1、专题复习二 二次函数图象与系数的关系 (1)系数a决定抛物线的开口方向和大小，a0时，开口向上；a0时，图象与y轴交点在x轴上方；c=0时，图象过原点；c0,b0,c0.(2)OA=OB，且OB=|c|=-c，ax2+bx+c=0有一根为x=c.ac2+bc+c=0.ac+b+1=0.17.对于二次函数y=ax2+bx+c，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如：y=x2+2x+2)(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的函数表达式： y=x2+x .(不必证明)(2)请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线？若存在，请写出
2、其中一条抛物线的表达式；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=x2+x(2)假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线y=ax2+bx+c，当x=0时，y=c;当x=1时,y=a+b+c.由整点抛物线定义知：c为整数，a+b+c为整数，a+b必为整数.又当x=2时，y=4a+2b+c=2a+2（a+b）+c是整数，2a必为整数.|a|.不存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线.（第18题）18.【攀枝花】二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列命题中，正确的是(D).A.abcB.一次函数y=ax+c的图象不经过第四象限C.m(am+b)+ba(m是任意实数)D.3b+2c0【解
3、析】由二次函数的图象可知a0，c0；由x=-1得-=-1，故b0，b=2a，则bac，故A错误.a0，c0，一次函数y=ax+c的图象经过第一、三、四象限，故B错误.当x=-1时，y最小，即a-b+c最小，故a-b+cam2+bm+c，即m(am+b)+ba，故C错误.由图象可知当x=1时y0,即a+b+c0，b=2a，a=b.b+b+c0.3b+2c0，故D正确.故选D.19.【杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数y1=(x+a)(x-a-1)，其中a0.(1)若函数y1的图象经过点(1，-2)，求函数y1的表达式.(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a
4、，b满足的表达式.(3)已知点P(x0，m)和点Q(1，n)在函数y1的图象上，若mn，求x0的取值范围.【答案】(1)函数y1的图象经过点(1，-2)，得(a+1)(-a)=-2，解得a1=-2，a2=1.当a1=-2时，y1=(x-2)(x+2-1)=x2-x-2；当a2=1时，y1=(x+1)(x-2)=x2-x-2.综上所述，函数y1的表达式为y=x2-x-2.(2)当y=0时，(x+a)(x-a-1)=0，解得x1=-a，x2=a+1.y1的图象与x轴的交点是(-a，0)，(a+1，0).当y2=ax+b经过(-a，0)时，-a2+b=0，即b=a2；当y2=ax+b经过(a+1，0
5、)时，a2+a+b=0，即b=-a2-a.(3)由题意知，函数y1的对称轴为直线x=.当点P在对称轴的左侧(含顶点)时，y随x的增大而减小，(1，n)与(0，n)关于对称轴对称，由mn，得0x0；当点P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由mn，得x01.综上所述，mn，所求x0的取值范围0x01.20.如图所示，二次函数y=ax2+2ax-3a(a0)图象的顶点为H，与x轴交于A，B两点(点B在点A右侧)，点H，B关于直线l:y=x+对称(1)求A，B两点坐标，并证明点A在直线l上.(2)求二次函数的表达式.(3)过点B作直线BKAH交直线l于点K,M,N分别为直线AH和直线l上的两个动点
6、，连结HN,NM,MK，求HN+NM+MK的最小值 (第20题) 图1 图2 （第20题答图）【答案】(1)由题意得ax2+2ax-3a=0(a0)，解得x1=-3,x2=1.点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(1,0).直线y=x+,当x=-3时,y=(-3)+ =0,点A在直线l上.(2)点H，B关于过点A的直线y=x+对称,AH=AB=4.AH=BH，ABH为正三角形.如答图1所示，过顶点H作HCAB于点C，则AC=AB=2,HC=2,顶点H(-1,2)，代入二次函数表达式,解得a=-.二次函数表达式为y=-x2-x+.(3)易求得直线AH的函数表达式为y=x+3，直线BK的函数表达式为y=x-.由,解得,即K(3,2).BK=4.点H，B关于直线AK对称,HN+MN的最小值是MB.如答图2所示，过点K作直线AH的对称点Q,连结QK,交直线AH于点E，则QM=MK,QE=EK=KD=2,则QK=4,AEQK.BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值.BKAH,BKQ=HEQ=90.由勾股定理可求得QB=8.HN+NM+MK和的最小值为8.
