1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 专题强化练2三个二次(二次函数、二次方程、二次不等式)的综合运用一、选择题1.下列不等式中解集为实数集R的是 () A.x2+4x+40 B.x20C.x2-x+10 D.1x-10的解集为x|-1x13,则a+b的值为 ()A.5 B.-5C.6 D.-63.若对任意实数x,不等式2kx2+kx-30恒成立,则实数k的取值范围是 ()A.-24k0 B.-24k0C.0k24 D.k244若关于x的方程x2+(m-1)x+m2-2=0的一个实数根小于-1,另一个实数根大于1,则实数m的取值范围是 ()A.m|-2m2B.m|-2m0C.m|-2m1D.m|
2、0m15.定义在R上的运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-a)*(x+a)1对任意实数x都成立,则 ()A.-32a12 B.-12a32C.-1a1 D.0a26.若不等式-2x2-2ax+a-1有唯一解,则实数a的值为 ()A.-1-52B.1-52C.-152D.152二、填空题7.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实数根,则实数m的取值范围是.8.已知函数y=x2+ax+b(a,bR)的图象与x轴相切,若关于x的不等式x2+ax+bc的解集为x|mx0的解集为x|bx-ax-1(其中a0)的解集.11.设y=3ax2+2bx+c(a,b,cR),若a+b+c=0,(3a+2
3、b+c)c0.求证:(1)方程3ax2+2bx+c=0有实数根;(2)若-2ba-1,且x1,x2是方程3ax2+2bx+c=0的两个实数根,则33|x1-x2|23.答案全解全析一、选择题1.C当x=-2时,选项A中的不等式不成立;当x=0时,选项B中的不等式不成立;对于选项C,=1-40,且y=x2-x+1的图象开口向上,故y=x2-x+1的图象与x轴无交点,所以不等式x2-x+10的解集为R;当x=0时,选项D中的不等式不成立.故选C.2.B由题意知-1,13是关于x的方程ax2+bx+1=0的两个根,且a0,a-b+1=0,19a+13b+1=0,解得a=-3,b=-2,a+b=-5.
4、3.B当k=0时,不等式为-30,不等式恒成立;当k0时,若不等式恒成立,则k0,0,解得-24k0.综上所述,-24k0,故选B.4.D令y=x2+(m-1)x+m2-2,作出函数的大致图象如图所示,由图象知,当x=-1时,y=m2-m0,解得0m1;当x=1时,y=m2+m-20,解得-2m1.综上可得,0m1,故选D.5.B不等式(x-a)*(x+a)1可化为(x-a)(1-x-a)0对任意实数x都成立,=1-4(a-a2+1)0,解得-12a32.故选B.6.D若不等式-2x2-2ax+a-1有唯一解,则函数y=x2-2ax+a的大致图象如图所示,由图象得,方程x2-2ax+a=-1有
5、两个相等的实数根,所以=4a2-4(a+1)=0,解得a=152.二、填空题7.答案m|00,=(m-3)2-4m0,m0,解得0m1,即实数m的取值范围是m|00,x1x2=m0,解得0m1,因此实数m的取值范围是m|0m1.8.答案4解析因为函数y=x2+ax+b(a,bR)的图象与x轴相切,所以=a2-4b=0,即b=a24.又x2+ax+bc的解集为x|mx12,s乙=0.05x乙+0.005x乙210,分别求解,得x甲30,x乙40.由于x0,从而得x甲30,x乙40.经比较知乙车超过限速,故乙应负主要责任.10.解析(1)将x=1代入ax2+3x+2=0,可得a=-5,所以不等式a
6、x2+3x+20即为不等式-5x2+3x+20,可转化为(x-1)(5x+2)0,所以原不等式的解集为x|-25x-ax-1可化为ax2+(a+3)x+30,即(ax+3)(x+1)0.当-3a-1,即0a-1或x-1,即a3时,原不等式的解集为x|x-3a.综上所述,当0a-1或x3时,原不等式的解集为x|x-3a.11.证明(1)若a=0,又a+b+c=0,则b=-c,(3a+2b+c)c=-c20,与已知矛盾,a0.方程3ax2+2bx+c=0的判别式=(2b)2-43ac=4(b2-3ac),又知a+b+c=0,即b=-(a+c),=4(b2-3ac)=4(a2+c2-ac)=4a-12c2+34c20,故方程3ax2+2bx+c=0有实数根.(2)由题知,x1+x2=-2b3a,x1x2=c3a=-a+b3a,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4b29a2+4(a+b)3a=49b2a2+3ba+3=49ba+322+34=49ba+322+13.-2ba-1,13(x1-x2)249,33|x1-x2|23.
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