专题突破练22　圆锥曲线中的范围、最值、证明问题.docx

1、专题突破练22圆锥曲线中的范围、最值、证明问题1.(2021河北唐山一模)已知抛物线E:x2=4y,点P(1,-2),斜率为k(k0)的直线l过点P,与E相交于不同的两点A,B.(1)求k的取值范围;(2)斜率为-k的直线m过点P,与E相交于不同的点C,D,证明:直线AC、直线BD及y轴围成等腰三角形.2.(2021山东潍坊三模)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,点P(m,2)(m0)在抛物线C上,且满足|PF|=3.(1)求抛物线C的标准方程;(2)过点G(0,4)的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别以A,B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q,求PQG周长的最小值.3.(2021

2、广东深圳一模)设O是坐标原点,以F1,F2为焦点的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为22,以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点.(1)求C的方程;(2)P是C外的一点,过P的直线l1,l2均与C相切,且l1,l2的斜率之积为m-1m-12,记u为|PO|的最小值,求u的取值范围.4.(2021北京通州一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为2,离心率为22.(1)求椭圆C的方程;(2)点P是椭圆C上一点,且在第一象限内,过P作直线交y轴正半轴于A点,交x轴负半轴于B点,与椭圆C的另一个交点为E,且PA=AB,点Q是P关于x轴的对称点,直线QA与椭圆C的

3、另一个交点为F.证明:直线AQ,AP的斜率之比为定值;求直线EF的斜率的最小值.5.(2021河北唐山三模)在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(1,0),C为动点,设ABC的内切圆分别与边AC,BC,AB相切于P,Q,R,且|CP|=1,记点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)不过原点O的直线l与曲线E交于M,N,且直线y=-12x经过MN的中点T,求OMN的面积的最大值.6.(2021河南九师联盟联考)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,短轴的一个端点的坐标为(0,-1).(1)求椭圆C的方程;(2)点F为椭圆C的右焦点,过椭

4、圆C上一点A(x1,y1)(x1y10)的直线l1:x1x+2y1y=2与直线l2:x=2交于点P,直线AF交椭圆C于另一点B,设AB与OP交于点Q.证明:AFP=2;Q为线段AB的中点.专题突破练22圆锥曲线中的范围、最值、证明问题1.(1)解 由题意设l的方程为y+2=k(x-1),与x2=4y联立得,x2-4kx+4k+8=0.由0得k2-k-20,即k2.又k0,所以k的取值范围是(2,+).(2)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由(1)可得x1+x2=4k.由题意设m的方程为y+2=-k(x-1),与x2=4y联立得,x2+4kx-4k

5、+8=0,得x3+x4=-4k.kAC=y3-y1x3-x1=x32-x124(x3-x1)=x3+x14,同理kBD=x4+x24,因为kAC+kBD=x1+x2+x3+x44=0,所以直线AC、直线BD及y轴围成等腰三角形.2.解 (1)由抛物线定义,得|PF|=2+p2=3,得p=2,故抛物线C的标准方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+4,联立y=kx+4,x2=4y,消去x,得x2-4kx-16=0,0,x1+x2=4k,x1x2=-16.设A,B处的切线斜率分别为k1,k2,则k1=x12,k2=x22,在点A处的切线方程为y-y1=

6、x12(x-x1),即y=x1x2-x124,同理,在点B处的切线方程为y=x2x2-x224,由得xQ=x1+x22=2k,代入或中可得yQ=kx1-x124=y1-4-y1=-4,故Q(2k,-4),即点Q在定直线y=-4上.设点G关于直线y=-4的对称点为G,则G(0,-12),由(1)知P(22,2),|PQ|+|GQ|=|PQ|+|GQ|GP|=251,即P,Q,G三点共线时等号成立,PQG周长的最小值为|GP|+|GP|=251+23.3.解 (1)由题意可得2a=22,故a=2.因为以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点,则b=c,b2+c2=2b2=a2=2,可得b=c=1

7、,因此椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)由题意可知,直线l1,l2的斜率存在且不为零,设过点P(x0,y0)的切线l:y-y0=k(x-x0),联立y-y0=k(x-x0),x22+y2=1,消去y可得(2k2+1)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-2=0,由于直线l与椭圆C相切,则=16k2(y0-kx0)2-4(2k2+1)2(y0-kx0)2-2=0,化简并整理得(y0-kx0)2=2k2+1.整理成关于k的二次方程得(x02-2)k2-2x0y0k+y02-1=0(易知x02),设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,易知k1,k2为关于k的二次方程(x02-2)

8、k2-2x0y0k+y02-1=0的两根,所以k1k2=y02-1x02-2=m,y02=mx02+1-2m,所以,x02+y02=(m+1)x02+1-2m,故|PO|=x02+y02=(m+1)x02+1-2m.易知当x0=0时,有u=|PO|min=1-2m.因为-1m-12,所以2u3,即u的取值范围是2,3.4.(1)解 由题意得2b=2,ca=22,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)证明 设P点的坐标为(x0,y0),因为点Q是P(x0,y0)关于x轴的对称点,PA=AB,所以Q(x0,-y0),A0,12y0.所以直线QA的斜率为kQ

9、A=-y0-12y0x0=-3y02x0,PA的斜率为kPA=y0-12y0x0=y02x0.所以kQAkPA=-3.所以直线AQ,AP的斜率之比为定值.解 设直线PA的方程为y=kx+m.联立方程组y=kx+m,x2+2y2=2,化简得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.设E点的坐标是(x1,y1),所以x0x1=2m2-21+2k2.所以x1=2m2-2(1+2k2)x0.所以y1=2k(m2-1)(1+2k2)x0+m.所以E点的坐标是2m2-2(1+2k2)x0,2k(m2-1)(1+2k2)x0+m.由可知,直线QA的方程是y=-3kx+m.所以F点的坐标是2m2-2(1+

10、18k2)x0,-6k(m2-1)(1+18k2)x0+m.所以直线EF的斜率kEF=-6k(m2-1)(1+18k2)x0+m-2k(m2-1)(1+2k2)x0-m2m2-2(1+18k2)x0-2m2-2(1+2k2)x0=6k2+14k.因为k0,所以kEF=6k2+14k=146k+1k1426k1k=62.当且仅当6k=1k,即k=66时,kEF有最小值62.所以直线EF的斜率的最小值是62.5.解 (1)依题意可知,|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4|AB|,所以曲线E是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(除去与x轴的交点),因此曲

11、线E的方程为x24+y23=1(y0).(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),显然直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+m(m0),代入x24+y23=1,整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,(*)则x1+x2=-8km4k2+3,x1x2=4m2-124k2+3,所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m4k2+3,故MN的中点T的坐标为-4km4k2+3,3m4k2+3.而直线y=-12x经过MN的中点T,得3m4k2+3=-12-4km4k2+3,又m0,所以直线l的斜率k=32.故(*)式可化简为3x2+3mx+m2-3=0,故x1+x2=-m,x1x2=m2

12、-33,由=36-3m20且m0,得-23m23且m0.又|MN|=1+k2|x1-x2|=13236-3m23=132312-m2,而点O到直线l的距离d=2|m|13,则OMN的面积S=122|m|13132312-m2=123|m|12-m2123m2+12-m22=3,当且仅当m=6时,等号成立,此时满足-23m23且m0,所以OMN的面积的最大值为3.6.(1)解 设椭圆C的半焦距为c,因为C的短轴的一个端点的坐标为(0,-1),所以b=1,所以a2-c2=1.因为e=ca=22,所以a=2c.由,得c=1,所以a=2,所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)证明 将x=2代入x1

13、x+2y1y=2,得2x1+2y1y=2,解得y=1-x1y1,所以P2,1-x1y1.又F(1,0),A(x1,y1),所以FA=(x1-1,y1),FP=1,1-x1y1,FAFP=x1-1+y11-x1y1=0,所以FAFP,故AFP=2.由直线AB过焦点F(1,0),得直线AB的方程为(x1-1)y=y1(x-1),代入x2+2y2=2,并结合x12+2y12=2整理,得(3-2x1)y2+2(x1-1)y1y-y12=0.设B(x2,y2),则y1+y2=-2(x1-1)y13-2x1.设AB中点为R(x0,y0),则y0=y1+y22=-(x1-1)y13-2x1,x0=x1-1y1y0+1=x1-1y1-(x1-1)y13-2x1+1=2y123-2x1,即R2y123-2x1,-(x1-1)y13-2x1,所以OR=y123-2x12,1-x1y1=y123-2x1OP,即OR与OP共线,即AB的中点R在直线OP上,从而点R与Q重合,故Q是线段AB的中点.