1、保密启用前兰州市五十八中 2022-2023学年度第一次模拟考试数学试卷（文科）考试时间：120分钟；总分150分 题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、 单选题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集UxZ|0x0)右焦点为F1，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，抛物线y216x的焦点为F，若ABF为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )AB(，)C(1,3)D12.已知函数f(x)=ex+x22-ln x的极值点为x1,函数
2、h(x)=lnx2x的最大值为x2,则()A.x1x2B.x2x1 C.x1x2D.x2x1 第II卷（非选择题）二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）13已知直线yx与函数f(x)的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 14 已知向量a，b满足|a|5，|ab|6，|ab|4，则向量b在向量a上的投影为 15.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分16数列an
3、的前n项积为n2，那么当n2时，an 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17(12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率18(12分)已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点(1)求证：EM平面ADF；(2)若ABE60，求四面体M
4、ACE的体积19(12分)已知各项都为正数的数列an满足an22an13an.(1)证明：数列anan1为等比数列；(2)若a1，a2，求an的通项公式20(12分)椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线AB的斜率为，求ABF2的面积21(12分)已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程22 (
5、10分) 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+22t,y=2+22t(t为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos2+4cos -=0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少? 选修4-5：不等式23.(10分) 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.答案及解析1已知全集UxZ|0x0，a42.又a42a7，a7.设an的公比为q，则q3，q，ana425n，S516842
6、131.9 如图所示，在ABC中，点D在线段BC上，且BD3DC.若，则(B)ABC2D解析本题考查向量的线性运算.()，所以，从而求得，故选B.9已知函数f(x)2sin(x1)，若对于任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为( )A2B1C4D解析对任意的xR，f(x1)f(x)f(x2)成立，所以f(x1)f(x)min2，f(x2)f(x)max2，所以|x1x2|min，又f(x)2sin(x1)的周期T2，所以|x1x2|min1，故选B.10九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称之为
7、“鳖臑”.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,从A,B,C,D四点中任取三点和顶点P所形成的四面体中,任取两个四面体,则其中一个四面体为鳖臑的概率为(B)A.14B.23C.35D.310解析从A,B,C,D四点中任取三点和顶点P所形成的4个四面体为P-ABC,P-ABD,P-ACD,P-BCD,其中四面体P-ABD,P-BCD为鳖臑.在4个四面体中任取2个有6种情况,其中一个四面体为鳖臑的情况有4种,则其中一个四面体为鳖臑的概率P=46=23.故选B.11已知双曲线1(b0)右焦点为F1，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，抛物线y216x的焦点为F，若ABF为
8、锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是(D)AB(，)C(1,3)D解析在双曲线1中，当xc时，y，取A.因为ABF是锐角三角形，所以AFF1，则tanAFF1tan 1，即b282c.因为双曲线1中a2，所以b2c2a2c24，所以c2482c，解得1c1，所以1，则1ex2B.x2x1 C.x1x2D.x2x1解析f(x)=ex+x-1x在(0,+)上单调递增,且f12=e12320,f14=e141540,所以x114,12,ex1+x1-1x1=0.由h(x)=1-lnx2x2,可得h(x)max=h(e)=12e,即x2=12ex2. 13已知直线yx与函数f(x)的图象恰有三个公
9、共点，则实数m的取值范围是 1，2) 解析画出函数图象，如图所示由图可知，当m1时，直线yx与函数图象恰好有3个公共点，当m2时，直线yx与函数图象只有2个公共点，故m的取值范围是1，2).10 已知向量a，b满足|a|5，|ab|6，|ab|4，则向量b在向量a上的投影为 1 解析向量a，b满足|a|5，|ab|6，|ab|4.|ab|225b22ab36，|ab|225b22ab16.ab5，|b|1，向量b在向量a上的投影为|b|cos a，b|b|1.15.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测
10、试,则第一分厂应抽取的件数为50;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分解析 501 015第一分厂应抽取的件数为10050%=50;该产品的平均使用寿命为10200.5+9800.2+10300.3=1015(小时).16数列an的前n项积为n2，那么当n2时，an 解析设数列an的前n项积为Tn，则Tnn2，当n2时，an.17某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的
11、概率解析(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3个，则所求事件的概率为P.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个包括A1但不包括B1的事
12、件所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P.18已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点(1)求证：EM平面ADF；(2)若ABE60，求四面体MACE的体积解析 (1)证明：四边形ABCD是正方形，BCAD.BC平面ADF，AD平面ADF，BC平面ADF.四边形ABEF是菱形，BEAF.BE平面ADF，AF平面ADF，BE平面ADF.BC平面ADF，BE平面ADF，BCBEB，平面BCE平面ADF.EM平面BCE，EM平面ADF.(2)取AB中点P，连接PE.在菱形ABEF中，ABE60，AEB为正三角形，EPAB.AB2，EP
13、.平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，EP平面ABCD，EP为四面体EACM的高VMACEVEACMSACMEP12.19(12分)已知各项都为正数的数列an满足an22an13an.(1)证明：数列anan1为等比数列；(2)若a1，a2，求an的通项公式解析(1)an22an13an，an2an13(an1an)又an0，3，数列an1an为等比数列(2)由(1)得，anan1(a1a2)3n123n1an1an223n得an2an43n1当n为奇数时，a3a1430a5a3432a7a5434anan243n3相加得ana14(3032343n3)4，an3n1.当n
14、为偶数时由anan123n1得an23n1an123n13n3n1.综上所述an3n1.20椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线AB的斜率为，求ABF2的面积解析 (1)由题意知，4a8，所以a2，又e，所以，c1，所以b22213，所以椭圆E的方程为1.(2)设直线AB的方程为y(x1)，由得5x28x0，解得x10，x2，所以y1，y2.所以SABF2c|y1y2|1.21已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上
15、的最小值 解析(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.综上可知，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当01，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(
16、1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是f(1)a；当aln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)ln 22a.22在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+22t,y=2+22t(t为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos2+4cos -=0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少? 解析:(1)将x=1+22t,y=2+22t消去参数t,得直线l的普通方程为x-y-
17、1=0.曲线C的极坐标方程为cos2+4cos-=0,即2cos2+4cos-2=0,曲线C的直角坐标方程为y2=4x.(2)联立y2=4x,x-y-1=0,得x2-6x+1=0,=36-4=320,设直线l与抛物线C交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1,故直线l被曲线C截得的弦长为|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+1)(36-4)=8.23.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围. 解析(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x1,2x,-1x1的解集为xx12.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,则|ax-1|1的解集为x0x2a,所以2a1,故0a2.综上,a的取值范围为(0,2.