1、4.2空间图形的公理(二)学习目标1.掌握公理4及等角定理2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.【主干自填】1公理4(1)文字表述：平行于同一直线的两条直线互相平行(2)符号表述：ab且bcac.(3)含义：揭示了空间平行线的传递性2等角定理(1)研究对象：在空间中的两个角(2)条件：两边分别对应平行(3)结论：这两个角相等或互补3异面直线所成的角【即时小测】1思考下列问题(1)两条互相垂直的直线一定相交吗？提示：不一定只要两直线所成的角是90，这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面(2)公理4及等角定理的作用是什么？提示：公理4又叫平行线的传递
2、性作用主要是证明两条直线平行等角定理的主要作用是证明空间两个角相等2一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A相交 B异面C相交或异面 D平行提示：C如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1，AD相交，与BC异面3空间中有两个角，且角，的两边分别平行若60，则_.提示：60或120因为与两边对应平行，但方向不确定，所以与相等或互补例1如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若四边形EF
3、GH是矩形，求证：ACBD.证明(1)如题图，在ABD中，EH是ABD的中位线，EHBD，EHBD.又FG是CBD的中位线，FGBD，FGBD，FGEH，E，F，G，H四点共面，又FGEH，四边形EFGH是平行四边形(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.又四边形EFGH是矩形，EHGH，ACBD.类题通法空间中证明两直线平行的方法(1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等(2)利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行已知棱长为a的正方体ABCDABCD中，M，N分别为CD，AD的中点求证：四边形MNAC是梯形证明连接AC.M，N为CD，AD的
4、中点，MN綊AC.由正方体性质可知AC綊AC，MN綊AC.四边形MNAC是梯形.例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点求证：EA1FF1CE1.证明如图，取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綊B1C1，又B1C1綊BC，所以MF1綊BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，所以BMCF1.因为A1MA1B1，BEAB，且A1B1綊AB，所以A1M綊BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，所以BMA1E，所以A1ECF1.同理可证A1FCE1.因为EA1F的两边与F1CE1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以EA1F
5、F1CE1.类题通法求证两角相等的两种方法(1)应用等角定理，在证明的过程中常用到公理4，注意两角对应边方向的讨论(2)应用三角形全等或相似长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点求证：(1)D1EBF；(2)B1BFD1EA1.证明(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，A1B1綊C1D1，EM綊C1D1，四边形EMC1D1为平行四边形，D1EC1M.在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，BFC1M，D1EBF.(2)ED1BF，BB1EA1，又B1BF与D1EA1的对应边方向相同，B1BFD1EA1.例3如图所示，正
6、方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小解解法一：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OGB1D，EFA1C1.GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角GA1GC1，O为A1C1的中点，GOA1C1.异面直线DB1与EF所成的角为90.解法二：如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊DB1.于是HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角连接HF，设AA11，则EF，HE，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HIIF.HF2HI2IF2.
7、又EF2HE2，HF2EF2HE2.HEF90.异面直线DB1与EF所成的角为90.类题通法求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质)作出异面直线所成的角或其补角(2)证明：证明作出的角就是要求的角或其补角(3)计算：求角度，常利用三角形(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角如图所示，空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角解如图所示，取BD的中点G，连接EG、FG.E、F分别为BC、AD的中点，E
8、G綊CD，GF綊AB，GFE或其补角就是异面直线EF与AB所成的角ABCD，EGGF，EGF90.ABCD，EGGF，EFG为等腰直角三角形GFE45，即异面直线EF与AB所成的角为45.易错点不能从空间考虑图形致误典例在空间中有三条线段AB、BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCDBAB与CD是异面直线CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交错解如图，ABCBCD，ABCD.故选A.错因分析错解的原因在于，认为线段AB，BC，CD在同一个平面内，考虑问题不全面正解D构造图形：(1)在同一个平面内ABCBCD(如图(1)；(2)在同一个平面内A
9、BCBCD(如图(2)；(3)将图(2)中直线CD绕着BC旋转，使ABCBCD.由(1)知ABCD，由(2)知AB与CD相交，由(3)知AB与CD是异面直线课堂小结1.平行公理又称平行线的传递性，它表明空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行它给出了判断空间两条直线平行的依据，其主导思想是利用第三条直线作为联系两条直线的中间环节.2.要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分别平行”这个条件.1空间四边形的两条对角线长度相等，顺次连接四条边的中点得到的四边形是()A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形答案C解析因为空间四边形的两条对角线长度相等，所以根据三角形中位线的性质可知，得到的四边形的四条边
10、相等且对边互相平行，故选C.2设P是直线l外一定点，过点P且与l成30角的异面直线()A有无数条 B有两条C至多有两条 D有一条答案A解析我们现在研究的平台是锥空间如图所示，过点P作直线ll，以l为轴，与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角满足条件的直线有无数条，故选A.3如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为_答案60解析连接BC1，BD，DC1，因为EFBC1，B1D1BD，所以C1BD即为异面直线EF与B1D1所成的角或其补角因为C1BD为正三角形，所以C1BD60，即异面直线EF与B1D1所成的角为60.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为_答案解析设棱长为1，因为A1B1C1D1，所以AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角或其补角在AED1中，cosAED1.故异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为.
