专题突破卷07 导数与零点问题（解析版）.docx

1、专题突破卷07 导数与零点问题1.讨论零点的个数1（ 2023春广东江门高二统考期末）已知函数，其中(1)若，求的单调区间；(2)讨论函数的零点个数【答案】(1)递减区间是，递增区间是；(2)当时，函数有1个零点，当时，函数无零点.【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间作答.（2）按照与分别求出函数的最小值，即可判断作答.【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，当时，当时，当时，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.（2）当时，由（1）知，因此函数只有1个零点，当时，由，得，当时，当时，因此函数在上单调递减，在上单调递增，当时，于是函数无零点，所以当时，

2、函数有1个零点，当时，函数无零点.【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性及函数最值，借助数形结合思想分析解决问题.2已知函数(1)当时，求函数的极值；(2)讨论函数的零点个数【答案】(1)极小值，无极大值.(2)当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.【分析】（1）根据题意得出，然后分别令以及，通过计算即可得出函数的单调性，进而求出结果；（2）可将转化为，记，求出函数的单调性以及最值，最后根据函数的单调性以及最值，然后数形结合可得出结果.【详解】（1）当时，令，则；令，则；故函数的单调递增区间是，单调递减区间为；当时，函数取极小值，无

3、极大值.（2）令，因为，所以，记，有，令，则；令，则，故在上单调递增，在上单调递减，从而，因此当时，直线与的图像没有交点；当或时，直线与的图像有1个交点；当时，直线与的图像有2个交点.综上：当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.3已知函数，在点处的切线方程是.(1)求，的值；(2)设函数，讨论函数的零点个数.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；（2），求函数的零点个数即与图象的交点个数，对求导，求出的单调性和极值，画出的图象，结合图像即可得出答案.【详解】（1）因为，所以，又因为在点处的切线斜率为，又，求得：.（2）由（1）知，令，则，

4、求函数的零点个数即与图象的交点个数，令，解得：；令，解得：或，所以在上单调递减，在上单调递增，且，的图象如下：当或，与图象有1个交点，当或，与图象有2个交点，当，与图象有3个交点.4（多选）已知函数，则（）A是的极值点B是的最小值C最多有2个零点D最少有1个零点【答案】AD【分析】求确定在定义域上的单调性及极值可判断选项A；用零点存在性定理判断在上存在1个零点可判断选项D；分析在上可能的零点个数可判断选项C；根据有可能为正值，可判断选项B.【详解】， ，而 ，所以当时，当时，当时，故在时为减函数，在时为减函数，在时为增函数，且，所以是的极值点，故A正确；对于C：取，因为，所以，所以，因为，所以

5、，所以，所以当时，取，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以当时，又在为连续函数，所以在上存在1个零点，故D正确；对于C：当时， ，所以，又在上为减函数，所以存在唯一，使得，又在上为增函数，所以存在唯一，使得，所以当时，在上有两个零点，则在定义域上存在3个零点，故C错误；对于B：，当时，由上知存在，使得，故不是的最小值，故B错误；故选：AD5已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)讨论函数的零点个数【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【分析】（1）通过对函数求导，对进行分类讨论，即可求出函数的单调性；（2）令，通过构造新函数并求导，比较和的大小即可求出函数的零点个数.【详解】（1）由题意，

6、在中， 当时，则在R上单调递增；当时，令，解得：，当时，单调递减；当时，单调递增综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）在中，当时，当时，无解，无零点当时，令，在中，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，且，当时，时，当即时，无零点，当即时，有一个零点；当即时，有两个零点；当，即时，有一个零点综上所述，当时，无零点；当或者时，有一个零点；当时，有两个零点【点睛】关键点点睛：本题考查函数的求导，构造函数和函数的单调性，考查学生分类讨论的思想和通过导函数求函数零点，具有很强的综合性.6已知函数，.(1)讨论零点的个数；(2)当时，若存在，使得，求证：.【答案】(1

7、)时，有两个零点；时，没有零点；时，有一个零点；(2)证明见详解.【分析】（1）先求导函数，然后分类讨论的值，判断函数的单调性及极值、最值，判断极值、最值与零的大小，结合零点存在性定理判断零点个数即可；（2）先证，再根据转化为，解不等式得，累加即可证明结论.【详解】（1），所以，若，由，即在上单调递增，在上单调递减，故，若，则，此时函数无零点；若，此时函数只有一个零点；若，时，即使得，即此时函数有两个零点；若，由或，即在和上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，而，且，即使得，此时函数有且仅有一个零点；若，此时恒成立，即在上单调递增，即使得，此时函数有且仅有一个零点；若，由或，即在和上单调

