1、第2课时导数的几何意义Q 下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题X 1曲线的切线：过曲线yf(x)上一点P作曲线的割线PQ，当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线yf(x)在点P的切线2导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数，就是曲线yf(x)在xx0处的切线的斜率，即kf (x0) .3函数yf(x)在点x0处切线的方程为yf(x0)f(x0)(xx0)_Y 1yax21的图
2、像与直线yx相切，则a(B)ABCD1解析a(x)2ax， 2ax，即y2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax01，x0.切点在直线yx上，y0 .代入yax21得1，a，故选B.2若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为3xy10，则(B)Af (x0)0Cf (x0)0 Df (x0)不存在解析由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0)处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f (x0)3.故选B.3已知曲线yx23上一点P(1，)，则过点P的切线的斜率为(B)A B1C1 D解析yx23，y (xx)x.y|x11，过点P(1，)的切线的斜率为1.H 命题方向1求切线方
3、程典例1已知曲线C：yx3.(1)求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？思路分析求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在xx0处的导数表达式，再把x的值代入求导数值解析(1)将x2代入曲线C的方程得y4，切点P(2,4)y|x2 42x(x)24.ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)由可得(x2)2(x4)0，解得x12，x24.从而求得公共点为P(2,4)或M(4，20)即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点规律总结1.求曲线在点P(x0
4、，y0)处切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f (x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为yy0f (x0)(xx0)2过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：(1)设切点为Q(x0，y0)；(2)求出函数yf(x)在点x0处的导数f (x0)；(3)利用Q在曲线上和f (x0)kPQ，解出x0，y0及f (x0)；(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为yy0f (x0)(xx0)3要正确区分曲线yf(x)在点P处的切线，与过点P的曲线yf(x)的切线求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再分别按上述1、2求解4f (x0)0时，切线的倾
5、斜角为锐角；f (x0)0时，切线的倾斜角为钝角；f (x0)0时，切线与x轴平行f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在跟踪练习1已知曲线yx3上一点P(2，)，(1)求点P处切线的斜率；(2)写出点P处的切线方程解析(1)yx3，y 3x23xx(x)2x2.y|x2224.点P处切线的斜率为4.(2)由(1)知，点P处切线斜率为4，且点P坐标为(2，)，在点P处的切线方程是y4(x2)，即12x3y160.命题方向2求切点的坐标典例2(1)曲线f(x)在点P处的切线方程为2xy10，则点P的坐标为(1，1)；(2)曲线f(x)2x2x在点P处的切线与直线xy10垂直，则点P
6、的坐标为(，0).思路分析解此类题的步骤为：设切点坐标(x0，y0)；求导函数f (x)；求切线的斜率f (x0)；由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；由于点(x0，y0)在曲线yf(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标解析(1)设切点P为(x0，y0)，则kf(x0) .切线方程为2xy10，切线斜率为2.2.x01.f(x0)f(1)1.切点P为(1，1)(2)设切点P为(x0，y0)，则kf(x0) (4x02x1)4x01.在P处的切线与xy10垂直，4x011.x0.f(x0)f()2()20.切点P为(，0)规律总结切点问题的处理方法(1)由条件得到直线的倾斜角或斜率，
7、由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标(2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，直线平行或垂直与斜率的关系等跟踪练习2已知曲线yx22上一点P(1，)，则过点P的切线的倾斜角为(B)A30B45C135D165解析yx22y (xx)x.y|x11.点P(1，)处切线的斜率为1，则过P点切线的倾斜角为45.X 导数几何意义的综合应用 导数的几何意义的综合运用，主要是依据函数yf(x)在xx0处的导数，即曲线f(x)在点x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围以及直线间的位置关系等求解相
8、关问题典例3已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l1，l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积解析(1) f(1) (x3)3，所以直线l1的方程为y3x3.设直线l2与曲线yx2x2相切于点B(b，b2b2)，则可求得切线l2的斜率为2b1.因为l1l2，则有2b1，b.所以直线l2的方程为yx.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为(，)l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，(，0)所以所求三角形的面积S|.规律总结1.导数的几何意义是指：曲线yf(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率就是
9、函数yf(x)在xx0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值2运用导数几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率3若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解跟踪练习3曲线yx3在点(a，a3)(a0)处的切线与x轴、直线xa所围成的三角形的面积为，则a1.解析f(a) 3a2，曲线在(a，a3)处的切线方程为ya33a2(xa)，切线与x轴的交点为(a,0)三角形面积为|aa|a3|，得a1.Y 对导数的几何意义理解不
10、够深刻，导致判断错误 典例4过曲线yx3上的点P(1,1)作该曲线的切线，求过点P(1,1)的切线方程错解在x1处，y (x)23x33，所以切线方程为y13(x1)，即y3x2.正解当P(1,1)为切点时，可求得切线方程为y3x2.当P(1,1)不是切点时，设切点为Q(x0，x)，则由导数的定义，得在xx0处，y3x，所以切线方程为yx3x(xx0)，将点(1,1)代入，得1x3x(1x0)，即2x3x10，所以(x01)2(2x01)0，由题意知只能是2x010，所以x0，故切点为(，)，故切线方程为yx.综上，所求切线的方程为y3x2或yx.点评错误原因：求曲线上过某点的切线方程时，把该
11、点作了切点，事实上也可能不是切点，甚至即便是切点也可能导数不存在纠错心得：函数在某点处可导是曲线在该点存在切线的充分不必要条件，注意“在”和“过”的区别,跟踪练习4已知曲线y.(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为的曲线的切线方程解析(1)设过点A(1,0)的切线的切点坐标为(a，)因为 ，所以该切线的斜率为，切线方程为y(xa)将A(1,0)代入式，得a.所以所求的切线方程为y4x4.(2)设切点坐标为P(x0，)，由(1)知，切线的斜率为k，则，x0.那么切点为(，)或(，)所以所求的切线方程为yx或yx.K 1(2019深圳高二检测)曲线yf(x)在点(2，2)处的切
12、线的斜率k为(C)ABC1D解析k 1.2(2019阜阳高二检测)函数yf(x)的图像在点P(5，f(5)处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)(C)AB1C2D0解析yf(x)的图像在点P(5，f(5)处的切线方程为yx8，可得yf(x)在点P(5，f(5)处的切点和切线斜率f(5)583，f(5)1，则f(5)f(5)2.3(2019临沂高二检测)曲线yx33x21在点P处的切线平行于直线y9x1，则此切线的方程为(D)Ay9x By9x26Cy9x26 Dy9x6或y9x26解析(x)23x0x3x3x6x0f(x0)3x6x03x6x09.解x03或x01，点P(3,1)或(1，3)切线斜率为9.y9x26或y9x6.选D.4(2019威海高二检测)已知曲线f(x)x21与g(x)x31在xx0处的切线互相垂直，求x0的值解析因为f (x) (2xx)2x，g(x) (x)23xx3x2)3x2，所以k12x0，k23x，由k1k21，即6x1，解得x0.