1、专题训练(二)圆中常见辅助线归类 类型一遇弦添加弦心距或半径1如图2ZT1，AB为O的直径，CD为弦，过点C，D分别作CNCD，DMCD，分别交AB于点N，M.请问图中的AN与BM是否相等，并说明理由图2ZT12如图2ZT2，CD为O的直径，弦AB交CD于点E，DE6，CE2，若AED45，求AB的长图2ZT2类型二遇直径添加直径所对的圆周角3如图2ZT3所示，在ABC中，BC3，以BC为直径的O交AC于点D，D是AC的中点，ABC120.(1)求ACB的度数；(2)求点A到直线BC的距离图2ZT342019南充如图2ZT4，在RtABC中，ACB90，以AC为直径作O交AB于点D，E为BC的
2、中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证：DE是O的切线；(2)若CF2，DF4，求O的直径图2ZT4类型三遇切线添加过切点的半径5如图2ZT5，AB是O的弦，AC是O的切线，A为切点，BC经过圆心若B25，则C的度数为()图2ZT5A20B25 C40D506如图2ZT6，AB切O于点B，OA6，sinA，BCOA.(1)求AB的长；(2)求四边形AOCB的面积图2ZT6类型四判定切点：有共点，连半径，证垂直7如图2ZT7所示，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DCBD，连接AC，过点D作DEAC，垂足为E.求证：(1)ABAC；(2)DE为O的切线图2ZT78如图
3、2ZT8，A是以BC为直径的O上一点，ADBC于点D，过点B作O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，连接AF并延长交CB的延长线于点P.求证：(1)BFEF；(2)PA是O的切线图2ZT8类型五判定切点：无共点，作垂线，证半径9如图2ZT9所示，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切图2ZT910如图2ZT10，AD是ABC的高，且ADBC，E，F分别为AB，AC的中点，以EF为直径作圆O，试判断圆O与BC的位置关系并说明理由图2ZT10详解详析1解：相等理由如下：过点O作OPCD于点P.由
4、垂径定理得PCPD，又CNCD，DMCD，DMOPCN，.又PCPD，ONOM.又OAOB，OAONOBOM，即ANBM.2解：如图，过点O作OFAB于点F，连接OA，则OFAOFE90.由题意可知OACD(DECE)4，OE2.在RtOFE中，OFE90，OE2，AED45，OFOEsin45.在RtOFA中，OFA90，OF，OA4，由勾股定理得AF.OFAB，AB2AF2.3解：(1)如图，连接BD.以BC为直径的O交AC于点D，BDC90.D是AC的中点，直线BD是AC的垂直平分线，ABBC，BACACB.ABC120，ACBBAC30.(2)如图，过点A作AEBC交CB的延长线于点E
5、.BC3，ACB30，BDC90，BD.在RtBCD中，由勾股定理可得CD.ADCD，AC3 .在RtAEC中，ACE30，AEAC3 ，即点A到直线BC的距离为.4解：(1)证明：如图，连接OD，CD.AC为O的直径，ADCCDB90，BCD是直角三角形E为BC的中点，BECEDE，CDEDCE.ODOC，ODCOCD.ACB90，OCDDCE90，ODCCDE90，即ODDE，DE是O的切线(2)设O的半径为r.ODF90，OD2DF2OF2，即r242(r2)2，解得r3，O的直径为6.5答案 C6解：(1)连接OB，如图所示AB切O于点B，OBAB，ABO90，sinA，OB62，AB
6、4 .(2)过点O作ODBC于点D，如图，则BDCD.BCOA，AOBOBD，BODA，sinBOD，BD2，BC2BD，OD，S四边形AOCBSAOBSBOC24 .7证明：(1)如图，连接AD.AB是O的直径，ADB90.又BDCD，AD是BC的垂直平分线，ABAC.(2)如图，连接OD.点O，D分别是AB，BC的中点，ODAC.又DEAC，ODDE，DE为O的切线8证明：(1)BC是O的直径，BE是O的切线，BEBC.又ADBC，ADBE，BFCDGC，FECGAC，.G是AD的中点，DGAG，BFEF.(2)如图，连接AO，AB.BC是O的直径，BAC90.在RtBAE中，由(1)知F
7、是斜边BE的中点，AFBFEF，FBAFAB.OAOB，ABOBAO.BE是O的切线，EBO90，FAOBAOFABABOFBAEBO90，PA是O的切线9解析 要证CD与小圆相切，过点O作OFCD于点F，因为AB与小圆相切于点E，根据同圆中等弦的弦心距相等可知OEOF.证明：如图所示，连接OE，过点O作OFCD于点F.AB与小圆相切于点E，OEAB.ABCD，OFCD，OEOF(同圆中等弦的弦心距相等)，CD与小圆相切10解析 圆O与BC相切理由：过点O作OPBC，交BC于点P，由E，F分别为AB，AC的中点，得EF为ABC的中位线，利用中位线定理得到EFBC，且EFBC，由ADBC，等量代换得到EFAD，由平行线等分线段性质得到OPAD，即OPEF，由EF为圆O的直径，得到OP为圆O的半径，即可得到BC与圆O相切解：圆O与BC相切理由：过点O作OPBC，垂足为P，设AD交EF于点G.E，F分别为AB，AC的中点，EF为ABC的中位线，EFBC，EFBC.ADBC，EFAD.，OPADEF.EF为圆O的直径，OP为圆O的半径，圆O与BC相切