8、递增，在上单调递减，故在处取得极大值，又，即使得，此时函数有且仅有一个零点；综上所述：时，有两个零点；时，没有零点；时，有一个零点.（2）当时，由（1）任取设，先证，即证，设，即在定义域上单调递增，故，则成立，由得：所以，即，解得，故，证毕.2.已知零点个数求参数7已知函数，若函数的图象与曲线有三个交点，则的取值范围是_.【答案】【分析】将问题转为有三个不同的交点.构造函数，利用导数求解单调性，进而根据极值即可求解.【详解】由于的图象与曲线有三个交点，所以有三个不同的实数根，即有三个不同的交点.记,则，令，则或，此时单调递增，令，则，此时单调递减，故和分别为的极大值点和极小值点，要使有三个不同

9、的交点，则,即而，故，故答案为：8已知函数（e为自然对数的底数，aR）有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】先分析时二次函数零点的情况，而时可将零点的问题转化为两个函数图象交点的问题，利用导数求解即可.【详解】当时，且，二次函数开口向下且在内抛物线与轴只有一个交点，在内只有一个零点，当时，不是的零点，由已知得当时，有两个零点，由得，令，即，只有函数与有两个交点时，函数有两个零点，时，时，的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，时，函数有两个零点，综上所述，实数a的取值范围是，故选：.9已知函数若恰有两个零点，则的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】将问题转化为

10、恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定的取值.【详解】恰有两个零点，即恰有两个实数根，由于，所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根，令，则，当时，故当此时单调递增，当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，当时，且单调递增，在直角坐标系中画出的大致图象如图：要使有两个交点，则，故选：D10已知函数.(1)若，求的最小值；(2)若的图象与直线在区间上有两个不同交点，求a的取值范围.参考数据：.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导由函数的单调性即可求解最值，（2）分类讨论的单调性，构造函数即可求解不等式.【详解】（1）当时，则，令,则，令,则，

11、所以在时单调递增，在时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，故，（2），当时，恒成立，此时在单调递增，所以的图象与直线在区间上至多有1个交点，不符合题意，故舍去，当时，令则，所以当时单调递减，当时单调递增，要使的图象与直线在区间上有两个不同的交点，则在上不单调，故需满足，故在单调递减，在单调递增，所以即，化简得记，则，令，故当单调递增，当单调递减，所以，故对任意的，恒成立，故，综上可得：【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成立或

12、有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别11已知函数，.(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系对进行分类讨论可求；（2）结合（1）中函数的单调性，再由函数零点判定定理可求.【详解】（1）函数的定义域为，导函数，当时，恒成立，在定义域上单调递增；当时，令，解得，当时，单调递增；当时，单调递减，综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在

13、上单调递减；（2）由（1）得，当时，在定义域上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，时，若函数有两个零点，则，解得，故的取值范围为【点睛】关键点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理12已知函数(1)当时，求的单调区间；(2)若对恒成立，求a的取值范围；(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则【答案】(1)答案见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；（2）由，讨论

14、、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.【详解】（1）由题设，当时，令，则，若，则，在上递减；若，则，在上递增；综上，时的递减区间为，递增区间为.（2）由，当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，所以，只需，令且，则，即递减，所以，故在上不存在；综上，.（3）由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；时，在上递减，在上递增，且，所以上，无零点，即，且趋向于

15、正无穷时趋向正无穷，所以，在上存在唯一，使，要证，只需在上恒成立即可，令，若，则，令，则，即在上递增，故，所以，即在上递增，故，所以在上恒成立，得证；故.【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a的范围后，应用分析法证恒成立即可.3.证明零点个数13已知函数.(1)求的单调区间：(2)求证：在区间上有且仅有一个零点.【答案】(1)递增区间是，递减区间是；(2)证明见解析.【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间作答.（2）利用（1）的结论，借助零点存在性定理推理作答.【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，由，得或，由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以

16、函数的递增区间是，递减区间是.（2）因为，则由（1）知，函数在上单调递增，而，因此存在唯一实数，使得，所以函数在区间上有且仅有一个零点.14已知函数.(1)若，求在处切线方程；(2)求的极大值与极小值；(3)证明：存在实数，当时，函数有三个零点.【答案】(1)(2)见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；（2）求出函数导数，分类讨论得函数单调性，根据单调性求函数极值即可；（3）根据（2）判断函数大致变化趋势，由函数零点个数即函数图象与x轴交点个数可证明.【详解】（1）当时，所以，又，所以切线方程为，即.（2），当时，解得，故时，单调递减；时，单调递增，故时，

