1、兰州一中2020-2021-2学期4月月考试题高二数学（理）命题人： 审题人： 说明：本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答案写在答题卡上。交卷时只交答题卡。一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1若，则 （）A1 B2 C4 D82函数，若，则 （）A B C D3. 若函数的图像在处的切线与直线垂直，则a的值为 （ ） A1 B2或 C2 D1或4 若函数有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围为 （）A（0，3）（3，） B3，） C（0，3 D（0，3）5函数的最大值为 （）A B C D6. 已知，为的导函数，则的图象是 （）A
2、 B C D7设三次函数的导函数为，函数的部分图像如图所示，则 （）A的极大值为，极小值为 B的极大值为，极小值为C的极大值为，极小值为 D的极大值为，极小值为8如图所示，ABCD是边长为30cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积V（cm3）最大，则EF的长为 （ ）A. 10cm B. 12.5cm C. 7.5cm D. 5cm 第7题图 第8题图 9已知非零向量，满足，若函数在R上存在极值，则和夹角的取值范围是 （）A B C D10直线与函数的图象分别
3、交于A、B两点，当|AB|最小时，为 （） A1 B C D11已知函数的图象在处的切线方程为，若恒成立，则的取值范围为 （）A1，21 B（，21 C1，1 D（，112若为函数相邻的两个极值点，且在处分别取得极小值和极大值，则定义为函数的一个极优差，函数的所有极优差之和为 （）A B C D二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13 14若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是 15已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则的解集为 16设为实数，函数在和都是增函数，则的取值范围是 三解答题（共6小题，满分70分，17小题10分，其他各12分）17求下列函数的导数：（1） （2）1
4、8已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程19设函数（其中e为自然对数的底数），已知它们在x0处有相同的切线（1）求函数的单调递增区间；（2）求曲线和直线所围成的图形的面积20函数（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，求函数的零点个数21已知函数（1）讨论的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围22已知函数（1）证明：当时，函数有唯一的极大值点；（2）当时，证明：兰州一中2020-2021-2高二年级四月月考答案数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第卷（选择题
5、 共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1B 2B 3D 4D 5B 6A 7D 8A 9B 10B 11. A 12.D第卷（非选择题 共100分）二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 13. ； 14. (0,) ； 15.（0,3） ； 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解：（1）（2）18.（本小题12分）解：（1）由f（x）x33x，得f（x）3x23，f（1）0，又f（1）2，曲线yf（x）在点P（1，2）处的切线方程为y2；（2）设切点
6、为T（t，t33t），则曲线在点T处的切线方程为y（3t23）（xt）+t33t，将P（2，2）代入，可得t33t2+40，解得t2或t1故所求切线方程为y9x16或y219.（本小题12分）解：（1）由题意可得：f（x）aex（x+2），g（x）2x+4，结合函数的解析式有：f（0）a，g（0）b，且f（0）2a，g（0）4，函数在x0处有相同的切线，故即 ，据此可得函数的解析式：f（x）2ex（x+1），g（x）x2+4x+2求解不等式f（x）2ex（x+2）0 可得函数yf（x）的增区间是（2，+）（2）由（1）的结论可知：g（x）x2+4x+2，求解方程：g（x）x2+4x+2x+2可
7、得交点横坐标为：x13，x20，则曲线yg(x)和直线yx+2所围成的图形的面积为 20.（本小题12分）解：（1）因为函数在上单调递减，所以f（x）ex2a在上恒成立，等价于在上恒成立，又因为时，所以（2）f（x）ex2a，当a0时，由f（x）ex2a0，xln（2a），f（x）在（ln（2a），+）上为单调增函数，由f（x）ex2a0，xln（2a），f（x）在（，ln（2a）上为单调减函数，f极小值f（ln（2a）a2aln（2a），而f（x）exa（2x+1），当x时，f（x）+，当x+时，f（x）+；当a2aln（2a）0，即时，f（x）无零点，当a2aln（2a）0，即时，f（x）
8、有1个零点，当a2aln（2a）0，即时，f（x）有2个零点，综上：当时，f（x）无零点，当时，f（x）有1个零点，当时，f（x）有2个零点21. （本小题12分）解：（1）函数f（x）的定义域为(0,+)，由f(x)0，即1alnx0，解得0xe1a，由f(x)0，即1alnx0，解得xe1a，故f（x）的单调递增区间为(0,e1a)，单调递减区间为(e1a,+)；（2）因为恒成立，即对(0,+)恒成立，所以ax ex1xlnx+1对(0,+)恒成立，令（x）x ex1xlnx+1，则，当x(0,1)时， (x)0，所以(x)在（0,1）上单调递减，当x(1,+)时， (x)0，所以(x)在
9、（1,+）上单调递增，故当x1时，(x)取最小值(1)1，所以a1，即a的取值范围是(,122. （本小题12分）证明：（1）f(x)a ex+cos x+1,x0,1+cos x0,当a1时，f(x)ex+cos x+1,令g(x)ex+cos x+1,g(x)exsin x0,g(x)在区间0,上单调递减，g(0)1+21,g()e0,存在x0(0,),使得f(x0)0,故函数f(x)的递增区间是0,x0,递减区间是x0,故函数f(x)存在唯一的极大值点x0；(2)当2a0时，令h(x)a ex+sin x+x,h(x)a ex+cos x+1,h(x)a exsin x0,故h(x)在0,上单调递减，h(0)a+20,h()a ex0,存在x0(0,),使得h(x0)0,即a+cosx0+10,故函数h(x)在0,x0递增，在x0,上递减，故h(x)maxh(x0)a+sinx0+x0,x0(0,),a+cosx0+10,只需证h(x0)sinx0cosx0+x010即可，h(x0)cosx0+sinx0+1,h(x0)0,h(x0)在区间(0,)上是增函数，h(x0)h()0,即f(x)