1、2015-2016学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合A=x|x0，B=x|x1，则AB=2复数（2+i）i的虚部为3命题：“若a0，则a20”的否命题是“”4若函数f（x）=2cosx，则f（x）=5lg+2lg2+（）0=6幂函数f（x）=x（R）过点（2，），则f（16）=7直线l过点（1，1），且与直线x+2y+2016=0平行，则直线l的方程为（答案写成一般式方程形式）8将函数y=sinx的图象向右至少平移个单位可得到函数y=cosx的图象9“a0”是方程“ax2+2x+1=0至
2、少有一个负数根”的条件10已知f（x）=3x|x|，且f（1a）+f（2a）0，则实数a的取值范围是11已知sin2=，则cos2（+）=12过直线y=2x上的一点P作M：（x2）2+（y1）2=1的两条切线l1，l2，A，B两点为切点若直线l1，l2关于直线y=2x对称，则四边形PAMB的面积为13考察下列等式：cos+isin=a1+b1i，（cos+isin）2=a2+b2i，（cos+isin）3=a3+b3i，（cos+isin）n=an+bni，其中i为虚数单位，an，bn（nN*）均为实数由归纳可得，当=时，a2016+b2016的值为14已知函数f（x）=（+）（21），若关于
3、x的方程f（x）=m有实数解，则实数m的取值范围为二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15已知复数z=1i（1）设w=z（1+i）13i，求|w|；（2）如果=i，求实数a，b的值16定义在实数集上的函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=x2+ax+a（1）求f（x）、g（x）的解析式；（2）命题p：x1，2，f（x）1，命题q：x1，2，g（x）1，若pq为真，求a的范围17已知函数f（x）=sinx2cos2（1）求f（）的值；（2）当x0，时，求函数f（x）的值域；（3）若直线x=x0是函数y=f（4x）图象的对称轴
4、，且x00，求x0的值18在平面直角坐标系xOy中，C经过二次函数f（x）=（x2+2x3）与两坐标轴的三个交点（1）求C的标准方程；（2）设点A（2，0），点B（2，0），试探究C上是否存在点P满足PA=PB，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由19定义在a，b上的函数f（x），若存在x0（a，b）使得f（x）在a，x0上单调递增，在x0，b上单调递减，则称f（x）为a，b上的单峰函数，x0为峰点（1）若f（x）=x3+3x，则f（x）是否为0，2上的单峰函数，若是，求出峰点；若不是，说明理由；（2）若g（x）=m4x+2x在1，1上不是单峰函数，求实数m的取值范围；（3）若h（x）=
5、|x21|+n|x1|在2，2上为单峰函数，求负数n的取值范围20已知函数f（x）=x22alnx（aR），g（x）=2ax（1）求函数f（x）的极值；（2）若a0，函数h（x）=f（x）g（x）有且只有一个零点，求实数a的值；（3）若0a1，对于区间1，2上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，求a的取值范围2015-2016学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合A=x|x0，B=x|x1，则AB=0，1）【考点】交集及
6、其运算【分析】借助于数轴直接利用交集的运算求解【解答】解：如图，因为集合A=x|x0，B=x|x1，所以，AB=x|x0x|x1=0，1）故答案为0，1）2复数（2+i）i的虚部为2【考点】复数的基本概念【分析】先由复数的乘法求出复数，再由复数的概念求解【解答】解：（2+i）i=1+2i由复数的概念可得：虚部为2故答案为：23命题：“若a0，则a20”的否命题是“若a=0，则a20”【考点】四种命题【分析】写出命题的条件与结论，再根据否命题的定义求解【解答】解：命题的条件是：a0，结论是：a20否命题是：若a=0，则a20故答案为：若a=0，则a204若函数f（x）=2cosx，则f（x）=2
7、sinx【考点】导数的运算【分析】根据函数的导数公式进行求解即可【解答】解：f（x）=2cosx，f（x）=2sinx，故答案为：2sinx5lg+2lg2+（）0=2【考点】对数的运算性质【分析】利用对数、指数性质、运算法则求解【解答】解：lg+2lg2+（）0=lg+1=lg（）+1=lg10+1=2故答案为：26幂函数f（x）=x（R）过点（2，），则f（16）=4【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据幂函数过点（2，），代入求出函数的解析式即可【解答】解：幂函数f（x）=x（R）过点（2，），f（2）=2=，则=，即f（x）=，则f（16）=4，故答案为：47直线l过点
8、（1，1），且与直线x+2y+2016=0平行，则直线l的方程为x+2y3=0（答案写成一般式方程形式）【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】设直线l过点（1，1），且与直线x+2y+2016=0平行的直线方程为x+2y+c=0，把点A（1，1）代入，能求出直线方程【解答】解：设直线l过点（1，1），且与直线x+2y+2016=0平行的直线方程为x+2y+c=0，把点A（1，1）代入，得：1+2+c=0，解得c=3，所求直线方程为：x+2y1=0故答案为：x+2y3=08将函数y=sinx的图象向右至少平移个单位可得到函数y=cosx的图象【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【
