1、第二章圆锥曲线3抛物线3.1抛物线及其标准方程课后篇巩固提升合格考达标练1.抛物线y=2x2的焦点到准线的距离是()A.2B.1C.14D.12答案C解析抛物线y=2x2化为x2=12y,焦点到准线的距离为14.2.抛物线y=-4x2的焦点坐标为()A.(0,-1)B.0,-116C.0,-14D.-14,0答案B3.若动点P与定点F(1,1)和直线l:3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线答案D4.已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)答案B解析
2、抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-p2,由题设知-p2=-1,即p=2,故焦点坐标为(1,0).故选B.5.经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为()A.y2=x或x2=-8yB.y2=x或y2=8xC.y2=-8xD.x2=-8y答案A解析因为点P在第四象限,所以抛物线开口向右或向下.当开口向右时,设抛物线方程为y2=2p1x(p10),则(-2)2=8p1,所以p1=12,所以抛物线方程为y2=x.当开口向下时,设抛物线方程为x2=-2p2y(p20),则42=4p2,p2=4,所以抛物线方程为x2=-8y.综上可得,抛物线方程为x2=-8y或y2=x.6.已知抛物线C:y2=
3、x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0等于()A.4B.2C.1D.8答案C解析54x0=x0+14,x0=1.7.已知双曲线x2m-y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点,则m=.答案3解析由题意得m+1=22,解得m=3.8.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案9解析抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为x=-1.由M到焦点的距离为10,可知M到准线x=-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM+1=10,解得xM=9,所以点M到y轴的距离为9.9.根据下列条件分别求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2
4、-9y2=144的左顶点;(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.解(1)双曲线方程可化为x29-y216=1,左顶点为(-3,0),由题意设抛物线方程为y2=-2px(p0)且-p2=-3,p=6,抛物线的方程为y2=-12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2px(p0),A(m,-3),由抛物线定义得5=|AF|=m+p2.又(-3)2=2pm,p=1或p=9,故所求抛物线方程为y2=2x或y2=18x.等级考提升练10.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为()A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆答案A解析
5、设圆C的半径为r,则圆心C到直线y=0的距离为r,由两圆外切可得,圆心C到点(0,3)的距离为r+1,所以点C到点(0,3)的距离和它到直线y=-1的距离相等,符合抛物线的特征,故点C的轨迹是抛物线.11.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5,则PFO的面积为()A.1B.2C.3D.4答案B解析由题意,知抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1.因为抛物线y2=4x上的一点P到焦点的距离为5,由抛物线的定义可知,点P到准线x=-1的距离是5,则点P到y轴的距离是4,所以P(4,4),所以PFO的面积为1214=2.12.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1
6、,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.2B.3C.115D.3716答案A解析如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为到点F的距离,由图可知,距离和的最小值,即点F到直线l1的距离d=|4+6|(-3)2+42=2.13.(多选题)对抛物线y=18x2,下列描述正确的是()A.开口向上,焦点为(0,2)B.开口向右,准线方程为x=-132C.开口向右,焦点为132,0D.开口向上,准线方程为y=-2答案AD解析抛物线化成标准方程形式x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2.14.(多选题)已知抛物线的准线与直线x=1的距离
7、为3,则抛物线的标准方程为()A.y2=8xB.y2=-16xC.y2=-8xD.y2=16x答案AB解析由准线平行于y轴,可设抛物线的方程为y2=mx(m0).当m0时,2p=m,所以p=m2,抛物线的准线方程为x=-m4,依题意得1-m4=3,所以m=8,所以抛物线的方程为y2=8x;当m0不符合此种情况,所以m=-16,所以抛物线的方程为y2=-16x.15.若抛物线y2=2px(p0)的焦点与双曲线x24-y25=1的右焦点重合,则实数p的值为.答案6解析因为双曲线x24-y25=1的右焦点为(3,0),所以p2=3,p=6.16.若双曲线x2m-y23=1的右焦点与抛物线y2=12x
8、的焦点重合,则m=.答案6解析抛物线的焦点为(3,0),则m+3=3,且m0,故m=6.17.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.解(方法一)由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x0时,直线y=0上的点适合条件;当x0时,原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,x=-1为准线的抛物线,方程为y2=4x.故所求动点P的轨迹方程为y2=4x,x0,0,x0.(方法二)设点P的坐标为(x,y),则有(x-1)2+y2=|x|+1,两边平方并化简得y2
9、=2x+2|x|.y2=4x,x0,0,x0,即动点P的轨迹方程为y2=4x,x0,0,x0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+OB,求的值.解(1)直线AB的方程是y=22x-p2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,故x1+x2=5p4.由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.故抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,则y1=-22,y2=42.故A(1,-22),B(4,42).设OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(1+4,-22+42),又y32=8x3,即22(2-1)2=8(4+1),可得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.