17、的极小值为，无极大值；当时，令，解得，故当或时，单调递增，当时，单调递减，故的极大值为，极小值为；当时，令，解得，故当或时，单调递减，当时，单调递增，故的极大值为，极小值为；综上，当时，的极小值为，无极大值；当时，的极大值为，极小值为.（3）当时，由（2）知， 在和上单调递增，在上单调递减，且时，恒成立，时，又的极大值为，极小值为，所以存在实数时，函数有三个零点.15（ 2023春广东广州高二统考期末）已知函数.(1)若函数与的图象有一条斜率为1的公切线，求的值；(2)设函数，证明：当时，有且仅有两个零点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设公切线与的切点分别为，由条件结合导数的几何

18、意义列方程求即可；（2）方法一：利用导数与单调性的关系判断函数的单调性，证明，结合零点存在性定理证明结论；方法二，利用导数函数的单调性，证明，再判断当时，当时，结合零点存在性定理证明结论；【详解】（1）设公切线与的切点分别为，由题意得得所以，所以公切线方程为，又因为，所以，且，由解得，；（2）方法一：，所以，因为，所以.令，可得，当时，函数在单调递增，当时，函数在上单调递减， 因为，所以，所以，取，则有，记，则有，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以当时，所以在有且仅有一个零点，当时，即，又设，则，当时，函数在上单调递增，所以当时，即，所以，所以，所以，取，则有，所以在有且仅有一个零点，综

19、上所述：当时，有且仅有两个零点.方法二：，所以，因为，所以.令，可得，当时，函数在单调递增，当时，函数在上单调递减， 因为，所以，所以，当时，当时，故在和上各有一个零点，所以当时，有且仅有两个零点.【点睛】关键点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理16已知函数，其中.(1)若，求函数在上的最值；(2)当时，证明：在上存在唯一零点.【答案】(1)最小值为，最大值为(2)证明见解析【分析】（1）当时，利用导数分析其在上的单调性，进而求解即可；

20、（2）由题意可得，令，先利用导数研究在上的单调性，再利用零点存在性定理研究在上存在一个零点，进而得到函数在上的单调性，进而求证即可.【详解】（1）当时，所以，令，即；令，即，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以函数在上的最小值为，最大值为.（2）证明：因为，所以，令，则，所以在上单调递增，因为，所以存在，使得，即当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上存在一个零点，在上没有零点，故在上存在唯一零点.【点睛】关键点睛：本题第（2）问关键在于利用导数得到在上单调递增，进而得到存在，使得在上单调递减，在上单调递增，从而求证.17设函数，若曲线在处的切线方程为(1)求实数的值(2)

21、证明：函数有两个零点(3)记是函数的导数，为的两个零点，证明：【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义代入即可得的值；（2）根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明结论；（3）利用（1）（2）中的结论，结合单调性并构造函数并求其单调性，即可实现不等式证明.【详解】（1）由题意可得，由切线方程可知其斜率为，所以，解得（2）由可得，所以；函数有两个零点即函数有两个零点，当时，单调递减；当时，单调递增又，所以，由零点存在定理可得使得，使得，所以函数有两个零点（3）由（1）（2）知，可得且要证明，即证明，即证明令，则，因此单调递减，则因此，即，又，所以

22、；即，又，且在上单调递增，因此，即命题得证【点睛】关键点点睛：本题第（3）问证明的关键在于将不等式转化成求证，然后再利用构造函数利用函数单调性证明.18已知函数(1)若，求的单调区间；(2)若，证明：方程仅有1个实根【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出的定义域和导数，判断导数在相应区间内的符号可得的单调区间；（2）方程仅有1个实根可转化为方程有且仅有1个实根，令，求出的单调性用零点存在性定理可证得有唯一零点，从而命题得证.【详解】（1）当时，定义域为，令，则，所以在上单调递减，而，所以当时，即有，单调递增；当时，即有，单调递减，综上，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是

23、.（2），要证方程仅有1个实根，只需证方程即有且仅有1个实根，设，所以当时，单调递减，时，单调递增，又，时，所以当时无零点；时，有唯一零点，故在上有且只有一个零点，即方程有且仅有1个实根，命题得证.【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：利用最值或极值研究；利用数形结合思想研究

