1、1.1利用函数性质判定方程解的存在高中数学北师大版必修4一.问题引入1.我们学过了一元一次方程、一元二次方程的解法，那么方程 x+1=0是否存在实数解？2.方程x2-x-6=0是否存在实数解？3.方程3x-x2=0是否存在实数解？1.1利用函数性质判定方程解的存在 方程x2-x-6=0的实数解和对应函数f(x)=x2-x-6的图像与x轴的交点的横坐标有何关系？解：考察函数f(x)=x2-x-6,其图像为抛物线-6614yx4-4OCABx1x2二.探究新知1 函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.函数y=f(x)的零点与对应方程f(x)=0的实数解的关系：函数y=f(x
2、)的零点就是方程f(x)=0的实数解1.函数零点的定义：思考：零点是点吗？所有函数都有零点吗？函数f(x)=x2-x-6满足什么条件存在零点？解：考察函数f(x)=x2-x-6,其图像为抛物线-6614yx4-4OCAf(0)=-6f(-4)=14f(4)=6容易算出:f(0)0,f(-4)0并且函数y=f(x)图像为连续曲线，因此，点B(0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在区间(0,4)至少有一点x1，使f(x1)=0；同样，在区间(-4，0)至少有一点x2，使f(x2)=0。而函数f(x)=x2-x-6的图像与x轴至多有两个交点所以函数f(x)=x2-x-6在(-4
3、,0)、(0,4)内各有一零点Bx1x2探究新知2 探究新知2函数y=f(x)满足什么条件存在零点？（1）如图1，y=f(x)在闭区间a,b上，有f(a)f(b)0，函数y=f(x)有零点吗？（2）如图2，此时函数y=f(x)有零点吗？注：函数y=f(x)在 a,b上必须连续（3）如图3，函数y=f(x)在 a,b上连续，能否改为在(a,b)连续2.函数零点存在性的判定方法 若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像是连续曲线，并且在区间端点处的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数解。注：
4、条件 y=f(x)在 a,b上连续 f(a)f(b)0结论：y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点例2 已知函数f(x)=3x-x2.问:方程f(x)=0在区间-1,0内有没有实数解?为什么?例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2.yx25-1O x1x21.观察下面的四个函数图像,指出在区间(-,0)内,方程fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解?说明理由.O12 xy12f1(x)O12 xy12f2(x)f3(x)O 12 xy12f4(x)O12xy12O12 xy12f1(x)O12 xy12O12 xy12f1(x)O12 xy1
5、2f2(x)O12 xy12O12 xy12f2(x)f3(x)O 12 xy12f3(x)O 12 xy12O 12 xy12f4(x)O12xy12f4(x)O12xy12跟踪练习1 跟踪练习2 判定方程4x3+x-15=0在1,2内是否存在实数解？并说明理由.解：构造函数f(x)=4x3+x-15 f(1)=-100且函数f(x)=4x3+x-15图像是连续曲线函数f(x)在区间1,2内有零点.即方程4x3+x-15=0在区间1,2内有实数解.指出下列方程存在实数解,并给出一个实数解的存在区间:.0lg2;011xxxx三.巩固提高 1.本节课主要学习了哪些知识？2.本节课涉及了哪些主要数学思想？四.课时小结五.作业习题4-1A组第1题,B组第1题 谢谢!