9、分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数y=sinx的图象向右至少平移个单位可得到函数y=sin（x）=cosx的图象，故答案为：9“a0”是方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；元素与集合关系的判断【分析】我们先判断“a0”时，方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”是否成立，再判断方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”时，“a0”是否成立，然后结合充要条件的定义，即可得到答案【解答】解：当a0时，=44a0，由韦达定理知x1x2=0，故此一元二次方程有一个正根和一
10、个负根，符合题意；当ax2+2x+1=0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a=0时，该方程仅有一根为，所以a不一定小于0由上述推理可知，“a0”是方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的充分不必要条件故答案为：充分不必要10已知f（x）=3x|x|，且f（1a）+f（2a）0，则实数a的取值范围是（，1）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据条件判断函数f（x）是增函数同时也是奇函数，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可【解答】解：当x0时，f（x）=3x2，此时函数为增函数且f（x）0，当x0时，f（x）=3x2，此时函数为增函数且f（x）0，综上函数f（x）在R
11、上是增函数，f（x）=3x|x|=f（x），f（x）是奇函数，则不等式f（1a）+f（2a）0等价为f（2a）f（1a）=f（a1），则2aa1，得a1，即实数a的取值范围是（，1），故答案为：（，1）11已知sin2=，则cos2（+）=【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦【分析】用二倍角的余弦公式化简后代入已知即可【解答】解：sin2=，cos2（+）=故答案为：12过直线y=2x上的一点P作M：（x2）2+（y1）2=1的两条切线l1，l2，A，B两点为切点若直线l1，l2关于直线y=2x对称，则四边形PAMB的面积为【考点】直线与圆的位置关系【分析】本题考查了直线和圆的有关问题，结合对称
12、性，可以判断出MP和直线y=2x对称，利用切线长相等，可以求出两个全等的三角形的面积【解答】解：直线l1，l2关于直线y=2x对称，所以PM与直线y=2x垂直，由点到直线的距离公式可得PM=，因为切线长相等，PAMPBM，所以四边形的面积为：2故答案为：13考察下列等式：cos+isin=a1+b1i，（cos+isin）2=a2+b2i，（cos+isin）3=a3+b3i，（cos+isin）n=an+bni，其中i为虚数单位，an，bn（nN*）均为实数由归纳可得，当=时，a2016+b2016的值为1【考点】归纳推理【分析】由题意，（cos+isin）2016=a2016+b2016i
13、，结合=及复数的运算，即可得出结论【解答】解：由题意，（cos+isin）2016=a2016+b2016i，cos2016+isin2016=a2016+b2016i，=时，cos1008+isin1008=a2016+b2016i，a2016+b2016i=1，a2016+b2016=1故答案为：114已知函数f（x）=（+）（21），若关于x的方程f（x）=m有实数解，则实数m的取值范围为m2【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】构造函数令t=+，（+）2=2+2=t2，通过求导，判断函数的单调性，求出函数的最值，得出m的取值范围【解答】解：令t=+，（+）2=2+2=t2，21=t2
14、3，1t231，t2，f（x）=（+）（21）=t33t，y=3t23，定义域内递增，f（x）2，关于x的方程f（x）=m有实数解，m2，故答案为m2，二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15已知复数z=1i（1）设w=z（1+i）13i，求|w|；（2）如果=i，求实数a，b的值【考点】复数代数形式的混合运算；复数代数形式的乘除运算【分析】（1）利用复数的运算化简w，求模；（2）首先化简分子、分母，利用复数相等求a，b【解答】解（1）因为z=1i，所以w=z（1+i）13i=13i |w|=；（2）由题意得：z2+az+b=（1i）2+a（1i
15、）+b=a+b（2+a）i；（1+i）i=1+i所以，解得16定义在实数集上的函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=x2+ax+a（1）求f（x）、g（x）的解析式；（2）命题p：x1，2，f（x）1，命题q：x1，2，g（x）1，若pq为真，求a的范围【考点】复合命题的真假；函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）根据函数的奇偶性，联立方程组，解出函数的解析式即可；（2）分别求出f（x），g（x）的最小值，根据复合命题的真假，求出a的范围即可【解答】解：（1）由f（x）+g（x）=x2+ax+a，得f（x）+g（x）=x2ax+a因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数
16、，所以f（x）=f（x），g（x）=g（x），所以f（x）+g（x）=x2ax+a，联立得f（x）=ax，g（x）=x2+a（2）若p真，则fmin（x）1，得a1，若q真，则gmin（x）1，得a1，因为pq为真，所以a1或a117已知函数f（x）=sinx2cos2（1）求f（）的值；（2）当x0，时，求函数f（x）的值域；（3）若直线x=x0是函数y=f（4x）图象的对称轴，且x00，求x0的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）用二倍角的余弦公式变形、两角和的正弦公式化简解析式，求出f（）的值；（2）由x的范围和正弦函数的图象与性质求出f（x）的值域；（3）由
