1、东阳中学2020年下学期期中考试卷（高二数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1如图所示的组合体，其结构特征是（ ）A由两个圆锥组合成的 B由两个圆柱组合成的C由一个棱锥和一个棱柱组合成的D由一个圆锥和一个圆柱组合成的2设命题：所有矩形都是平行四边形，则（ ）A所有矩形都不是平行四边形 B有的平行四边形不是矩形C有的矩形不是平行四边形 D不是矩形的四边形不是平行四边形3设，则是成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4已知双曲线与椭圆有相同焦点，则（ ）A1B3 C4 D55. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中
2、正确的是（ ）A若 ，则 ，B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 6. 如图，在直棱柱中,为的中点,为的中点, 则异面直线与所成角的正切值为（ ）A. B. C. D. 7. 圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（ ）A1BC2D8已知抛物线的焦点为F，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（ ）A1B2C D49椭圆的焦点，长轴长为，在椭圆上存在点，使，对于直线，在圆上始终存在两点使得直线上有点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABC D10已知正方体的棱长为2，M，N分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（ ）ABCD 二、填空
3、题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11命题“若ab，则的逆否命题是 ，且命题是 （真、假）命题12双曲线的离心率为 ，渐近线方程为 13. 在空间四边形中，若,点分别为线段的中点，则 ， 的坐标为 14一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图是全等的等腰三角形，则该几何体的体积是 ，该几何体的外接球的表面积是 15正四面体ABCD的棱长为a，点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为 16一个三棱锥的6条棱中有5条棱长是1，一条棱长是x，则该三棱锥的体积最大值是 17椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于A、B两点，当的周长最大时，的面积为 三、解答题：本大题共5小题，
4、共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18已知椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，且线段的中点在圆，求的值19如图，在直三棱柱中，ABAC，ABAC2，点D是BC的中点（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角,（是指不超过90的角）的余弦值 20已知抛物线上横坐标为2的一点到焦点的距离为3.（1）求抛物线C的方程；（2）设直线OA，OB的斜率分别为，且，证明：直线l经过定点，求出定点的坐标.21如图，在边长为8的菱形中，将沿折起，使点到达的位置，且二面角为60（1）求证：；（2）若点E为中点，求直线BE与平面所成角的正弦值22如图,为椭圆的下
5、顶点,过点的直线交抛物线于两点,是的中点.(1) 求证:点的纵坐标是定值;(2)过点作与直线倾斜角互补的直线交椭圆于两点.问：为何值时,的面积最大？并求面积的最大值. 东阳中学2020年下学期期中考试答案（高二数学）一选择题（共10小题）1D 2C 3A 4A 5D 6C 7B 8B 9. A 10D难题解析8解：抛物线的准线方程为x1设P到准线的距离为|PQ|，则|PQ|PF|sinPAQ当PA与抛物线y24x相切时，PAQ最小，即取得最小值设过A点的直线ykx+k与抛物线相切（k0），代入抛物线方程得k2x2+（2k24）x+k20，（2k24）24k40，解得k1即x22x+10，解得x
6、1，把x1代入y24x得y2P（1，2）或P（1，2）|PF|2故选：B9A解：要使在椭圆上存在点P，使F1PF290，设F1PF22，只需最大的角大于等于90即可，当P坐标为（0，b）或（0，b）时，角最大，当45，此时sin，故.在圆C上存在两点M，N，在直线ya上存在一点Q，使得MQN90，即在直线ya上存在一点Q，使得Q到圆的圆心（0，1）的距离等于a12，只需（0，1）到直线ya的距离小于或等于2，即a12，所以a3，即，综上，故，故选：A10解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，点M，N分别是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1
7、D1中棱BC，CC1的中点，AMA1E，MNEF，AMMNM，A1EEFE，平面AMN平面A1EF，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1面AMN，点P的轨迹是线段EF，A1EA1F，EF，A1OEF，当P与O重合时，PA1的长度取最小值为A1O，当P与E（或F）重合时，PA1的长度取最大值为A1EA1FPA1的长度范围为故选：D二填空题（共7小题）11若，则 ；真 12 ， 13 ； 14 ;15 16 17 难题解析17:解：如图所示，设椭圆的右焦点为F则当FAB的周长|AF|+|BF|+|AB|2a|AF|+2a|BF|+|AB|8+|AB|（|AF|+|BF|）8+|A
8、B|AB|8当且仅当直线AB经过椭圆的右焦点F时取等号此时直线AB的斜率k1直线AB的方程为：yx1设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，化为：7y2+6y90，y1+y2，y1y2，|y1y2|，FAB的面积|FF|y1y2|故答案为：三解答题18 解：（1）由题意，得：则椭圆的方程为-5分（2）设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，消去y得，3x2+4mx+2m220，248m20，x0，-9分y0x0+m点M（x0，y0）在圆x2+y21上，m2+m21，m检验满足0成立故m的值为-14分19 解：（1）关键在于证明AD平面BB1
9、C1C-6分（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为（2，2，1），设平面ADC1与ABA1所成二面角为，cos|cos，|，平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值为：-15分20解：（1） -6分（2）证明：设直线l的方程为xmy+n，代入抛物线方程化简得y24my4n0， -10分，解得n直线l经过定点，且定点为（2，0）-15分21 解：（1）连接AC，交BD于点O，连接OA1，因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，从而OA1BD，OCBD，又因为OA1OCO，所以BD平面A1OC，因为A1C平面A1OC，所以BDA1C， （7分）（2）由（1）可知，A1OC即为二
10、面角A1BDC的平面角，所以A1OC60以O为坐标原点，为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，B（4，0，0），D（4，0，0），C（0，4，0），A1（0，2，6），E（0，3，3）所以（4，3，3），（4，2，6）,=(4，4，0）设平面A1DC的法向量为（，1,）设直线BE与平面A1DC所成角为，则所以直线BE与平面A1DC所成角的正弦值为（15分）22 (1)证明:易知A(0,-1),不妨设,则,代入抛物线方程得t2=4p, 故点C的纵坐标为定值. -6分法二：用韦达完成.(2)点C是AB的中点,SBMN=SAMN.设直线l的斜率为k, 直线l的斜率为k,则 则 直线l的方程为即,不妨记,则:y=mx+2, -8分代入椭圆方程并整理得(2m2+1)x2+8mx+6=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则 -10分点A到直线l的距离,所以SAMN= -12分当且仅当时取等号,解得,所以,从而,故当时,BMN的面积最大. -15分