24、；构造辅助函数硏究.4.存在零点求参数19若函数有零点，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】利用导数分析的图像，从而得到关于的不等式，由此得解.【详解】因为，所以，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，因为有零点，所以，则，即实数的取值范围为.故答案为：.20已知函数存在零点a，函数存在零点b，且，则实数m的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】先求出函数的零点，再把问题转化为方程在上有解，构造函数，利用导数法研究单调性，求出值域即可求出实数m的取值范围.【详解】因为，所以，则函数单调递增，又，所以函数的零点，由，得，解得，函数存在零点b，即方程在上有解，令，则

25、，所以函数在上单调递增，因为，当且无限趋向于时，无限趋向于负无穷，则函数在上的值域为，所以实数m的取值范围是.故选：D21若函数有零点，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】将问题转化为，构造函数，利用导数研究的图像性质，结合图像即可得解.【详解】由题易得函数的定义域为函数有零点，等价于有实数根，即，令，则，令，得；令，得；则在上单调递增，在上单调递减，且，当时，当时，画出与的大致图像，如图，结合图像，易知，即故答案为：.22（ 2023春北京通州高二统考期中）已知函数(1)求的零点；(2)设，（）若在区间上存在零点，求a的取值范围；（）当时，若在区间上的最小值是0，求a的值【答案】(1)零点

26、是0；(2)（）；（）a的值为【分析】（1）由即可求解零点；（2）（）对求导，再对分类讨论，判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解的范围；（）对分类讨论，求出的最小值，从而可得的值【详解】（1）因为，令，即，解得，所以的零点是0；（2）（）因为，所以，所以，当时，所以在区间上单调递增所以所以在区间上不存在零点，不符合题意当时，令，即，得若，即时，所以所以在区间上单调递增又，所以在区间上不存在零点，不符合题意若，即时，令，得；令，得所以在区间上单调递减，在区间上单调递增因为，所以存在，使得当，所以存在，使得由零点存在性定理，存在，使得所以在区间上存在零点综上所述，a的取值范围是；（）当时，

27、在区间上单调递减，在区间上单调递增所以当时，取得极小值，也是最小值当，即时，在区间上单调递增所以在区间上最小值为所以所以当，即时，在区间上单调递减所以在区间上最小值为所以所以，不符合题意当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增所以在区间上最小值为所以，即令，所以所以在区间上单调递减因为，所以在区间上无零点所以当时，方程无解，不符合题意综上所述，a的值为【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点

28、(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点23已知函数(1)若，证明：恒成立(2)若存在零点，求a的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调区间，结合，即可求解；（2）解法1：令，可得，令函数，求得，令，求得在上单调递增，得到的单调性，进而求得实数a的取值范围；解法2：求得，转化为关于x的方程有唯一正根，设的唯一正根为m，求得的单调性，得到，设，结合单调性，即可求解.【详解】（1）证明：当时，可得，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，可得，所以当时，恒成立（2）解法1：

29、令，可得，令函数，可得令函数，则，所以在上单调递增，又因为，所以当时，；当时，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，；当时，因为存在零点，所以，故实数a的取值范围为解法2：由函数，可得，由，可得，其判别式，由一元二次方程根与系数的关系知，关于x的方程有唯一正根，设的唯一正根为m，则有，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，；当时，因为存在零点，所以，设，则，则，所以在上是增函数，所以，即，由，可得，由，得，故a的取值范围为【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（

30、组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；（2）分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型，构造函数（或，构造函数）；，构造函数（或，构造函数）；，构造函数（或，构造函数）.5.与三角函数有关的零点24函数的零点个数为（）A1B3C5D7【答案】B【分析】求出为奇函数，并得到，考虑时无零点，时，求导，得到函数极值和最值情况，结合零点存在性定理得到零点，结合函数的对称性求出零点个数.【详解】定义域为R，又，故为奇函数，当时，由于恒成立，故恒成立，无零点，

31、故时，也不存在零点，当时，当时，单调递增，当时，单调递减，故在处取得极大值，也时最大值，显然，故由零点存在性定理知，在上存在一零点，结合函数为奇函数，在上存在一零点，综上，一共有3个零点.故选：B25已知函数.(1)求函数在区间上的最小值；(2)判断函数的零点个数，并证明.【答案】(1)(2)有个零点，证明见解析【分析】（1）对求导，令，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.（2）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.【详解】（1）的定义域为，故，令，当时，所以在上单调递减，且，所以由零点存在定理