17、（1）求出f（4x）的解析式，由正弦函数的对称轴方程列出方程化简，由x00，求出x0的值【解答】解：（1）由题意得，f（x）=sinxcosx1=，所以f（）=1； （2）由（1）得，f（x）=由x0，得x，则则所以值域为2，（3）由（1）得，y=f（4x）=，令得，解得，由（kZ）得k=0因此18在平面直角坐标系xOy中，C经过二次函数f（x）=（x2+2x3）与两坐标轴的三个交点（1）求C的标准方程；（2）设点A（2，0），点B（2，0），试探究C上是否存在点P满足PA=PB，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由【考点】二次函数的性质【分析】（1）设出圆的方程，分别令x=0，y=0，
18、求出D、E、F的值，从而求出圆的标准方程即可；（2）假设存在点P（x，y）满足题意，得到关于x，y的方程组，求出P的坐标即可【解答】解：（1）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0 得x2+Dx+F=0，这与x2+2x3=0是同一个方程，故D=2，F=3，令x=0 得y2+Ey=F=0，此方程有一个根为3，代入得E=0，所以圆C 的标准方程为（x+1）2+y2=4（）假设存在点P（x，y）满足题意，则PA2=2PB2，于是（x+2）2+y2=2（x2）2+2y2，化简得（x6）2+y2=32又因为点P在C上，故满足（x+1）2+y2=4联立解得点P的坐标为（，），（，）所
19、以存在点P满足题意，其坐标为（，），（，）19定义在a，b上的函数f（x），若存在x0（a，b）使得f（x）在a，x0上单调递增，在x0，b上单调递减，则称f（x）为a，b上的单峰函数，x0为峰点（1）若f（x）=x3+3x，则f（x）是否为0，2上的单峰函数，若是，求出峰点；若不是，说明理由；（2）若g（x）=m4x+2x在1，1上不是单峰函数，求实数m的取值范围；（3）若h（x）=|x21|+n|x1|在2，2上为单峰函数，求负数n的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明【分析】（1）若f（x）=x3+3x，利用导数法分析f（x）在区间0，2上的单调性，根据单峰函
20、数的定义，可得答案；（2）先求出g（x）=m4x+2x在1，1上是单峰函数的实数m的取值范围，进而可得答案；（3）根据单峰函数的定义，对负数n的取值进行分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案【解答】解：（1）若f（x）=x3+3x，则f（x）=3x2+3，令f（x）=0，解得x=1，当x0，1）时，f（x）0，当x（1，2时，f（x）0，故f（x）在0，1）上单调递增，在（1，2上单调递减，所以f（x）是为0，2上单峰函数，峰点为1（2）先考虑g（x）=m4x+2x在1，1上是单峰函数，令t=2x（x1，1），则t，2，问题转化为p（t）=mt2+t在，2是单峰函数，所以，解得m（1，）所以实数
21、m的范围是（，1，+）（注本题如正面分类讨论也可，酌情给分）（3）h（x）=|x21|+n|x1|=若2，即n4，则2，所以，h（x）在2，1上递增，在（1，1）上递增，在1，2上递减，即h（x）在2，1上递增，在1，2上递减，所以h（x）是单峰函数，峰点为1； 若21，即4n2，则12，所以，h（x）在2，递减，在（，1）上递增，在（1，1）上递增，（1，）上递减，在，2上递增，所以h（x）不为单峰函数 若10，即2n0，则01，所以，h（x）在2，1上递减，在（1，）上递增，在（，1）上递减，在1，2上递增，所以h（x）不为单峰函数 综上，n4 20已知函数f（x）=x22alnx（aR）
22、，g（x）=2ax（1）求函数f（x）的极值；（2）若a0，函数h（x）=f（x）g（x）有且只有一个零点，求实数a的值；（3）若0a1，对于区间1，2上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值问题；（2）求出h（x）的导数，求出h（x）的单调区间，求出极小值，得到函数m（x）=2lnx+x1，根据函数的单调性求出a的值即可；（3）问题转化为h（x）在1，2递增，求出函数的导数，分离参数得到
23、a在1，2恒成立，令t=x+12，3，从而求出a的范围即可【解答】解：（1）f（x）=，当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，f（x）无极值，当a0时，x（0，）时，f（x）0，f（x）递减，x（，+）时，f（x）0，f（x）递增，f（x）有极小值f（）=aalna，综上：a0时，f（x）无极值，a0时，f（x）极小值=aalna，无极大值；（2）令h（x）=x22alnx2ax，则h（x）=，a0，令h（x）=0，解得x0=，h（x）在（0，）递减，在（，+）递增，h（x）在x0处取得极小值h（x0）=0，2alnx02ax0=0且22ax02a=0，联立可得：2lnx0+x01=0，令m（x）=2lnx+x1得m（x）=+10，故m（x）在（0，+）递增又m（1）=0，x0=1，即=1，解得：a=；（3）不妨令1x1x22，则由（1）得f（x1）f（x2）|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）f（x2）f（x1）g（x2）g（x1）f（x2）g（x2）f（x1）g（x1），则h（x）在1，2递增，h（x）=0在1，2恒成立，即2x22ax2a0在1，2恒成立，a在1，2恒成立，令t=x+12，3，则=t+2，0a，a的范围是（0，2016年11月1日
