1、3综合法与分析法Q C先生上了公交车却发现没带钱包，售票员不由分说让他下车，一位小伙子微笑着递过一块钱，C先生很感激车上的人开始小声议论C先生是骗钱的，就在C先生生气准备甩票下车的时候，借钱给他的小伙子大声问：“能不能借一下您的手机？”C先生递过手机，小伙子拨了个号码，说了两三分钟的话，C先生想这下可以证明我的清白了下车后C先生打开手机愣住了，原来小伙子根本没有拨通电话，但是直接证明了他的清白X 1综合法(1)直接证明：直接证明的概念直接从原命题的_条件_逐步推得_结论_成立，这种证明方法叫作直接证明直接证明的一般形式本题结论(2)综合法定义：从命题的条件出发，利用_定义_、_公理_、_定理_
2、及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明我们把这样的思维方法称为综合法综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一般列的中间推理，最后导出所要求证的命题综合法是一种由因导果的证明方法(3)综合法的基本思路用_P_表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，_Q_表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为其逻辑依据是三段论式演绎推理2分析法(1)定义：从求证的_结论_出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的_充分_条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等我们把这样的
3、思维方法称为分析法分析法也是数学证明中的一种常用的直接方法，它先假设所要求证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断，而当这些判断恰恰都是已知的命题(定义、公理、法则、公式等)时，命题得证(2)分析法的基本思路分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件若用_P_表示要证明的结论，则分析法的推理形式为(3)用分析法证题时，应注意叙述的逻辑性与规范性，即分析法的独特的表述形式：如证明“若A，则B”，这个命题的模式是：要证B成立，只需证A1成立(A1是B成立的充分条件)要证A1成立，只需证A2成立(A2是A1成立的充分
4、条件)要证Ak成立，只需证A成立(A是Ak成立的充分条件)显然A成立AK成立，B成立Z 分析法与综合法的区别与联系(1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好(2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后的一步归结为已被证明了的事实因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明过程就是综合法分析法便于思考，叙述较繁；综合法叙述条理清楚，不便于思考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条
5、理清楚所以实际解题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：分析找思路，综合写过程(3)当待解决问题，一时打不开思路，不知从何入手时，有时可以运用分析法去探求解题思路，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效的方法另外，对于恒等式的证明，也同样可以运用分析法证明又如在立体几何证明题中，将待证结论作为条件和其他已知条件结合起来分析，看能够得出什么“结论”来逐步探求证题的思路，也是常用方法Y 1综合法是(B)A执果索因的逆推法B由因导果的顺推法C因果分别互推的两头凑法D证明命题的唯一方法解析综合法是由因导果的顺推法，故选B2要证明0，b0，则下列不等式中不成立的是(D)Aab2B(ab)
6、4CabD解析a0，b0，ab2，1，.4设a0，b0，c0，若abc1，则的最小值为_9_.解析a0，b0，c0，abc1，332229，当且仅当abc时等号成立5设ab0，求证：3a32b33a2b2ab2.解析因为ab0，所以ab0,3a22b23(a2b2)3(ab)(ab)0，所以3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)0，即3a32b33a2b2ab2.H 命题方向1综合法的应用典例1已知a、b是正数，且ab1，求证：4.思路分析注意到条件ab1，可在待证式中进行1的代换或利用字母之间的倒数关系，将待证式左边乘以1，即乘以(ab)变形后用
7、基本不等式证明也可以先将ab1利用基本不等式转化为的不等式，再看待证式能否向(或ab)转化解析解法一：a、b是正数且ab1，ab2，ab，4.4.解法二：a、b是正数，ab20，20，(ab)()4.又ab1，4.解法三：11224.当且仅当ab时，取“”号规律方法1.综合法证明数学命题的步骤第一步：分析条件，选择方向认真发掘题目的已知条件，特别是隐含条件，分析已知与结论之间的联系，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法第二步：转化条件，组织过程把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路第三步
8、：适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取2综合法证明不等式依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：a20(aR)(ab)20(a、bR)，其变形有a2b22ab，()2ab，a2b2.若a、b(0，)，则 ，2.跟踪练习1设a0，b0，ab1，求证：8.分析要证的不等式是在已知条件下成立的，从不等式的结构分析并联系已知条件可知，可用综合法证之证明a0，b0，ab1，1ab2，.4.(ab)()2248.8.命题方向2分析法的应用典例2当ab0时，求证：(ab)解析要证(ab)，只需证()2(a
9、b)2，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.因为a2b22ab对一切实数恒成立，所以(ab)成立综上所述，不等式得证规律方法分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证
10、”“即证”等词语跟踪练习2当a2时，求证.解析要证，只需证，只需证()2()2，只需证a1a22aa12，只需证，只需证(a1)(a2)a(a1)，即证20，而20显然成立，所以成立命题方向3综合法和分析法的综合应用典例3已知a、b、c表示ABC的三边长，m0，求证：.解析要证明.只需证明0即可，所以因为a0，b0，c0，m0，所以(am)(bm)(cm)0.因为a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2.因为ABC中任意两边之和大于第三边，所以abc
11、0，所以(abc)m20，所以2abmabc(abc)m20，所以.规律方法在实际解决问题中，分析法与综合法往往结合起来使用，先分析由条件能产生什么结论，再分析要产生需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程跟踪练习3已知：a、b、c是不完全相等的正数，且0x1.求证：logxlogxlogxlogxalogxblogxc.解析要证明logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需要证明logxlogx(abc)由已知0xabc.由公式知0，0，0.因为a、b、c不全相等，上面三式相乘，abc，即abc成立所以logxl
12、ogxlogx0，而不是a0，b0，因此，应分a0且b0和a，b有一个为负值两种情况加以讨论正解.当a0，b0，ab0时，(anbn)(an1bn1)0，(ab)n0，0，.当a、b有一个为负值时，不妨设a0，b0，sinA1，A，所以ABC是直角三角形2若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是(C)APQBPQCPQD由a的取值确定解析取a1得P14，PQ，故选C证明如下：要证PQ，只要证P2Q2，只要证2a722a72，只要证a27aa27a12，只要证012，012成立，Pbc，且abc0，求证：0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)bc，且abc0可得，bac，a0，c0.要证a，只要证(ac)2ac0，即证a(ac)(ac)(ac)0，即证a(ac)b(ac)0，即证(ac)(ab)0.故求证“0，故选C4设a，b，c，则a，b，c的大小关系为_acb_.解析b，c，显然bc，而a22，c2()2828c，acb.5已知a0，b0且ab，用分析法证明：a3b3a2bab2.解析要证a3b3a2bab2成立，只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立因为a0，b0，ab0.所以只需证a2abb2ab，只需证a22abb20，即(ab)20，依题意ab，则(ab)20显然成立那么a3b3a2bab2成立