32、可知，在区间存在唯一的，使又当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以函数在区间上的最小值为.（2）有个零点，证明如下：因为，若，所以在区间上单调递增，又，结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，若，则，则，若，因为，所以，综上，函数在有且仅有一个零点.26已知函数(1)若，求函数在点处的切线方程；(2)若函数在区间内有两个不同的零点，求a的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，求得，得到切线的斜率，进而求得在点处的切线方程；（2）根据题意转化为方程有两个不同的解，得到，令，利用导数得出函数的单调性与极大值，结合，得出不等式，即可求解【详解】（1）解：当时，函

33、数，可得，则切线的斜率，又因为，所以函数在点处的切线方程为：，即（2）解：由题意知，函数在区间内有两个不同的零点，即有两个不同的解，即，令，即与函数的图像有两个不同的交点，当时，单调递增，当时，单调递减，所以函数的极大值为，又因为，故与函数有两个不同的交点，则满足，即，即实数的取值范围27已知.(1)求函数的值域；(2)当时，讨论函数的零点个数；若函数有两个零点，证明 .【答案】(1)(2)答案见解析；证明见解析【分析】（1）设，可得函数的值域；（2），分、讨论函数零点；由可知，满足方程可得，再根据可得答案.【详解】（1），设，对称轴为，则，则函数的值域为，即函数的值域为；（2），即，当时，题

34、设即，当或，即或时，方程无解；当，即时，方程仅有一解，此时；当，即时，方程有两解，此时函数有两个零点；综上所述，当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点；，由可知，满足方程，则，则，由于，则，则，则，则，由于，则，即，即证.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函

35、数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.28已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)当时，证明：对任意的，；(3)讨论函数在上零点的个数.【答案】(1)的增区间是，减区间是(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）代入，求出导函数，根据导函数，即可得出函数的单调区间；（2）代入，求出导函数.构造函数二次求导，即可推得在单调递增，根据，即可得出的单调性，进而得出证明；（3）易知，当时，所以没有零点；当时，求出导函数，构造函数，二次求导可得出的单调性.进而结合特殊点的导数值，结合零点存在定理，即

36、可得出的单调性.然后根据端点处的函数值，即可得出函数零点的个数.【详解】（1）当时，.当，所以在上单调递增；当，所以在上单调递减.所以的增区间是，减区间是.（2）当时，则.设，则.由（1）知时，所以，所以，即在单调递增，所以，所以在单调递增，所以.（3）当时，所以.由（2）知，此时，所以没有零点.若时，的导函数.令，则.令，则.当时，在上恒成立，所以，即在上单调递增.又，所以在上存在唯一零点，记作.则当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增.当时，所以在上恒成立，所以在上单调递增.综合，可得当时，单调递减；当时，单调递增.又因为，所以，当时，；又，所以存在唯一实数，使得.所以当时，此时单

37、调递减；当时， ，此时单调递增.又因为，所以时，所以在上没有零点.由（1）知时，则.又，在上单调递增，所以在上存在唯一零点.所以，在上存在唯一零点.综上，当时，在上无零点；当时，在上存在唯一零点.【点睛】关键点睛：构造函数，结合零点存在定理得出导函数的单调性，进而得出函数的单调性.29已知函数.(1)当时，证明：；(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）变形所证不等式，构造函数，利用导数探讨单调性推理作答.（2）由函数零点的意义，分离参数并构造函数，再利用导数求出函数的值域作答.【详解】（1）函数，不等式，令函数，求导得，当时，函数单调

38、递减，即有函数单调递增，当时，则有，因此，成立，于是函数在上单调递增，则，即，所以当时，不等式成立.（2）当时，由得，令，求导得，令，求导得，即函数在上单调递减，于是，函数在上单调递减，而当时，函数在上单调递减，其值域为，因此函数在上的值域为，则函数在上只有一个零点，当且仅当，即，所以a的取值范围为.【点睛】关键点睛：涉及函数零点求参数问题，利用函数零点的意义等价变形等式，构造函数，利用导数探求新函数零点问题解决.30已知函数.(1)求证：当时，；(2)求函数在上的零点个数.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明出当时，将所证不等式变形为，先证，其中，构造函数，其中，利用导数分析函

39、数在上的单调性，证得，即可证得结论成立；（2）求导得到，因无法轻易求得的解，故根据导函数的性质将的取值范围分为三段分别讨论，即可求解零点个数.【详解】（1）证明：构造函数，其中，则，所以，函数在上为增函数，则当时，即，当时，要证，即证，即证，先证，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，故当时，即，则，故当时，.（2）解：由已知得，则当时，因为，所以在上单调递减，所以所以在上无零点；当时，因为单调递增，且，所以存在，使当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，且所以设，则令，得所以在上单调递减，在上单调递增所以所以所以所以所以在上存在一个零点所以在有个零点；当时，所以在上单调递增因为，所以在

