）mx222
12、m2，当且仅当 x2 m时取等号又函数 yx mx2(x2)的最小值为 6，所以 2 m26，解得 m4.答案：43(一题多解)(2019 届长沙市统一模拟)若 a0，b0，abab，则 ab 的最小值为_解析：解法一：由于 abab（ab）24，因此 ab4 或 ab0(舍去)，当且仅当 ab2 时取等号解法二：由题意，得1a1b1，所以 ab(ab)1a1b 2abba224，当且仅当 ab2 时取等号 答案：4考点二 利用基本不等式解决实际问题【例 4】某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，
13、最多为600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y12x2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解 (1)由 题 意 可 知，二 氧 化 碳 每 吨 的 平 均 处 理 成 本 为 yx 12 x 80 000 x200212x80 000 x200200，当且仅当12x80 000 x，即 x400 时等号成立，故该单位月处理量为 400 吨
14、时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200元(2)不获利设该单位每月获利为 S 元，则 S100 xy100 x12x2200 x80 00012x2300 x80 00012(x300)235 000，因为 x400，600，所以 S80，000，40 000故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不亏损名师点津 利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围(2)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解|跟踪训练|4某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的泳池，池的深度为
15、1米，池的四周墙壁建造单价为每米 400 元，中间一条隔壁建造单价为每米 100 元，池底建造单价每平方米 60 元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低解：设泳池的长为 x 米，则宽为200 x 米，总造价 f(x)4002x2200 x100200 x60200800 x225x12 0001 600 x225x 12 00036 000(元)，当且仅当 x225x(x0)，即 x15 时等号成立，即泳池的长设计为 15 米时，可使总造价最低考点 基本不等式与其他知识的综合应用【例】(1)已知正项等比数列an的公比为 3，若 aman9a22，则2m 12n的最小值等
16、于()A1 B.12C.34D.32(2)若向量 m(a1，2)，n(4，b)，且 mn，a0，b0，则 log13alog31b有()A最大值 log312B最小值 log32C最大值log1312D最小值 0解析(1)正项等比数列an的公比为 3，且 aman9a22，a23m2a23n2a223mn49a2232a22，mn6.又 m，nN*，2m 12n16(mn)2m 12n 162m2n2nm12 16522 34，当且仅当 m2n，即 m4，n2 时取等号故选 C.(2)由 mn，得 mn0，即 4(a1)2b0，2ab2，22 2ab，ab12(当且仅当 2ab 时，等号成立)
17、，而 log13alog31blog13alog13blog13(ab)log1312log32，即 log13alog31b有最小值 log32，故选 B.答案(1)C(2)B名师点津 与其他知识交汇的最值问题的解题策略基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点2用基本不等式求最值，要有用基本不等式求最值的意识3检验等号是否成立，完成后续问题|跟踪训练|1已知ABC 的面积为 1，内切圆半径也为 1，若ABC 的三边长分别为 a，b，c，则 4abab
18、c 的最小值为()A2 B2 2C4 D22 2解析：选 D 因为ABC 的面积为 1，内切圆半径也为 1，所以12(abc)11，所以 abc2，所以 4ababc 2（abc）ababc 2 2cababc 22 2，当且仅当 ab 2c，即 c2 22 时等号成立，所以 4ababc 的最小值为 22 2，故选 D.2若 P 为圆 x2y21 上的一个动点，且 A(1，0)，B(1，0)，则|PA|PB|的最大值为()A2 B2 2C4 D4 2解析：选 B 由题意知APB90，|PA|2|PB|24，|PA|PB|22|PA|2|PB|222(当且仅当|PA|PB|时取等号)，|PA|PB|2 2，|PA|PB|的最大值为 2 2.故选 B.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS