1、第四章 三角函数、解三角形第七节 解三角形的综合应用栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性题型主要为选择题和填空题，中档难度.1.数学运算2.数学建模 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 1 _叫仰角，目标视线在水平视线 2 _叫俯角(如图 1)上方下方2.
2、方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如 B 点的方位角为(如图 2)3方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东 30，北偏西45等4坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值求 AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达ACB，BCa解直角三角形 ABatan 底部不可达ACB，ADB，CDa解两个直角三角形AB atan tan tan tan 常用结论实际测量中的常用问题求 AB图形需要测量的元素解法求水平距离山两侧ACB，ACb，BCa用余弦定理 ABa2b22abcos 河两岸ACB，ABCCBa用正弦定理 ABasin sin（）求 AB图形
3、需要测量的元素解法求水平距离河对岸 ADC，BDC，BCD，ACD，CDa在ADC 中，ACasin sin（）；在BDC 中，BCasin sin（）；在ABC 中，应用余弦定理求 AB基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)东北方向就是北偏东 45的方向()(2)从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为 180.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，2.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()解析：(2)；(3)俯角是视线与水平线所构成的角 答案：(1)(2)(3)(4)
4、二、走进教材2(必修 5P11 例 1 改编)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A，B 两点的距离为_ m.解析：由正弦定理得ABsin ACB ACsin B，又B30，ABACsin ACBsin B50 221250 2(m)答案：50 23(必修 5P13 例 3 改编)如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30，沿倾斜角为 15的斜坡向上走 a 米到 B，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60，则山高 h_米解析：由题图可得PAQ30，BAQ15，在PAB
5、中，PAB15，又PBC60，BPA(90)(90)30，asin 30PBsin 15，PB 6 22a，PQPCCQPBsin asin 6 22asin 60asin 15 22 a.答案：22 a三、易错自纠4若点 A 在点 C 的北偏东 30，点 B 在点 C 的南偏东 60，且 ACBC，则点 A在点 B 的()A北偏东 15B北偏西 15C北偏东 10D北偏西 10解析：选 B 如图所示，ACB90，又 ACBC，CBA45，而 30，90453015.点 A 在点 B 的北偏西 15.5如图所示，D，C，B 三点在地面的同一条直线上，CDa，从 C，D 两点测得 A点的仰角分别
6、为 60，30，则 A 点离地面的高度 AB_.解析：由已知得DAC30，所以DACCDA，所以 ACDC，所以ADC为等腰三角形，AD 3a，所以在 RtADB 中，AB12AD 32 a.答案：32 a6如图，一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30的方向上，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东75的方向，且与它相距 8 2 n mile，则此船的航速是_ n mile/h.解析：设航速为 v n mile/h，在ABS 中，AB12v，BS8 2，BSA45，由正弦定理得8 2sin 3012vsin 45
7、，则 v32.答案：32课 堂 考 点 突 破2考点 距离的测量问题|题组突破|1我国物权法规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为 45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于 52 m若该小区内某居民在距离楼底 27 m 高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为 45，则该小区的住宅楼楼间距实际为_ m.解析：设两住宅楼楼间距实际为 x m.如图，根据题意可得，tan DCA27x，tan DCB4527x18x，又DCADCB45，所以 tan(DCADCB)2
8、7x 18x127x 18x1，整理得 x245x27180，解得 x54 或 x9(舍去)，所以该小区的住宅楼楼间距实际为 54 m.答案：542如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路 BC 和一条索道 AC，小王和小李打算不坐索道，而是花 2 个小时的时间进行徒步攀登，已知ABC120，ADC150，BD1 km，AC3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时 1 250 米，请问：两位登山爱好者能否在 2 个小时内徒步登上山峰？(即从 B 点出发到达 C 点)解：在ABD 中，由题意知，ADBBAD30，所以 ABBD1，因为ABD120，由正弦定理得ABsi
9、n ADBADsin ABD，解得 AD 3，在ACD 中，由 AC2AD2CD22ADCDcos 150，得 93CD22 3 32 CD，即 CD23CD60，解得 CD 3332，所以 BCBDCD 3312，2 个小时小王和小李可徒步攀登 1 25022 500(米)，即 2.5 千米，而 3312 3612522.5，所以两位登山爱好者可以在 2 小时内徒步登上山峰名师点津 测量距离问题的解法选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解提醒 解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量考点一 高度
10、的测量问题【例 1】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北测一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_ m.解析 由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得600sin 45BCsin 30，解得 BC300 2 m.在 RtBCD 中，CDBCtan 30300 2 33 100 6(m)答案 100 6名师点津 求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内
11、，视线与水平线的夹角(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用|跟踪训练|1(2019 届湖北七市协作体联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的 A，B 两点处进行测量，在点 A 处测得塔顶 C 在西偏北20的方向上，仰角为 60；在点 B 处测得塔顶 C 在东偏北 40的方向上，仰角为 30.若 A，B 两点相距 130 m，则塔的高度 CD_ m.解析：由题意可知，设 CDh，则 AD h3，BD 3h，在ADB 中，ADB1802040120，所以由余弦定理 AB2BD2AD22BDADco
12、s 120，可得 13023h2h23 2 3h h312，解得 h10 39，故塔的高度为 10 39 m.答案：10 39考点二 角度的测量问题【例 2】如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75的方向航行(2 32)n mile 到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏东 15的方向航行 4 n mile 到达海岛 C.(1)求 AC 的长；(2)如果下次航行直接从 A 出发到达 C，求CAB 的大小解(1)由题意，在ABC 中，ABC1807515120，AB2 32，BC4，根据余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos ABC(2 32)242(2 32)424，所以 AC2 6.
13、(2)根据正弦定理得，sin CAB4 322 6 22，所以CAB45.名师点津 测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解提醒 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角|跟踪训练|2如图，甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东 60的方向，相距 a 海里的 B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3 倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东_(填角度)的方向前进解析：设两船在 C 处相遇，则由题意ABC180601
14、20，且ACBC 3，由正弦定理，得ACBC sin 120sin BAC 3，所以 sin BAC12.又因为 0BAC60，所以BAC30.所以甲船应沿北偏东 30方向前进 答案：303如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇 A发现在北偏东 45方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇 B 正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75方向前进，若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度，沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需要的时间和角 的正弦值解：如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇，则
15、AC14x，BC10 x，ABC120，AB12.根据余弦定理得(14x)2122(10 x)2240 xcos 120，解得 x2，故 AC28，BC20.根据正弦定理得 BCsin ACsin 120，解得 sin 20sin 120285 314.所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为5 314.考点 三角形与三角函数的综合问题【例】在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，(2ac)cos Bbcos C0.(1)求角 B 的大小；(2)设函数 f(x)2sin xcos xcos B 32 cos 2x，求函数 f(x)的最大值及当 f(x)取得最大值
16、时 x 的值解(1)因为(2ac)cos Bbcos C0，所以 2acos Bccos Bbcos C0，由正弦定理，得 2sin Acos Bsin Ccos Bcos Csin B0，即 2sin Acos Bsin(CB)0，又 CBA，所以 sin(CB)sin A.所以 sin A(2cos B1)0，在ABC 中，sin A0，所以 cos B12，又 B(0，)，所以 B3.(2)由(1)知 B3，所以 f(x)12sin 2x 32 cos 2xsin2x3，令 2x32k2(kZ)，得 xk512(kZ)，即当 xk512(kZ)时，f(x)取得最大值 1.名师点津 三角形
17、与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题|跟踪训练|已知 f(x)sin xcos xcos2x4.(1)求 f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 fA2 0，a1，求ABC面积的最大值解：(1)由题意知 f(x)sin 2x21cos2x22sin 2x21sin 2x2sin 2x12.由22k2x22k，kZ，得4kx4k，kZ；由22k2x32 2k，kZ，得4kx34 k，kZ.所以 f(x)的单调递增区间是4k，4k(kZ)；单调递减区间是4k，34 k(kZ)(2)由(1)及 fA2 0，得 sin A120，即 sin A12，由题意知 A 为锐角，所以 cos A 32.由余弦定理 a2b2c22bccos A，可得 1 3bcb2c22bc，即 bc2 3，当且仅当 bc 时等号成立因此12bcsin A2 34，所以ABC 面积的最大值为2 34.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