40、上无零点综上所述，在上的零点个数为6.隐零点问题31已知函数，其中(1)讨论的单调性；(2)若，设，（）证明：函数在区间内有唯一的一个零点；（）记（）中的零点为，求证：【答案】(1)当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.(2)(i)见详解；（ii）见详解.【分析】（1）求导后，求出的两根，再讨论两根的大小可得的单调性；（2）（）根据的单调性及零点存在定理可证结论成立；（）转化所证的不等式，再利用（i）的结论即可.(1)，令，得或，当时，由，得或，由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减；当时，由，得，由，得，所以在上单调递增；当时，由，得或

41、，由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.(2)（）当时，与的单调性相同，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，令，则令则，所以，即，所以，所以，所以函数在区间内有唯一的一个零点；（）由（），即，因为当时，所以又，所以.【点睛】关键点睛：分析结论表达式与所及函数的关系，可得解题思路.32已知函数，其导函数为.(1)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围：(2)当时，证明：在区间上有且只有两个零点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据分离参数，转化成最值问题.（2）构造函数，利

42、用导数判断其单调性，结合零点存在性定理即可求解.【详解】（1），由题意得：在上恒成立，即在上恒成立，由于函数在上单调递减，所以，所以（2）当时，.设，则令，则，所以在上单调递减，又，故存在，使得，当时，即，在上单调递增；当时，即，在上单调递减；又，所以在和上各有一个零点，从而在上有且仅有两个零点.33已知函数为的导函数(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；(2)求证：函数在区间上只有两个零点【答案】(1)存在；极小值(2)证明见解析【分析】（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对求导后，判断的单调性，结合零点存在性定理可得结果；（2）当时，

43、利用单调性得恒成立，此时无零点；当时，；当时，利用导数得到单调性，结合零点存在性定理可得在上只有一个零点.由此可证结论正确.【详解】（1）由，可得，则，令，其中，可得，所以在上单调递增，即在上单调递增，因为，所以存在，使得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，函数取得极小值（2）由，当时，所以，所以在上为增函数，所以，此时函数在上没有零点； 当时，可得，所以是函数的一个零点；当时，由 ，令，可得，令则，当，可得；当，可得，即在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以存在使得，当时，；当时，又因为，所以存在使得，即是函数的一个零点综上可得，函数在上有且仅有两个零点【点睛】关键点点睛：第二问中

44、，分段讨论并利用导数和零点存在性定理求解是解题关键.34设函数(1)当时，求证：(2)若有唯一零点，求正实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）代入求导得，令求导确定单调递增，又，确定单调性，求出最小值即可证明；（2）先求导得，再构造函数求导得，当时，由单调递增，确定单调性，求出最小值即可；当时，说明除了之外还存在其他零点即可.(1)当时，令，故单调递增，又，故当时，单调递减；当时，单调递增，故；(2)由题意知：，令，当时，易得，故单调递增，即单调递增，又，故当时，单调递减；当时，单调递增，故，有唯一零点；当时，易知存在使，即，则当时，单调递减，即单调递减；当时，单调递增

45、，即单调递增，又，当时，单调递减，又，故时，又，故在上至少存在1个零点，在上至少存在2个零点，不合题意；综上，.35已知函数，若在存在零点，则实数值可以是（）ABCD【答案】D【分析】根据题意得，令，则函数在上存在零点等价于与的图像有交点，再根据的单调性求解即可.【详解】根据题意，令，所以，令，则函数在上存在零点等价于与的图像有交点，令，则，故在上单调递增，因为，所以存在唯一的，使得，即，即，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以，又时，故，所以.故选：D【点睛】利用导数研究函数零点的核心是根据题意构造合适的函数，通过研究函数的单调性，进而确定函数大致图形，数形结合，有助于简化题目.36已知

46、函数在区间内有唯一极值点.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：在区间内有唯一零点，且.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先求导，再讨论时，函数单增不合题意，时，由导数的正负确定函数单调性知符合题意；（2）先由导数确定函数在区间上的单调性，再由零点存在定理即可确定在区间内有唯一零点；表示出，构造函数求导，求得，又由，结合在上的单调性即可求解.【详解】（1），当时，当时，在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；当时，显然在上递增，又因为，所以在上有唯一零点，所以，；，所以在上有唯一极值点，符合题意.综上，.（2）由（1）知，所以时，所以，单调递减；，单调递增，所以时，则，又因为，所以

