1、第二章第十讲A组基础巩固一、选择题1下列各组函数中导函数相同的是()Ayx2与y2xByln(x)与ylnxCylnx2与y2lnxDysinxcosx与ysin2x答案D解析对于选项C，(lnx2)2x(x0)，(2lnx)(x0)，否定C对于选项A，(x2)2x，(2x)2xln2，否定A对于选项B，(ln(x)()(1)(x0)，(lnx)(x0)，否定B，故选D2(2015宁夏大学附属中学上学期期中)函数f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为()A2xy40B2xy0Cxy10Dxy30答案D解析f(1)2，点(1，2)在函数的图象上f (x)，f (1)1，切线方程是y(2)1(
2、x1)，即xy30.故选D3(2015吉林长春十一高中上学期阶段性考试)已知曲线y3lnx1的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A3B2C1D答案A解析设切点为(x0，y0)，则f (x0)，解得x03或x02.又x00，所以x03.故选A4(2015福建八县(市)一中上学期联考)函数f(x)excosx的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为()AB0CD1答案A解析f (x)excosxexsinx，所以f (0)e0cos0e0sin01，所以倾斜角.故选A5(2015日照一中检测)已知函数yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程是x2y10，则f(1)2f (1)的值是()
3、AB1CD2答案D解析函数yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程是x2y10，f(1)1，f (1).f(1)2f (1)2，故选D6若P为曲线ylnx上一动点，Q为直线yx1上一动点，则|PQ|min()A0BCD2答案C解析如图所示，直线l与ylnx相切且与yx1平行时，切点P到直线yx1的距离|PQ|即为所求最小值(lnx)，令1，得x1.故P(1,0)故|PQ|min.故选C二、填空题7直线ykxb与曲线yax22lnx相切于点P(1,4)，则b的值为_.答案1解析由点P(1,4)在曲线上可得a122ln14，解得a2，故y2x22lnx，y4x，从而曲线在点P处切线的斜率ky
4、|x1415，则切线方程为y5xb，由点P在切线上得451b，解得b1.8设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f (1)_.答案2解析方法1令tex，故xlnt，f(t)lntt，即f(x)lnxx，f (x)1，f (1)2.方法2f (ex)1ex，f (1)f (e0)1e02.9(2015陕西)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.答案(1,1)解析yex，则yex在点(0,1)处的切线的斜率k切1，又曲线y(x0)上点P处的切线与yex在点(0,1)处的切线垂直，所以y(x0)在点P处的切线的斜率为1，设P(a，b)，
5、则曲线y(x0)上点P处的切线的斜率为y|xaa21，可得a1，又P(a，b)在y上，所以b1，故P(1,1)10(2014安徽)若直线l与曲线C满足下列两个条件：()直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；()曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号).直线l：y0在点P(0,0)处“切过”曲线C：yx3直线l：x1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y(x1)2直线l：yx在点P(0,0)处“切过”曲线C：ysinx直线l：yx在点P(0,0)处“切过”曲线C：ytanx直线l：yx1在点P(1,0)处“切过”曲线C：yl
6、nx答案解析对于，y3x2，y|x00，所以l：y0是曲线C：yx3在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：yx3在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，正确；对于，因为y2(x1)，y|x10，所以l：x1不是曲线C：y(x1)2在点P(1,0)处的切线，错误；对于，ycosx，y|x01，在点P(0,0)处的切线为l：yx，画图可知曲线C：ysinx在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，正确；对于，y，y|x01，在点P(0,0)处的切线为l：yx，画图可知曲线C：ytanx在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，正确；对于，y，y|x11，在点P(1,0)处的切线为l：yx1，令h(x)x
7、1lnx(x0)，可得h(x)1，所以h(x)minh(1)0，故x1lnx，可知曲线C：ylnx在点P(1,0)附近位于直线l的下侧，错误三、解答题11已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标答案(1)y13x32(2)y13x，(2，26)解析(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f (x)(x3x16)3x21.f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf (2)13.切线的方程为y613(x2)，即y13x32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f (x0)
8、3x1，y0xx016，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过坐标点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02，y0(2)3(2)1626，得切点坐标(2，26)，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)12(2015临沂一模)已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围答案(1)1，)(2)(，2(1,3)2，)解析(1)由题意得f (x)x24x3，则f (x)(x2)211，即过曲
9、线C上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1,3)2，)B组能力提升1(2015福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f (x)满足f (x)k1，则下列结论中一定错误的是()Af()Bf()Cf()Df()答案C解析取满足题意的函数f(x)2x1，若取k，则f()f()，所以排除A；若取k，则f()f()f(10)1911，所以排除D；取满足题意的函数f(x)10x1，若取k2，则f()f()41，所以排除B故结论一定错误的是C2(2
10、015重庆七校联盟联考)已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率是()A2B1C3D2答案A解析由f(x)2f(2x)x28x8两边求导得，f (x)2f (2x)(1)2x8.令x1得f (1)2f (1)(1)28f (1)2，故所求切线斜率是2.3(2015江西九江月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f (x)存在，且导数f (x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导数，记为f (x)f (x)，若f (x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在(0，)上是凸函数的是_(把你认为正确的序号都填
11、上).f(x)sinxcosx；f(x)lnx2x；f(x)x32x1；f(x)xex.答案解析由知，f (x)cosxsinx，则f (x)sinxcosxsin(x)0在区间(0，)上恒成立；由知，f (x)2(x0)，则f (x)0在区间(0，)上恒成立；由知，f (x)3x22，则f (x)6x0在区间(0，)上恒成立故中的函数为凸函数由知，f (x)exxex，f (x)2exxexex(x2)0在区间(0，)上恒成立，故中的函数不是凸函数4设L为曲线C：y在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方答案(1)yx1(2)略解析(1
12、)设f(x)，则f (x).所以f (1)1，即L的斜率为1.又L过点(1,0)，所以L的方程为yx1.(2)令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f (x).当0x1时，x210，lnx0，所以g(x)0，故g(x)单调递减；当x1时，x210，lnx0，所以g(x)0，故g(x)单调递增所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线L的下方5(2015河北唐山一中月考)已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f (1)0.(1)求a的值；(2
13、)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由答案(1)a2(2)k0解析(1)由已知得f (x)3ax26x6a，f (1)0，3a66a0，a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0,3x6x012)g(x0)6x06，切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0,9)代入切线方程，解得x01.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f (x)0得6x26x120，解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9，yf(x)与yg(x)的公切线是y9.由f (x)12得6x26x1212，解得x0或x1.在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10，yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0.