47、在上有唯一零点，即在上有唯一零点.因为，由（1）知，所以，则，构造，所以，记，则，显然在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以，所以，由前面讨论可知：，且在单调递增，所以.1设函数，则“”是“有个零点”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出函数的导数，探讨函数的极值情况，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】函数定义域为R，求导得，当，即时，恒成立，函数在R上单调递增，最多1个零点，当，即时，方程有两个不等实根，当或时，当时，因此函数在取得极大值，在取得极小值，当且时，函数有3个零点，由上，

48、当时，不能确保函数有3个零点，反之函数有3个零点，由三次函数性质知，必有两个极值点，即，所以“”是“有个零点”的必要而不充分条件.故选：B2已知，若关于x的方程存在正零点，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】B【分析】化简，令，转化为有解，设，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在唯一零点，转化为在有解，令，利用导数求得函数的单调性，得到，即可求解.【详解】由题意得，令，问题转化为有解，设，则，当时，单调递减；当时，单调递增，又由，所以存在唯一零点，即在有解，即，令，则，当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，故实数的取值范围为.故选：B.【点睛】方法技巧：对于利用导

49、数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别3已知函数.若，不等式的解集为_；若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为_.【答案】 【分析】（空1）时，借助导数工具判断，结合三次函数的零点情况，分段求解不等式；（空2）结合上一空进行零点个数的

50、判断【详解】时，则，令，即，解得，令，即在上单调递减，于是，即，即无解，综上可知，的解集为；，根据上一空的分析可知，取得等号，故时，无解，或，在时有个根，即这个根需排除在外，则，于是；当时，有唯一解，于是在时有个根，即这个根需恰好被包含在内，故，即.综上所述，.故答案为：；4给定方程：，则下列命题中：该方程没有小于0的实数解；该方程有无数个实数解；该方程在内有且只有一个实数解；若是该方程的实数解，则.正确的命题是_【答案】【分析】根据指数函数的图象与正弦函数的周期性、有界性，可得方程有无数个正数解，故正确；令，求导，通过导数分析在和的单调性，进而确定在和内的零点判断的正误【详解】对于：原方程等

51、价于，当时， 根据正弦函数的周期性得：函数与的图象在上有无穷多个交点，因此方程有无数个实数解，故正确；令，则当时，则当时恒成立在上单调递减，则在内无零点当时，在上单调递增，在内存在唯一得零点当时，当时，在上单调递减，在上单调递增则在内存在唯一零点，在内无零点错误；正确；正确；故答案为：5已知函数，e是自然对数的底数，若恰为的极值点.(1)求实数a的值；(2)求在区间上零点的个数.【答案】(1)(2)1【分析】（1）求出函数的导数，令起等于0，即可求得a的值，结合极值点定义进行验证即可；（2）对于分段讨论，判断的单调性，结合函数值情况，即可判断其零点个数.【详解】（1）由题意得，因为为的极值点，

52、故，此时，则时，故，则在上单调递增；由，令，当时，则，则在上单调递减，故，即，故在上单调递减，则为的极大值点，符合题意，故.（2）由（1）知，时，在上单调递增，则，故在上不存在零点；当时，故在上单调递减，则，故在上不存在零点；当时，即为的零点，综合上述，在区间上零点的个数为1.【点睛】方法点睛：（1）根据极值点求参数时，利用导数等于0求得参数值之后，要注意验证；（2）判断函数零点个数，要注意对区间分段讨论，结合函数的单调性进行判断.6已知函数.(1)讨论的单调性;(2)设函数，求证:当时，恰有两个零点.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求得的定义域和导函数，然后对进行分类

53、讨论，由此求得的单调区间.（2）利用多次求导的方法，利用导数研究的单调性，结合零点存在性定理证得结论成立.【详解】（1）的定义域为，当时，在上单调递增;当时，在上单调递增;当时，令，得，此时单调递增，令，得，此时单调递减;当时，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增;当时，在上单调递增，在上单调递减;当时，在上单调递减.（2）当时，令，则，当时，所以在上单调递减，又因为，所以在上有唯一的零点.当时，单调递增;当时，单调递减，所以在上存在唯一的极大值点，且，所以，又因为所以在上恰有一个零点.又因为，所以在上也恰有一个零点.所以在上有两个零点.当时，因为，所以，设，所以在上单调递减，所以，所以

54、当时，恒成立，所以在上没有零点.当时，设，所以在上单调递减，所以,所以当时，恒成立，所以在上没有零点.综上，恰有两个零点.【点睛】利用导数研究函数的单调性，若导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.在利用导数研究函数的过程中，若一次求导无法求得函数的单调区间，则可考虑利用多次求导的方法来进行研究.7已知函数在上的最小值为(1)求a的值；(2)若函数有3个零点，求实数b的取值范围【答案】(1)；(2).【分析】（1）求导，再对分四种讨论，求出函数的单调性即得解；（2）由（1），可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图象可得答案.【详解】（1）由,当时

55、,在上恒大于等于0,所以在上单调递增,不合题意；当时,则时,单调递减；时,单调递增,所以,所以,不满足； 当时,在上,且不恒为0,所以在上单调递减,适合题意；当时,在上,所以在上单调递减,所以,不满足；综上,（2）由（1）,所以,令,则,所以,且当时,；当时,；当时,所以极小值为,极大值为,如图：当时,函数有3个零点8已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论在上零点的个数【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，求导即可得到，从而得到切线方程；（2）根据题意，构造函数，求导得到其值域，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，即可得到结果.【详解】（1）因为，所以， 所以曲线在

56、点处的切线方程为，即（2）令，得设函数，则当时，；当时， 所以 ，当时，方程无解，则在上零点的个数为0； 当或时，方程只有一解，则在上零点的个数为1；当时，方程有两解，则在上零点的个数为29设函数，曲线在点处取得极值(1)求实数a的值；(2)求函数的单调区间；(3)令函数，是否存在实数k使得没有零点？若存在，请求出实数k的范围；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，；(3)【分析】（1）利用导数在的值为0可得答案；（2）分别令，可得答案；（3）利用单调性求出函数的极值，画出大致图象，转化为函数与的图象没有交点可得答案【详解】（1），因为曲线在点处取得极

57、值，所以，解得；（2）由（1），当，当时，函数单调递增，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递减，所以函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为，；（3）存在，理由如下，由（2）函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为，； 所以， ，当时，当时，可得的大致图象如下，若函数没有零点，则函数与的图象没有交点，所以.【点睛】关键点点睛：函数没有零点，转化为函数与的图象没有交点问题，数形结合可得答案.10已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）当时，求在上的零点个数.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）有1个零点【分析】（1）求得的导函数，对

58、分成和两种情况，分类讨论的单调性.（2）当时，利用的二阶导数判断出一阶导数的单调性，结合零点存在性定理求得的零点，由此判断出的单调区间，再结合零点存在性定理，判断出在区间上的零点个数.【详解】（1）因为，所以.因为，所以.当，即时，所以在上单调递增.当，即时，令，得.当时，所以，当时，所以，所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，则.设，则.当时，所以在上单调递增.因为，所以存在，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增.所以为在上的最小值.又因为，所以在上有1个零点.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数

59、研究函数的零点，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.11已知函数，为的导数，证明：（1）在区间上有唯一零点；（2）有且仅有两个零点【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】(1)先求得，要判断导数存在唯一零点，得先对导数求导，得到，再由零点存在定理进行证明即可（2）由（1）可知存在，使得，即， 要求证有且仅有两个零点，得先验证存在两点使得，可取和验证，再证明，由于无法结合进行代换，但，通过，可将进行代换，进一步可证明，从而得到，即可求证【详解】解：（1），故在上单调递减 又，故在上有唯一零点 （2）设在上的零点为，由第（1）问知，且在上

60、单调递增，在上单调递减 ， 因为，故故即故在有且只有一个零点，在有且只有一个零点故有且仅有两个零点【点睛】本题考查函数的导函数零点个数的判断问题，函数零点个数的求证问题，其中利用零点存在性定理求证函数存在两零点是难点，（2）问和（1）问联系紧密，利用导数为零关系式进行代换是解题核心，利用配方法代换过程并不容易想到，解决此类题型要多思考，多观察，注意关联性12已知设函数.（1）若，求极值；（2）证明：当，时，函数在上存在零点.【答案】（1）取得极大值0，无极小值（2）见证明【分析】（1）通过求导得到，求出的根，列表求出的单调区间和极值.（2）对进行分类，当时，通过对求导，得到在单调递减，找到其零点，进而得到的单调性，找到，可证在上存在零点.当时，根据（1）得到的结论，对进行放缩，得到，再由，可证在上存在零点.【详解】（1）当时，定义域为，由得当变化时， 的变化情况如下表：极大值故当时，取得极大值，无极小值（2），当时，因为，所以，在单调递减因为，所以有且仅有一个，使，当时，当时，所以在单调递增，在单调递减所以，而，所以在存在零点当时，由（1）得，于是，所以所以于是因为，所以在存在零点综上，当，时，函数在上存在零点